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湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题(解析版)


黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理)试卷 解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的. 1.纯虚数 z 满足 z ? 2 ? 3 ,则 z 为 A.

5i

B. ?

5i

C. ?

5i

D. 5 或 ?1

1 答案:B 解析:设 z

? bi (b ? R) ,则 b 2 ? 4 ? 9 ? b ? ? 5 ,则 z ? ? 5i .

2.命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则甲是乙的 A.充分非必要条件 C.充要条件 2 答案:B 解析:甲 ? 乙,例如, x ? 1, y ? 4 ; ? 乙 ? 甲,“若 x ? y ? 5 ,则 x ? 2 或 y ? 3 ”的逆否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? 此逆否命题为真命题,所以原命题为真命题. 3.已知双曲线的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的标准方程为 A. x ?
2

B.必要非充分条件 D.既不充分条件也不必要条件

y ? 5”

y2 ?1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 2

y2 x2 2 ? 1或 y ? ? 1 C. x ? 2 2
2

x2 y2 2 ? y ? 1 或 ? x2 ? 1 D. 2 2

3 答案:C 解析:由题易知 2c ? 2

3 , b ? 2 ,故 a ? 1,这样的双曲线标准方程有两个.

4.用 0,1,2,3,4 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则该五位数的个数 是 A.36 B.32 C.24 D.20 4 答案:D 解析:排除法.偶数字相邻,奇数字也相邻有
2 2 3 2 2 2 2 A2 A2 ? 4 ,故 A3 A2 A2 ? A2 A2 ? 20 . 3 2 2 A3 A2 A2 ? 24 ,然后减去 0 在首位的情况,有

5.已知 cos(?

?

?
6

)?

3 ? ,则 sin(2? ? ) 的值为 3 6

A.

1 3

B. ?

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

5 答案:A 解析:由 cos(?

?

?
6

)?

3 ? 1 得, cos(2? ? ) ? ? , 3 3 3

所以 sin(2?

? ? ? ? 1 ? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? cos(2? ? ) ? . 6 3 2 3 3
频率/组距

6. 对某小区 100 户居民的月均用水量进行 统计,得到样本的频率分布直方图,则估 计此样本的众数、中位数分别为 A. 2 , 2.5 B. 2.25 , 2.02 C. 2.25 , 2.5 D. 2.5 , 2 . 2 5 6 答案:B 解析:样本的众数为最高矩形底边中点对 应的横坐标, 为

0.50 0.44 0.30 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)
第 6 题图

2 ? 2.5 ? 2.25 中位数是 2

频率为 0.5 时,对应的样本数据,由于

(0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44) ? 0.5 ? 0.49 ,故中位数为 2 ?

0.01 ? 0.5 ? 2.02 . 0.25
1 , 则方格边长最长为(单 9
D. 6

7.在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币,若硬币恰落在任何一个方格内不 与方格线重叠, 即可获奖. 已知硬币的直径为 2 , 若游客获奖的概率不超过 位: cm ) A. 3 7 答案:A

B. 4

C. 5

解析:设方格边长为 x ,则 (

x?2 2 1 ) ? ? x ? 3. x 9

8.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是 20 A. π 3
2 1 2 正视图 4 侧视图

B. 6π

C.

10 π 3
开始

D.

16 π 3
D


n=5,k=

n 为偶数

A
第 8 题图 俯视图

O C

B

n?

n 2

第 12 题图

k=k +1

8 答案:C 解析:此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,体积 V

1 1 10 ? [ 4? ? 2 ? 4? ? 1] ? ? . 2 3 3
? ?

9.如图, AB 是圆 O 的直径, C、 是圆 O 上的点, ?CBA ? 60 , ?ABD ? 45 , D

??? ? ??? ? ??? ? CD ? xOA ? yBC ,则 x ? y 的值为
A. ?

3 3
??? ? ??? ?

B. ?

1 3
???? ??? ?

C.

2 3
??? ? ????

D. ? 3

9 答案:A 解析: CD ? xOA ? yBC ? xOA ? y (OC ? OB) ? ( x ? y )OA ? yOC

??? ?

