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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第56课 圆的方程 文


第 56 课 圆的方程
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

1.(必修2P111练习4改编)方程x +y -6x=0表示的圆的圆心坐标是 【答案】(3,0) 3 【解析】原方程转化为(x-3) +y =9,圆心坐标为(3,0),半径为3.
2 2

2

2

,半径是

.

2.(必修2P111练习3(1)改编)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程 是
2

.
2

【答案】(x-1) +(y-2) =25

? -3 ? 5 -1 ? 5 ? , 2 2 ? ? 2 2 ? ,即(1,2),直径2R= [5-(-3)] ? [5-(-1)] =10,所以圆的方程 ? 【解析】圆心
是(x-1) +(y-2) =25.
2 2

3.(必修2P102习题8改编)方程x+1= 【答案】右半圆 【解析】方程x+1=

1-y 2

表示的曲线是

.

1-y 2

同解于方程(x+1) =(

2

1-y 2

) ,x+1≥0,此方程化简为(x+1) +y =1,

2

2

2

x≥-1.此方程表示以点(-1,0)为圆心、1为半径的半圆,位于直线x=-1的右侧.

4.(必修2P100习题7改编)已知点P(1,1)在圆C:x +y -ax+2ay-4=0的内部,则实数a的取值范围 是 .

2

2

【答案】(-∞,2) 【解析】因为点P在圆内,所以1+1-a+2a-4<0,所以a<2.

1

1.以(a,b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r .

2

2

2

? D E? - ? ?- , 2 2 2 2 2.圆的方程的一般形式是x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0),其中圆心为 ? 2 2 ? ,半径为
1 D 2 ? E 2 -4 F 2 .

3.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

4.(1)设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若点P在圆上,则d=r;若点P在圆外,则d>r;若 点P在圆内,则d<r. (2)设点P(m,n),圆C:f(x,y)=(x-a) +(y-b) -r =x +y +Dx+Ey+F=0(r>0,D +E -4F>0),则: 点P在圆C外 ? f(m,n)>0;点P在圆C上 ? f(m,n)=0;点P在圆C内 ? f(m,n)<0.
2 2 2 2 2 2 2

【要点导学】 要点导学 各个击破

求圆的方程 例1 一个圆经过A(3,-2),B(2,1)两点,求分别满足下列条件的圆的方程. (1)圆心在直线x-2y-3=0上; (2)在两坐标轴上的四个截距之和为2. 【思维引导】在解决圆的方程问题时,不仅可以利用待定系数法,还可以利用几何法, 即利用圆的有关性质来寻求圆的方程中的几个基本量,从而求出圆的方程.根据具体的条件合 理选择方法.

2

【解答】(1)方法一:设所求的圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .由已知,得

2

2

2

?a-2b-3 ? 0, ? 2 2 2 ?(3-a) ? (-2-b) ? r , ?(2-a)2 ? (1-b)2 ? r 2, ?

解得

?a ? 1, ? ?b ? -1, ?r 2 ? 5, ?
2 2

即所求圆的方程为(x-1) +(y+1) =5. 方法二:由圆的几何性质知,圆心在线段AB的垂直平分线x-3y-4=0上,与方程x-2y-3=0 联立可得圆心坐标为C(1,-1),半径为CA= 5 , 故所求圆的方程为(x-1) +(y+1) =5. (2)方法一:设所求圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0),由圆过点A(3,-2),B(2,
2 2 2 2 2 2

?13 ? 3D-2 E ? F ? 0, ? 5 ? 2 D ? E ? F ? 0. 由x=0,得y2+Ey+F=0,y +y =-E.由y=0,得x2+Dx+F=0,x +x =-D. 1),得 ?
1 2 1 2

7 3 1 由题意知x1+x2+y1+y2=-D-E=2,解得D=- 2 ,E= 2 ,F= 2 . 7 3 1 故所求圆的方程为x +y - 2 x+ 2 y+ 2 =0.
2 2

方法二:设圆心为(a,b),圆与x轴分别交于(x1,0),(x2,0),与y轴分别交于(0,y1),

x1 ? x2 y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2 2 =1,a= 2 ,b= 2 , (0,y2),则根据题意知x1+x2+y1+y2=2,所以 2 +
所以a+b=1.又因为点(a,b)在线段AB的中垂线上,

7 ? a? , ? ? 4 ? ?a ? b ? 1, ?b ? - 3 , ? ? a-3b-4 ? 0, 4 所以a-3b-4=0,联立 ? 解得 ?

