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07-31二面角求法总结


F二面角求法

2014-07-31

二面角求法总结
一、定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条 直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点, 分别在两面内引两条射线与棱垂直, 这两条垂线所成的角的大小就是

练习 1:(山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA ⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 求二面角 E—AF—C 的余弦值.
6 , 2

二面角的平面角。 例 1:(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 点 M 在侧棱 SC 上, SD ? 底面 ABCD , DC ? SD ? 2 , AD ? 2 , ?ABM =60° ( I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 ( II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。
G F

1

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二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上 则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例 2.(山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、 AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

练习 2(天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2 , ?PAB ? 60 ? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

2

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三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二 面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为 补棱) ,然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明 确的交线时,一般用补棱法解决 例 3(湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的 菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.

练习 3-1:已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧棱与底面 成 600 的角,侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 ( 1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。
A1 C1 B1

A L C B

P

P

练习 3-2:在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA
G

= AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。
P N

F D A B E C A B
B B O

H

D

E C

Q

M



A

D

3

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四、射影面积法( cos q =

s射影 S



练习 4: 如图,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求 平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦 值.
D A D1 A1 B1 B E C1 C

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平 面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos? ? 面角的大小。 例 4:(北京理)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 ,?ACB ? 90 ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC .
P

S射 S斜

)求出二

(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;
A B

C

4

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五、向量法 1.法向量 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 可 以说所有的立体几何题都可以用向量法求解, 用向量法解立体几何题 时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中 的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例 5: (天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。
1 2

练习 5: (湖北)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面
A1 ABB1 .

(Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ) 若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为? ,二面角 A1 ? BC ? A 的大小为
? ,试判断 ? 与? 的大小关系,并予以证明.

5

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2.向量外积法 定义 : 设 a, b 是 2 个空间向量, a和b 的向量积 c ? a ? b, c ? a ? b sin a, b , c 垂直于 a和b 并且 a, b, c 的方向符合右手法则. 定理: 设 a ? ?a x , a y , a z ?, b ? ?bx , by , bz ?,则
a ? b ? ?a y bz ? a z by , a z bx ? a x bz , a x by ? a y bx ?

练习 6: (广东卷理)如图,? ABC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径, 点 E 为? 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一 AC 的中点, 点 F 满足 FB ? DF ? 5a ,FE= 6 a .

具体步骤:
(1) 建立空间直角坐标系; (2) 取与二面角的棱共线的向量 a , 在平面 ?、? 内分别取不与 a 共线的向量 b1、b2 (注 意方向) ; (3) 将 a 放在前面作向量积分别求出平面 ?、? 的法向量,即 m ? a ? b1 , n ? a ? b2 ;

( 1)证明:EB⊥FD; ( 2 ) 已 知 点 Q,R 分 别 为 线 段 FE,FB 上 的 点 , 使 得
BQ ? 2 2 FE , FR ? FB , 求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值. 3 3

m?n , 求出 cos m, n 的值, 此时无需再进行判断, (4) 利用向量夹角公式 cos m, n ? m?n

cos m, n 就是所求二面角的余弦值.

例 6: (全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1,DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点, 平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

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习题

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