??? ?

y D



??? ? 1 3 OA ? 1 ,建立如图所示坐标系,则 CD ? (? ,1 ? ), 2 2

A

O C
第 9 题图

B

x

???? 1 ??? ? 3 3 OA ? (?1,0) , OC ? ( , ? ) ,故 x ? y ? ? . 2 2 3

10.已知定义在 (0, ??) 上的单调函数 f ( x) ,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 3 ,则方程

f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是
A.(0, 10 答案:C 解析:由题 f ( x) ? log 2 x ? C ( C 为常数),则

1 ) 2

B.(

1 ,1 ) 2

C.(1,2)

D.(2,3)

f ( x) ? log 2 x ? C f ( x) ? log 2 x ? 2 ,

故 f [ f ( x) ? log 2 x] ? f (C ) ? log 2 C ? C ? 3 ,得 C ? 2 ,故 记 g ( x) ?

f ( x) ? f ?( x) ? 2 ? log 2 x ?

1 在 (0, ??) 上为增函数 x ln 2

且 g (1) ? ?

1 1 2ln 2 ? 1 ? 0, g (2) ? 1 ? ? ?0, ln 2 2ln 2 2ln 2

故方程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是(1,2). 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡 对应题号的位置上,书写不清楚,模拟两可均不得分. (一)必考题(11 — 14 题)

1 ? ? 4 11. ? x ? ? 的展开式中,含 x 项的系数为 2x ? ?

10



11 答案: ?15 12.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 . 12 答案: 5 n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2 解析:由题意,得:

? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环;当 n ? 1 时,循环终止,这是关键,输出 k ? 5 . 13.已知 x、、 ? (0, ??) ,且 ln x ? ln y ? ln z ? y z
2 2 2

x2 1 ,则 的最大值为 yz 3



13 答案: e
2

2

解析: (ln x ? ln y ? ln z )[2 ? (?1) ? (?1) ] ? (2ln x ? ln y ? ln z)
2 2 2 2 2

2

14. 对于实数 x , 将满足“ 0 ?

用符号 ? x? 表 y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,

示.已知无穷数列 {an } 满足如下条件:

? 1 ?? ? ① a1 ? ? a? ;② an ?1 ? ? an ? 0 ?
(Ⅰ)若 a

(an ? 0) (an ? 0)



? 2 时,数列 {an } 通项公式为



(Ⅱ)当 a

1 ? 时,对任意 n ? N * 都有 an ? a ,则 a 的值为 3
? 2 ? 1 ;(2) 2 ? 1 或



14 答案:(1) an

5 ?1 2
? ? ? ? ? ??? ? 2 ? 1 . ? ??

解析:(Ⅰ)若 a

? 2 时, a1 ? ? ?? ? 2 ? 1 ,则 a2 ? ?

(Ⅱ)当 a

1 1 1 ? 时,由 an ? a 知, a ? 1,所以 a1 ? ? a? ? a , a2 ? ? ? ,且 ? (1,3) . a a 3

①当

1 5 ?1 ? 5 ?1 1 1 ? (a ? 舍去) ? (1, 2) 时, a2 ? ? ? ? ? 1 ,故 ? 1 ? a ? a ? a 2 2 a a a

②当

1 1 ? ? ? [2,3) 时, a2 ? ? ? ? ? 2 ,故 ? 2 ? a ? a ? 2 ? 1 ( a ? ? 2 ? 1 舍去) a a a a

综上, a

? 2 ? 1或

5 ?1 2

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序 号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果给分.) 15.(极坐标与参数方程) 已知抛物线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 8cos? ? 0 ,若斜率为1 的直线经过抛物线 C 的焦点,与圆
2

? x ? 4?

2

? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ?