?7 3? 5 2 - ? ? , 所以圆心为 ? 4 4 ? ,半径r= 4 ,
3 ? 50 ? 7? ? ? x- ? ? y ? ? 4 ? = 16 , 所以所求圆的方程为 ? 4 ? + ?
2 2

7 3 1 即x +y - 2 x+ 2 y+ 2 =0.
2 2

【精要点评】求圆的方程时,要根据已知条件选择合适的形式,一般地,与圆心和半径 有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都是确定三个独立参数,所以应该

3

有三个独立等式.另外,充分利用圆的几何性质,也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性 质有:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时, 切点与两圆心三点共线.

变式1 求过两点A(1,4),B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程,并判断点 P(2,4)与圆的位置关系. 【解答】方法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r . 因为圆心在y=0上,故b=0. 所以圆的方程为(x-a) +y =r . 因为该圆过A(1,4),B(3,2)两点,
2 2 2 2 2 2

?(1-a)2 ? 16 ? r 2, ? (3-a)2 ? 4 ? r 2, 所以 ?
解得a=-1,r =20. 所以所求圆的方程为(x+1) +y =20. 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离d=PC= 所以点P在圆外. 方法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过A(1,4),B(3,2)两点, 所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上.
2 2 2

(2 ? 1) 2 ? 42

= 25 >r.

4-2 因为kAB= 1-3 =-1,故l的斜率为1,
又AB的中点为(2,3), 故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上,故圆心坐标为C(-1,0). 所以半径r=AC=

(1 ? 1) 2 ? 42
2 2

= 20 ,

故所求圆的方程为(x+1) +y =20. 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离 d=PC=

(2 ? 1) 2 ? 42

= 25 >r,

4

所以点P在圆外.

变式2 如图(1),圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线 PM,PN(M,N分别为切点),使得PM= 2 PN,若以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴建 立平面直角坐标,求点P所在的圆的方程.

(变式2(1)) 【解答】建立如图(2)所示的平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).

(变式2(2)) 由已知PM= 2 PN, 得PM =2PN . 因为两圆的半径均为1, 所以P
2 O12 -1=2(P O2 -1).
2 2 2 2 2 2

设P(x,y),则(x+2) +y -1=2[(x-2) +y -1], 即(x-6) +y =33, 所以点P所在圆的方程为(x-6) +y =33(或x +y -12x+3=0).
2 2 2 2 2 2

与圆有关的最值问题 例2 若实数x,y满足x +y +2x-4y+1=0,求下列各式的最大值和最小值.
2 2

5

y (1) x-4 ;
(2)3x-4y; (3)x +y . 【思维引导】(1)和(2)中,设所求式等于某参数,再将其转化为直线方程,利用直线与 圆的位置关系求解,(3)是原点到圆上点的距离的平方问题,可用两点间距离公式求解.
2 2

y 【解答】(1)方法一:令 x-4 =k,
则kx-y-4k=0. 因为x,y满足x +y +2x-4y+1=0,
2 2

|2 ? 5k |
所以圆心 (-1 , 2) 到直线 kx-y-4k=0 的距离不大于圆的半径 2 ,即

k 2 ? 1 ≤2,解得 -

20 21 ≤k≤0, y 20 所以 x-4 的最大值为0,最小值为- 21 . y 方法二:令 x-4 =k,则y=k(x-4)代入圆的方程,
整理得(1+k )x +(2-4k-8k )x+16k +16k+1=0, 因为上述方程有实数根, 所以Δ =(2-4k-8k ) -4(1+k )·(16k +16k+1)≥0,
2 2 2 2 2 2 2 2

20 2 化简整理得21k +20k≤0,解得- 21 ≤k≤0, y 20 所以 x-4 的最大值为0,最小值为- 21 .
(2)方法一:设3x-4y=k,则3x-4y-k=0,圆心(-1,2)到该直线的距离不大于圆的半径,

|-3-8-k | 25 ≤2, 即
解得-21≤k≤-1, 所以3x-4y的最大值为-1,最小值为-21. 方法二:设k=3x-4y,

6

3 k 即y= 4 x- 4 ,代入圆的方程,整理得
25x -(16+6k)x+k +16k+16=0, 因为上述方程有实根, 所以Δ =(-16-6k) -4·25(k +16k+16)≥0,化简整理得k +22k+21≤0,解得-21≤k≤-1, 所以3x-4y的最大值为-1,最小值为-21. (3)方法一:先求出原点与圆心之间的距离d=
2 2 2 2 2

