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(教师用书)高中数学 2.3.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教版选修2-1_图文

2.3.2 双曲线的简单几何性质 ? 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能 掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质; 理解渐近线的证明方法; 理解离心率和双曲线形状间的变化关系. 2.过程与方法 通过对双曲线几何性质的探究及应用过程培养学 生的观察能力、想象能力、数形结合能力、逻辑推理能 力以及类比的学习方法. 3.情感、态度与价值观 培养学生对待知识的科学态度和探索精神, 而且能 够运用运动的、变化的观点分析理解事物. ●重点难点 重点:方程导出性质及其应用. 难点:渐近线的理解. 从学生的认知水平来看, 对渐近线分析方法的理解 和掌握有一定的困难, 同时渐进线概念如何顺应学生思 维的自然呈现,是教法中的一个困惑.因此,将渐近线 的呈现与分析设置为本课时的难点. 为突破该难点, 应 从“如何画双曲线草图”入手,分析作草图必须的条 件, 以“双曲线的走向”为切入口, 通过复习反比例函 数图象,以旧引新,使双曲线的概念自然呈现,并通过 学生讨论与交流, 充分暴露思维过程, 完成分析和证明 过程. ●教学建议 本节课宜采用的教学方法和手段:类比、启发、探 索式相结合的教学方法,体现学生的主体作用. ●教学流程设计 演示结束 课 1.掌握双曲线的简单几何性质.(重 标 点) 解 2.理解双曲线的渐近线及离心率的 读 意义.(难点) 双曲线的几何性质 【问题导思】 类比椭圆的几何性质, 结合双曲线的图象, 你能得 到双曲线的哪些几何性质? 【提示】 范围、 对称性、顶点、 渐近线、 离心率. x2 y2 y2 x2 2- 2=1(a>0, 2- 2=1(a>0, a b a b 标准方程 b>0) b>0) 图形 范 围 性 质 对 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a _____________ ________________ 坐标轴 , 原点 称 对称轴: _______ 对称中心: ______ 性 顶 点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 性 质 渐近线 离心率 2b 实轴长=____ 2a ,虚轴长=____ c e=a且 e>1 a b y=± x ____________ y=± x b a 双曲线的相关概念 中心 1.双曲线的对称中心叫做双曲线的_________ . 等轴 双曲线, 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做_______ 2 其离心率 e=_________. 根据双曲线方程研究几何性质 求双曲线 nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴 长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线 方程. 【思路探究】 得双曲线的 → 几何性质 化为标准 → 求出a、b、c 方程形式 【自主解答】 把方程 nx2-my2=mn(m>0,n> 0), x2 y2 化为标准方程m- n =1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长 a= m, 虚半轴长 b= n,c= m+n, 焦点坐标( m+n,0),(- m+n,0), m+ n c 离心率 e=a= = m n 1+m. 顶点坐标为(- m,0),( m,0). n mn ∴渐近线的方程为 y=± x=± m x. m 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤: (1) 把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关 键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a、b 的值. (3)由 c2=a2+b2 求出 c 值, 从而写出双曲线的几何 性质. 将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解 之. 【解】 2 2 y x 将方程 4x2-y2=-4 变形为 - =1. 4 1 ∴a=2,b=1,c= 5. ∴实半轴长为 2,虚半轴长为 1,焦点坐标为(0, - 5),(0, 5). c 5 离心率 e=a= ,顶点坐标为(0,-2),(0,2). 2 渐近线方程为 y=± 2x. 求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线标准方程. 3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2 x2 y2 (2)经过点 M(-3,2 3), 且与双曲线 - =1 有共 9 16 同的渐近线. 【思路探究】 分析双曲线 → 求a、b、c 的几何性质 确定?讨论? 求双曲线的 → → 焦点位置 标准方程 b 3 【自主解答】 (1)当焦点在 x 轴上时,由a= 且 a 2 9 =3,∴b= , 2 x2 4y2 ∴所求双曲线方程为 - =1; 9 81 a 3 当焦点在 y 轴上时,由b= 且 a=3,∴b=2. 2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 9 4 x2 y2 4 (2)法一 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± 9 16 3 x x2 y2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ?b 4 ?a=3 由题意得? ? 92-12 2 =1, a b ? 9 ? ?a2= 4 ∴? 2 ? ?b =4. x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1; 9 4 4 y2 x2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ?a 4 ?b=3 由题意得? 9 ?12 2 - 2=1 a b ? 此方程组无解. x2 y2 综上可知,双曲线的标准方程为 - =1. 9 4 4 x2 y2 法二 设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0), 9 16 ∵双曲线经过点 M(-3,2 3), ?-3?2 ?2 3?2 1 ∴λ= - = . 9 16 4 x2 y2 1 x2 y2 故双曲线方程为 - = ,即 - =1. 9 16 4 9 4 4 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一 般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位 置,从而正确选择方程的形式. 2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐 x2 y2 近线的双曲线系方程 2-

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