A
C

B

15 答案: 2

n ?o 解析: ? s ? 8cs 将 i
2

?0 ? 化为普通方程即 y 2 ? 8 x , F (,0 得 2)

M
M

O? O
’ ‘
第 16 题图

16.(几何证明选讲) 如图,过半径为 4 的 ? O 上的一点 A 引半径为 3 的 ? O? 的切线,切 点为 B ,若 ? O 与 ? O? 内切于点 M ,连结 AM 与 ? O? 交于 C 点, 则

AB ? AM



1 2 解析: 作两圆的公切线 MDE , 连结 AO ,CO? , A 2 ?C A ? 则 B A M 2 AB AM ?AC AC 所以 ? ? 2 AM AM 2 AM 由弦切角定理知 ?AOM ? 2?EMA , ?CO?M ? 2?EMA , 则 ?AOM ? ?CO?M , AO ? CO? ,
16 答案: 所以

E

A
C

B

M
M D

O? O
’ ‘
第 16 题图

AB 1 1 AC OO? 4 ? 3 ,即 ? ? . ? ? AM 4 2 AM AO 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,角 A、 、 的对边分别为 a、、 , a ? 2 ,向量 m ? ( ?1,1) , B C b c

??

?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小和 ?ABC 的面积. 12
?
2 ?0 2

17 答案:(1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ?

??

即 cos ? B ? C ? ? ?

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2
?????????????????? 4 分

所以

cos A ?

2 ? ,A? . 2 4

(2)由 A ?

?
4

,C ?

3? ?B, 4

故 sin B ? cos( 由 B ? (0,

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6

3? ? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? . ????????8 分 3 4 4 a b 由正弦定理, ? ? 2 ,得 b ? 3 sin A sin B
[



1 6 ? ? 3? 3 ab sin C ? sin( ? ) ? . 2 2 4 3 4

????????????????12 分

18.(本小题满分 12 分) 某象棋比赛规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方 多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲、乙每局获胜的概率分别为 局比赛胜负互不影响. (Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 18 答案:(Ⅰ)比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜,
1 则所求概率为 P ? C2

2 1 和 ,且各 3 3

1 2 1 1 4 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81

?????????????? 4 分

(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?

2 3

1 3

5 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 , P (? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 9 33 3 33 3 81

1 P(? ? 6) ? (C2

1 2 2 16 ) ? 33 81

故 ? 的分布列为

?
P

2

4

6
16 81

5 9

20 81

???10 分

则 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

????????12 分

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 ABCD为 菱 形 , ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的 中 点 , 中
?

PA? PD? AD 2 . ? (Ⅰ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.
P M

Q A

D B

C

1 19 解:(I)当 t ? 时, PA // 平面 MQB 3
证明:连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN . 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,? 若t ?

第 19 题图

AQ AN 1 AN 1 ? ? ,所以 ? . BC NC 2 AC 3

1 PM 1 AN ,即 , ? PA // MN ? ? 3 PC 3 AC
???????4 分

由 MN ? 平面 PAC ,故 PA // 平面 MQB .

(II)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD=AB, 由 ∠BAD=60° 得△ABD 为正三角形, 又∵Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ??8 分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为

A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), Q(0, 0, 0), P(0, 0, 3)
设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x , y, z ? ,
? ??? ? ? ??? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? 3 y ? 0 ? ? 可得 ? ? ???? ,? ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? x ? 3z ? 0 ? ? ?

令 z=1,解得 n ? ( 3, 0,1) 取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 ,设所求二面角为 ? ,

?

?

?

则 cos? ?

| QP ? n | | QP || n |

?

1 2

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60° .

??????12 分

20.(本小题满分 12 分) 数 列

?an ?

中 , 已 知 a1 ? 1 , n ? 2 时 , an ?

1 2 2 an?1 ? n?1 ? . 数 列 ?bn ? 满 足 : 3 3 3

bn ? 3n?1 (an ? 1) (n ? N * ) .
(Ⅰ)证明: ?bn ? 为等差数列,并求 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?

S ?m 3m ? an ? 1 ? ? m 的前 n 项和为 S n ,是否存在正整数 m, n ,使得 n ? Sn?1 ? m 3 ? 1 ? n ?

