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2014-2015学年江西省南昌十九中高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年江西省南昌十九中高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 6 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. (6 分)已知一个平面 α,? 为空间中的任意一条直线,那么在平面 α 内一定存在直线 b 使 得( ) A. ?∥b B. ? 与 b 相交 C. ? 与 b 是异面直线 D. ?⊥b 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 本题可以从直线与平面的位置关系入手:直线与平面的位置关系可以分为三种:直线 在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知 直线的关系,通过比较可知:每种情况都有可能垂直. 解答: 解:当直线 a 与平面 α 相交时, 平面 α 内的任意一条直线与直线 a 的关系只有两种:异面、相交,此时就不可能平行了,故 A 错. 当直线 a 与平面 α 平行时, 平面 α 内的任意一条直线与直线 a 的关系只有两种:异面、平行,此时就不可能相交了,故 B 错. 当直线 a 在平面 α 内时, 平面 α 内的任意一条直线与直线 a 的关系只有两种:平行、相交,此时就不可能异面了,故 c 错. 不管直线 a 与平面 α 的位置关系相交、平行,还是在平面内, 都可以在平面 α 内找到一条直线与直线 b 垂直, 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关 系,考查空间想象能力和思维能力. 2. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别是 8、12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD、AC 的截面四边形的周长为( ) A. 10 B. 20 C. 8 D. 4 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题. 分析: 如图,根据三角形的中位线定理知,EF、EH 的长为其第三边的一半,根据平行四边 形的周长公式即得. 解答: 解析:设截面四边形为 EFGH,F、G、H 分别是 BC、CD、DA 的中点,∴EF=GH=4, FG=HE=6, ∴周长为 2×(4+6)=20. 答案:B.

故选 B.

点评: 本题主要考查了棱锥的结构特征,以及三角形的中位线定理,属于基础题. 3. (6 分)如图:用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为 1 的正方形,则原来 图形的形状是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 作图题. 分析: 由斜二测画法的规则知在已知图形平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x'轴, 长度保持不变,已知图形平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y'轴,且长度为原来一 半.由于 y'轴上的线段长度为 ,故在平面图中,其长度为 2 ,且其在平面图中的 y 轴上, 由此可以选出正确选项. 解答: 解: 由斜二测画法的规则知与 x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变, 正方形的对角线在 y'轴上,可求得其长度为 ,故在平面图中其在 y 轴上,且其长度变为原 来的 2 倍,长度为 2 ,观察四个选项,A 选项符合题意. 故应选 A. 点评: (1)建立直角坐标系:在已知平面图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O. (2)画出斜坐标系:在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 x'轴和 y'轴,两轴相 交于点 O',且使∠x'O'y'=45 度(或 135 度) ,它们确定的平面表示水平平面. (3)画对 应图形:在已知图形平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x'轴,长度保持不变; z 轴

也保持不变. 在已知图形平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y'轴,且长度为原来 一半. (4)对于一般线段,要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线,再按上述要求 画出这些线段,确定端点,从而画出线段. (5)擦去辅助线:图画好后,要擦去 x'轴, y'轴及为画图添加的辅助线. 4. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,且有 =x +y +z (x,y,z∈R) ,则 x=2,y=﹣3,z=2 是 P,A,B,C 四点共面的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可. 解答: 解:若 P,A,B,C 四点共面, 则满足 x+y+z=1,则 x=2,y=﹣3,z=2 不一定成立,即必要性不成立. 若 x=2,y=﹣3,z=2,则满足 x+y+z=2+3﹣2=1,则 P,A,B,C 四点共面,即充分性成立, 故 x=2,y=﹣3,z=2 是 P,A,B,C 四点共面的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据空间四点共面的等价条件是解决本题 的关键. 5. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点, 沿线 AF,AE,EF 折起来,则所围成的三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题;空间位置关系与距离. 由题意图形折叠为三棱锥,直接求出三棱柱的体积即可. 解:由题意图形折叠为三棱锥,底面为直角△ EFC,高为 1, ,

所以三棱柱的体积: × × × ×1= 故选:D.

点评: 本题是基础题,考查几何体的体积的求法,注意折叠问题的处理方法,考查计算能力.