(-1-0)2 ? (2-0) 2

= 5 ,根据几何意义,知

x2+y2的最大值为( 5 +2)2=9+4 5 ,最小值为( 5 -2)2=9-4 5 .
方法二:由(1)的方法知,

? x ? -1 ? 2cos ? , ? y ? 2 ? 2sin? , 圆的方程中的x,y变为 ? α ∈[0,2π ),
2 2 2 2 所 以 x +y =(-1+2cos α ) +(2+2sin α ) =9+8sin α -4cos α =9+4 5 sin(α +φ ) , 其中

1 tan α =- 2 ,
2 2 所以9-4 5 ≤x +y ≤9+4 5 , 2 2 即x +y 的最大值为9+4 5 ,最小值为9-4 5 .

【精要点评】本题的每一小题都给出了不同的解法,希望读者仔细研读,比较优劣,选 择自己容易把握的方法. 涉及圆的最值的问题主要有三种类型:

y -b (1)斜率型: x -a =k,其本质是动直线的斜率变化问题,可用例题中第 (1)题的两种方法
求解. (2)截距型:ax+by=t,其本质是动直线的截距变化问题,可用例题中第(2)题的两种方法 求解. (3)距离型:(x-a) +(y-b) =s,其本质是定点到圆上的点的距离问题,可用例题中第(3) 题的两种方法求解.
2 2

变式 设点P(x ,y)为圆x +y =1上任一点,求下列两个式子的取值范围.

2

2

7

y -2 (1) x ? 1 ;
(2)x +y -2x+6y+1.
2 2

y -2 2 2 【思维引导】(1)将u= x ? 1 变形为y-2=u(x+1),则该直线与圆x +y =1恒有公共点;(2)将
圆的方程通过三角代换变成三角式代入求出表达式,利用参数求出范围.

y -2 2 2 【解答】 (1)方法一:由u= x ? 1 得,y-2=u(x+1),此直线与圆x +y =1有公共点,故圆心
(0,0)到直线的距离d≤1,

3 即 u ? 1 ≤1,解得u≤- 4 ,
2

|u ? 2|

3? ? y -2 - ? ? -? , 4?. 所以 x ? 1 的取值范围是 ?

? y-2 ? u (x ? 1), ? 2 x ? y 2 ? 1 消去 y 后得 (u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0 ,此方程有实数 方法二:由 ?
3 根,故Δ =(2u +4u) -4(u +1)(u +4u+3)≥0,解得u≤- 4 ,
2 2 2 2

3? ? y -2 - ? ? -? , 4?. 所以 x ? 1 的取值范围是 ?
(2)将圆的方程x +y =1通过三角代换,
2 2

? x ? cos? , ? y ? sin? , 变为 ? θ ∈[0,2π ),
所以x +y -2x+6y-1=1-2cos θ +6sin θ +1
2 2

1? ? ? 其中tan? ? - ? 3?, =2+6sin θ -2cos θ =2+2 10 sin(θ +φ ) ?
2 2 所以x +y -2x+6y-1的取值范围是[2-2 10 ,2+2 10 ].

与圆有关的实际问题

8

例3

有一种大型商品在A,B两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商

品后运回的费用:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A,B两地的距离为10 km,顾 客选择A地或B地购买这种商品的标准:包括运费和价格的总费用较低 .求A,B两地的售货区域 的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点. 【思维引导】建立适当的坐标系,设出符合某种条件的点,从而表示出这一点与 A和B两 点的距离与费用,如果到A地购买比到B地购买总费用低,则有价格+A地运费≤价格+B地的运费.

(例3) 【解答】以A,B所确定的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角 坐标系.因为AB=10, 所以A(-5 ,0),B(5 ,0). 设某地 P 的坐标为 (x , y) ,且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜,并设 A 地的运费为 3a 元 /km,B地的运费为a元/km. 因为P地居民购物总费用满足条件: 价格+A地运费≤价格+B地的运费, 即3a

(x ? 5) 2 ? y 2

≤a

(x-5) 2 ? y 2

.

因为a>0, 所以3

(x ? 5) 2 ? y 2


2

(x-5) 2 ? y 2
2



25 ? ? ? 15 ? ?x? ? 2 ? ? 4 ? +y ≤ ? 4 ? , 化简整理得 ?

? 25 ? 15 0? ?- , 所以以点 ? 4 ? 为圆心、 4 为半径的圆是两地购货的分界线.
圆内的居民从A地购物便宜;圆外的居民从 B地购物便宜;圆上的居民从 A,B两地购物的 总费用相等,因此可随意从A,B两地之一购物.