[来

成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 (m, n) ;若不存在,说明理由. 20 解答: (Ⅰ)方法 1:由 n ? 2 时, an ? 两边同时乘以 3
n?1

1 2 2 1 2 an?1 ? n?1 ? 得, an ? 1 ? (an?1 ? 1) ? n?1 3 3 3 3 3

得, 3

n?1

(an ? 1) ? 3n?2 (an?1 ? 1) ? 2 ,即 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2

故 {bn } 是公差为 2 的等差数列. 又 b1 ? 3 ? 2 ? 2 , 所以 bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n .
0

???????????? 6 分

1 2 2 (an ? 1)? 3n?2 (an?1 ? 1) ,代入 an ? an?1 ? n?1 ? 3 3 3 2 1 n?1 1 n ?2 整理得 bn ? bn ?1 ? 3 ( an?1 ? n?1 ? ) ? 3 (an?1 ? 1) ? 2 ,故 {bn } 是公差为 2 的等差数列. 3 3 3 a ?1 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? 3 ( an ? 1) ? 2 n ,故 n ? n?1 , n 3 1 2(1 ? n ) 3 ? 3(1 ? 1 ) 所以 Sn ? ????????????8 分 1 3n 1? 3 1 1 1 3 ? m ? n?1 ? n n?1 Sn ? m 2 3 ? 1? 3 3 ? 1? 则 ? 1 Sn?1 ? m 3 ? m ? 1 (3 ? m)3n ? 1 3? m ? n 3n 3
方法 2: n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 3
n?1

因为

Sn ? m 3m 1 2 1 ? m ? 1? m ? m ,得 n Sn?1 ? m 3 ? 1 3 ?1 (3 ? m)3 ? 1 3 ? 1

? (3 ? m)3n ? 1 ? 0 , m ? N * ?m ? 1, 2
当 m ? 1时,

2 1 2 1 ? ? n ? 1;当 m ? 2 时, n ? ? n ? 1, 2 n 2 ? 3 ?1 4 3 ? 1 10

综上,存在符合条件的所有有序实数对 (m, n) 为: (1,1) , (2,1),(2,2) .

??????12 分

21.(本小题满分 13 分) 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

x2 y 2 F ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4 x 中两段曲线弧合成, F1、 2 为椭 2 a b 5 圆的左、右焦点, F2 (1,0) . A 为椭圆与抛物线的一个公共点, AF2 ? . 2
如图,“盾圆 C ”是由椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求定积分时,可以使用下面的换元法公式:函数 y ? f ( x) 中,令 x ? ? (t ) , 则

?
?

b

a

b f ( x)dx ?? f ?? (t )? d? (t ) ?? f ?? (t )???(t )dt (其中 a ? ? (t1 ) 、 ? ? (t2 ) ).
t2 t2 t1 t1



1

0

1 ? x 2 dx ? ? 2 1 ? sin 2 td (sin t ) ? ? 2 cos t (sin t )?dt ? ? 2 cos 2 tdt ? ? 2
0 0 0 0

?

?

?

?

1 ? cos 2t dt . 2

阅读上述文字,求“盾圆 C ”的面积.

N G H (Ⅲ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,与“盾圆 C ”依次交于 M、 、、 四点, P 和 P? 分别为
NG、MH 的中点,问

MH PF2 ? 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. NG P?F2
2

21 解 答 : ( Ⅰ ) 由 y ? 4 x 的 准 线 为 x ? ?1 ,

y

M
N

5 3 ? AF2 ? xA ? 1 ? ,故记 A( , 6) 2 2
又 F1 (?1,0) ,所以 2a ? AF1 ? AF2 ?

A

7 5 ? ? 6 ,故椭 2 2

F1 O

F2
G

x

圆为

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????3 分 9 8
8 x2 y 2 ? ? 1 知, y ? ? 8 ? x 2 , (Ⅱ)由 9 9 8
令 x ? 3sin t (?

H
第 21 题图

?
2

?t ?

?
6
?

)
8 ? 8sin 2 td (3sin t ) ? 6 2 ? 6? cos 2 tdt ? 3 2 ? 6? (1 ? cos 2t )dt
? 2 ? 2

3 8 S1 ? ? 2 8 ? x 2 dx ? ?3 9

??
6

?