6. (6 分) (2014?南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角 形,侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 利用俯视图与侧视图,我们可以画出其直观图,根据直观图,我们即可得到该三棱锥 的正视图的形状. 解答: 解:由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为 2 的正三角形,

由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为 2, 故其主视图为高为 2 的三角形,且中间有一虚线. 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中根据已知中三棱锥的侧视图与俯视 图,画出其直观图,是解答本题的关键. 7. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成 二面角的余弦值是( ) A. B. C. D.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题. 分析: 以正三棱锥 O﹣ABC 的顶点 O 为原点,OA,OB,OC 为 x,y,z 轴建系,设侧棱长 为 1,分别求出侧面及底面的法向量,代入向量夹角公式,即可求出答案. 解答: 解:以正三棱锥 O﹣ABC 的顶点 O 为原点,OA,OB,OC 为 x,y,z 轴建系, 设侧棱长为 1, 则 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,1) , 侧面 OAB 的法向量为 =(0,0,1) ,

底面 ABC 的法向量为 =( , , ) ,

∴cos<

, >=

=



故选 B 点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,向量法求二面角比较简单,但要建立恰 当的坐标系. 8. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)在棱长不 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AB 的 中点,则点 C 到平面 A1DM 的距离为( )

A.

B.

a C.

a D.

a

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题. 分析: 连接 A1C、MC,三棱锥 A1﹣DMC 就是三棱锥 C﹣A1MD,利用三棱锥的体积公式进 行转换,即可求出点 C 到平面 A1DM 的距离. 解答: 解:连接 A1C、MC 可得 = △ A1DM 中,A1D= ∴ 三棱锥的体积: 所以 d ,A1M=MD= =

(设 d 是点 C 到平面 A1DM 的距离) ∴ 故选 A. =

点评: 本题以正方体为载体,考查了立体几何中点、线、面的距离的计算,属于中档题.运 用体积计算公式,进行等体积转换来求点到平面的距离,是解决本题的关键. 9. (6 分) (2015 春?南昌校级期中)在直角坐标系中,A(﹣2,3) ,B(3,﹣2) ,沿 x 轴把 直角坐标系折成 120°的二面角,则 AB 的长度为( ) A. B. 4 C. 3 D. 2 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 作 AD⊥x 轴,垂足为 D,作 CD⊥x 轴,BC⊥y 轴,交于点 C,利用余弦定理,计算 AC,利用勾股定理,计算 AB. 解答: 解:如图所示,作 AD⊥x 轴,垂足为 D,作 CD⊥x 轴,BC⊥y 轴,交于点 C,

则∠ADC=120°,AD=3,CD=2,BC=5,BC⊥AC 2 在△ ADC 中,由余弦定理可得 AC =9+4﹣2×3×2×cos120°=19 在△ ABC 中,AB= =2 . 故选:D. 点评: 本题考查空间距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 10. (6 分) (2015?江西模拟)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B. 1 C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是长方体,去掉两个全等的四棱锥,由此计算它 的体积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是长方体,去掉两个全等的四棱锥 A﹣A1B1MN 和 D﹣D1C1MN, 且长方体的长为 2,宽为 1,高为 1, 四棱锥的底面为边长是 2 和 ,高为 1;

如图所示: ∴该几何体的体积为: V 几何体=V 长方体﹣2V 四棱锥 =2×1×1﹣2× ×2× ×1= . 故选:C. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 二、填空题:本大题共 4 个小题;每小题 5 分,共 20 分. 11. (5 分) (2015 春?南昌校级期中)正四面体 S﹣ABC 中,D 为 SC 的中点,则 BD 与 SA 所 成角的余弦值是 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由题意画出图象再取 AC 的中点 E,连接 DE,BE,则可证得∠BDE 就是 BD 与 SA 所成的角,在三角形 BDE 中利用余弦定理求解即可. 解答: 解:如图取 AC 的中点 E,连接 DE、BE,则 DE∥SA, ∴∠BDE 就是 BD 与 SA 所成的角. 设 SA=a,则 BD=BE= ,DE= ,

在△ 中,cos∠BDE=

=

=



∴BD 与 SA 所成角的余弦值 故答案为: .



点评: 本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题. 12. (5 分)过三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的 直线共有 6 条. 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 压轴题;存在型. 分析: 本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系,要判断过三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线,我们可以利用数型结 合的思想,画出满足条件的三棱柱 ABC﹣A1B1C1,结合图象分析即可得到答案. 解答: 解:如下图示,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 过三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 ABB1A1 平行的直线有: DE、DG、DF、EG、EF、FG 共有 6 条. 故答案为:6

点评: 要判断空间中直线与平面的位置关系,有良好的空间想像能力,熟练掌握空间中直线 与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理,并能利用教室、三棱 锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件. 13. (5 分) 如图所示, ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, M、 N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= a .