?

?

2

? 1 3 6 ? 3 2( x ? sin 2 x) | 6? ? 2 2? ? ; ? 2 4 2
3 2 0

S2 ? ?

4 3 3 2 4 xdx ? ( x 2 ) |0 ? 6 3

根据对称性, “盾圆 C ”的面积为 2( S1 ? S 2 ) ? 4 2? ? (Ⅲ)设过 F2 的直线为 x ? my ? 1(m ? 0) ,

6 . 2

????????7 分

M ( xM , yM )、 ( xN , yN )、 ( xG , yG )、 ( xH , yH ) N G H
?16m ? ? x ? my ? 1 ? y M ? y H ? 8m 2 ? 9 ? ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,得 (8m ? 9) y ? 16my ? 64 ? 0 ,则 ? ?1 ? ? ? y y ? ?64 8 ?9 ? M H 8m 2 ? 9 ?
联立 ?

? x ? my ? 1 ? y ? 4x
2

,得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ?
2

? y N ? yG ? 4m ? y N yG ? ?4

y N ? yG MH PF2 y ? yH 2 ? ? M ? N G H P P 由 M、 、、 、 、 ? 共线,所以 NG P?F2 y N ? yG yM ? yH 2
MH PF2 ? ? NG P?F2 (16m) 2 ? 4 ? 64(8m 2 ? 9) 8m 2 ? 9 ? 16m 2 ? 16 4m ?3 16m 8m 2 ? 9

代入韦达定理整理得,



MH PF2 ? 为定值 3 . NG P?F2

?????????? 13 分

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)证明:对 ?x1, x2 ? (0, ??) ,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? ;

(Ⅲ)若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,证明: ? xi ln xi ? ? ln 2n
i ?1

2n

(i ,n ? N* ) .

22 答案:(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ,( 0 ? x ? 1 ),

x 1 .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 2 1? x 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ) 是减函数, 2 2
则 f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? ln

1 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( ,1) 是增函数, 2 2 1 1 1 所以 f ( x) 在 x ? 时取得最小值,即 f ( ) ? ln . 2 2 2


????????(4 分)

(Ⅱ)因为 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) ,所以 f ?( x) ? ln x ? ln(a ? x) ? ln 所以当 x ?

x . a?x

a 时,函数 f ( x) 有最小值. ? x1,x2∈R+,不妨设 x1 ? x2 ? a ,则 2 x ?x x ?x x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? (a ? x1 ) ln(a ? x1 ) ? 2 ? 1 2 ln( 1 2 ) 2 2
?????????? (8 分)

? ( x1 ? x2 ) ? ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? .
(Ⅲ)(证法一)数学归纳法 ⅰ)当 n ? 1 时,由(Ⅱ)知命题成立. ⅱ)假设当 n ? k ( k∈N*)时命题成立,

即若 x1 ? x2 ? ? ? x2k ? 1 ,则 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2k ln x2k ? ? ln 2 .
k

当 n ? k ? 1 时, x1 , x2 ,?, x2k ?1 ?1 , x2k ?1 满足 x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ? 1 . 设 F ( x) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ln x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ln x2k ?1 , 由(Ⅱ)得 F ( x) ? ( x1 ? x2 ) ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln[( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2] = ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2k ?1 ) ln 2 = ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2 . 由假设可得 F ( x) ? ? ln 2 ? ln 2 ? ? ln 2
k k ?1

,命题成立.

所以当 n ? k ? 1 时命题成立. 由ⅰ),ⅱ)可知,对一切正整数 n∈N*,命题都成立, 所以 若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,则

? x ln x
i ?1 i

2n

i

? ? ln 2n

(i ,n ? N* ) .

??????(14 分)

(证法二)若 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? 1 , 那么由(Ⅱ)可得 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2n ln x2n

? ( x1 ? x2 ) ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln[( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2] ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n ) ln 2 ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ln( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? 2ln 2 ? ? ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n ) ln[( x1 ? x2 ? ? ? x2n ) ? ln 2] ? (n ? 1) ln 2 ? ? ln 2n .??(14 分)


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