考点: 平面与平面平行的性质;棱柱的结构特征. 专题: 计算题. 分析: 由题设 PQ 在直角三角形 PDQ 中,故需要求出 PD,QD 的长度,用勾股定理在直角 三角形 PDQ 中求 PQ 的长度. 解答: 解:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,MN?平面 A1B1C1D1 ∴MN∥平面 ABCD,又 PQ=面 PMN∩平面 ABCD, ∴MN∥PQ. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点 ∴MN∥A1C1∥AC, ∴PQ∥AC,又 AP= ,ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, ∴CQ= ,从而 DP=DQ= ,

∴PQ=

=

=

a.

故答案为:

a

点评: 本题考查平面与平面平行的性质,是立体几何中面面平行的基本题型,本题要求灵活 运用定理进行证明. 14. (5 分)如图,M 是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1 都平行. 其中真命题是 ①②④ . (把你认为正确命题的序号都填上)

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: ①需要构造一个过点 M 且与直线 AB、B1C1 都相交的平面,就可判断; ②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断; ③可举反例,即找到两个或两个以上过点 m 且与直线 AB、B1C1 都相交的平面,即可判断. ④利用线面平行的性质来判断即可. 解答: 解:过 M 点与直线 AB 有且只有一个平面,该平面与直线 B1C1 相交,设交点为 P, 连接 MP,则 MP 与直线 AB 相交,∴过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都相交; ①正确 ∵直线 BC∥直线 B1C1,直线 BC 与直线 AB 确定平面 ABCD,过点 M 有且只有直线 D1D⊥ 平面 ABCD 即过点 M 有且只有直线 D1D⊥AB,⊥BC,∴过点 M 有且只有直线 D1D⊥AB,⊥B1C1∴过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1 都垂直;②正确 过 M 点与直线 AB 有且只有一个平面,该平面与直线 B1C1 相交, 过 M 点与直线 B1C1 有且只有一个平面,该平面与直线 AB 相交, ∴过点 M 不止一个平面与直线 AB、B1C1 都相交,③错误 过 M 分别作 AB,B1C1 的平行线,都有且只有一条,这两条平行线成为相交直线,确定一个 平面, 该平面与 AB,B1C1 平行,且只有该平面与两直线平行,∴④正确 故答案为①②④. 点评: 本题主要考查了异面直线的概念与性质,为多选题,必须逐个判断. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 15. (12 分) 如图所示, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, PD=AD=2, E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (Ⅰ)求证:PA∥平面 EFG; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣EFG 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题;综合题.

分析: (I)取 AD 的中点 H,连接 GH,FH,说明 PA 不在平面 EFG,FH 在平面 EFG,证 明 PA 平行平面 EFG 内的直线 FH 即可证明 PA∥平面 EFG; (II)利用转化法 ,求出底面面积和高,求三棱锥 P﹣EFG 的

体积. 解答: 解(I) :如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH, ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴EF∥CD. ∵G,H 分别为 BC,AD 的中点, ∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E,F,H,G 四点共面. (4 分) ∵F,H 分别为 DP,DA 的中点, ∴PA∥FH. ∵PA 不在平面 EFG,FH?平面 EFG, ∴PA∥平面 EFG. (6 分) (II)解:∵PD⊥平面 ABCD,GC?平面 ABCD, ∴GC⊥PD. ∵ABCD 为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D, ∴GC⊥平面 PCD. (8 分) ∵PF= PD=1,EF= CD=1, ∴ ∵GC= ∴ =1, (12 分) .

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,是中档 题. 16. (14 分) (2013?天心区校级二模) 如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD, AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明你 的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据 DE⊥平面 ABCD,由线面垂直的判定定理可知 DE⊥AC,由 ABCD 是正方 形可知 AC⊥BD,而 DE∩BD=D,满足线面垂直的判定所需条件,从而证得结论; (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥平面 BEF.取 BE 上的三等分点 N, 使 3BN=BE,连接 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN,而 AF∥DE,且 DE=3AF,则四边 形 AMNF 是平行四边形,从而 AM∥FN,AM?平面 BEF,FN?平面 BEF,满足线面平行的 判定定理,从而证得结论. 解答: (1)证明:因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 DE⊥AC.…(2 分) 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD,因为 DE∩BD=D…(4 分) 从而 AC⊥平面 BDE.…(6 分) (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥平面 BEF. …(7 分) 取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连接 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. …(10 分) 所以 AM∥FN, 因为 AM?平面 BEF,FN?平面 BEF,…(12 分) 所以 AM∥平面 BEF. …(14 分) 点评: 本题主要考查了线面垂直的判定,以及线面平行的判定,同时考查了推理论证的能力, 属于中档题. 17. (14 分) (2012?石家庄一模)四棱锥的正视图和俯视图如图,其中俯视图是直角梯形. (I )若正视图是等边三角形,F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动时,是否总有 BF 丄 CM,请说明理由; (II)若平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二面角为 45°,求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦 值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;由三视图还原实物图;与二面角有关的立体几何综 合题. 专题: 综合题. 分析: (I )建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,证明 ,可得 BF 丄 CM.

(II)求出平面 ADE 的法向量、平面 ABC 的法向量,利用平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二 面角为 45°,可得 求出平面 ABE 的法向量,计算 ,即可得到直

线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解答: 解: (I )若正视图是等边三角形,F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动时,总有 BF 丄 CM. 取 BC 中点 O,连接 AO,由俯视图可知,AO⊥面 BCDE,取 DE 中点 H,连接 OH,OH⊥BC 以 OC、OH、OA 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,设 A(0,0, ) ,B(﹣ 1,0,0) ,C(1,0,0) ∴F( 设 M(x,2x, ∴ ∴ , ) (1﹣x) ) , ,

∴BF 丄 CM. (II)D(1,2,0) ,设 A(0,0,a) (a>0) ,∴ 设平面 ADE 的法向量为 ,∴



,∴可取

∵平面 ABC 的法向量为



∵平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二面角为 45°, ∴ ,解得

设平面 ABE 的法向量为 ∵ ∴







∴可取 ∴ ∴直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为 .

点评: 本题考查三视图与直观图的转换,考查线线垂直,考查直线与平面的所成角,考查空 间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.

18. (15 分) (2015?银川模拟)已知在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1=2,∠ACB= 点 D 是线段 BC 的中点.



(1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)当三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积最大时,求直线 A1D 与平面 AB1D 所成角 θ 的正弦值. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)设 A1B∩AB1=O,连接 OD,利用三角形的中位线定理可得:A1C∥OD,利用线 面平行的判定定理即可证明;

(2)当三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面积最大时,体积最大,利用余弦定理与基本不等式的性 质可得:当 AC=BC,三角形 ABC 为正三角形时取最大值,然后建立空间直角坐标系,利用 空间向量求直线 A1D 与平面 AB1D 所成角 θ 的正弦值. 解答: (1)证明:如图, 设 A1B∩AB1=O,连接 OD, 则 OD 为三角形 A1BC 的中位线, ∴A1C∥OD,OD?平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D; (2)解:当三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面积最大时,体积最大, ∵ 2AC?BC﹣AC?BC=AC?BC,

∴当 AC=BC,三角形 ABC 为正三角形时面积取最大值, 以 D 为原点建立如图所示坐标系, 则 D(0,0,0) ,A( ∴ =( ,0,0) , ,0,0) ,B1(0,﹣1,2) , =(0,﹣1,2) , , , ,

设平面 AB1D 的法向量为



,得

,取 z=1,得 y=2.





则直线 A1D 与平面 AB1D 所成角 θ 的正弦值为 sinθ=|

|=|

|=



点评: 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理, 考查了推理能力与计算能力,考查了空间想象能力,训练了利用空间向量求线面角,属于中 档题.

19. (15 分) (2007?辽宁)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=a,D, E 分别为棱 AB,BC 的中点,M 为棱 AA1 上的点,二面角 M﹣DE﹣A 为 30°. (I)证明:A1B1⊥C1D; (II)求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;棱柱的结构特征;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)连接 CD,根据三垂线定理可得 AB⊥C1D,而 A1B1 平行 AB,从而 A1B1⊥C1D; (II)过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F,连接 MF,根据定义可知∠MFA 为二面 角 M﹣DE﹣A 的平面角,在 Rt△ GAF 中,∠GFA=30°,求出 A 到平面 MDE 的距离,再根据 线面平行可知 C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等. 解答: 解: (I)证明:连接 CD, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,∴CC1⊥平面 ABC,∴CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射 影. ∵△ABC 中, AC=BC, D 为 AB 中点, ∴AB⊥CD, ∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB, ∴A1B1⊥C1D

(II)解:过点 A 作 CE 的平行线, 交 ED 的延长线于 F,连接 MF∵D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴DE∥AC 又∵AF∥CE,CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面 ABC,∴AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影 ∴MF⊥DE∴∠MFA 为二面角 M﹣DE﹣A 的平面角,∠MFA=30° 在 Rt△ MAF 中, ,∠MFA=30°,∴

作 AG⊥MF, 垂足为 G, ∵MF⊥DE, AF⊥DE, ∴DE⊥平面 AMF, ∵平面 MDE⊥平面 AMF, ∴AG⊥平面 MDE 在 Rt△ GAF 中, ∠GFA=30°, , ∴ , 即 A 到平面 MDE 的距离为 ∵CA∥DE, ∴CA∥

平面 MDE,∴C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等,为 .

点评: 本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维 能力,属于基础题.


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