9

【精要点评】本题的关键是建立坐标系,引入坐标研究曲线的形状,这也是解析几何的 最基本的思想.每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍转化为几何条件即为PA=3PB,动点的轨 迹是一个圆.

变式

如图(1)是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,每

隔4 m需用一支柱支撑,求支柱A2P2的高度.(精确到0.01 m, 825 ≈28.72)

(变式(1)) 【解答】建立如图(2)所示的坐标系,设该圆拱所在圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0,由于圆 心在y轴上,所以D=0,方程即为x +y +Ey+F=0.
2 2 2 2

(变式(2)) 因为P,B都在圆上,由题意知其坐标分别为(0,4),(10,0),

?42 ? 4E ? F ? 0, ? 2 10 ? F ? 0, 解得F=-100,E=21. 所以 ?
所以这个圆的方程是x +y +21y-100=0. 把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程,得(-2) +y +21y-100=0,即y +21y-96=0. 因为P2的纵坐标y>0,故应取正值,
2 2 2 2 2

-21 ? 212 ? 4 ? 96 2 所以y= ≈3.86(m).
所以支柱A2P2的高度约为3.86 m.

10

1.(2015·北京卷改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 【答案】(x-1) +(y-1) =2
2 2

.

2 2 【解析】由题意可得圆的半径为r= 2 ,则圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =2.

2 2 2.若点P(1, 3 )在圆x +y -2ax-2 3 ay=0的内部,则实数a的取值范围是

.

?1 ? ?? ? ? , ? 【答案】 ? 2
1 【解析】由点P在圆的内部,得1+3-2a-6a<0,解得a> 2 .
2 2

3.若直线l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C:x +y +8x+2y+1=0,则ab的最大值为 【答案】1

.

【 解 析 】 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 (-4 , -1) , 则 有 -4a-b+4=0 , 即 4a+b=4. 所 以

1 ? 4a ? b ? 1 ? 4 ? 1 1 ? ? ? ? ab= 4 (4ab)≤ 4 ? 2 ? = 4 × ? 2 ? =1,当且仅当a= 2 ,b=2时取等号.

2

2

y 4.若实数x,y满足方程x +y -4x+1=0,则 x ? 1 的最大值为
2 2

,最小值为

.

2 【答案】 2

2 - 2

y -0 y y 2 2 【解析】因为 x ? 1 = x-(-1) ,所以 x ? 1 表示过点P(-1,0)与圆(x-2) +y =3上的点(x,y)的直
y 线的斜率 . 如图,由图象知 x ? 1 的最大值和最小值分别是过点 P 与圆相切的直线 PA , PB 的斜

3 3 2 2 2 2 CA CB y 率,kPA= PA = 6 = 2 ,kPB=- PB =- 6 =- 2 ,故 x ? 1 的最大值为 2 ,最小值为- 2 .

11

(第4题)

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第111~112页.

【检测与评估】 第56课 圆的方程 一、 填空题 1.与圆(x+2) +y =5关于原点(0,0)对称的圆的方程为
2 2

.

2.若直线y=x+b平分圆x +y -8x+2y+8=0 的周长,则实数b的值为

2

2

.

3.若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4的内部,则实数a的取值范围是

2

2

.

4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为

.

5.(2015·全国卷改编 ) 已知△ABC 顶点的坐标分别为 A(1 , 0) , B(0 , 3 ) , C(2 , 3 ) ,则 △ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .

6.已知实数x,y满足(x-2) +(y+1) =1,则2x-y的最大值与最小值的和为

2

2

.

7.若方程x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0表示一个圆,则实数m的取值范围为

2

2

2

4

.

12

8.已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P'(b+1,a-1),那么圆C:x +y -6x-2y=0关于直线l对称 的圆C'的方程为 .

2

2

二、 解答题 9.已知△ABC顶点的坐标分别为A(0,0),B(1,1),C(4,2),求△ABC外接圆的方程.

10.若方程ax +ay -4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出半径最小的圆的方程.

2

2

11.如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆 上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向

4 170 m处(OC为河岸),tan∠BCO= 3 .
(1)求新桥BC的长. (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

(第11题)

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2的圆弧,那么圆C的 方程为 .

13

13.已知点P(x,y)是圆x +(y-1) =1上任意一点,若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0,则实数m的 取值范围是 .

2

2

【检测与评估答案】 第56课 圆的方程

1.(x-2) +y =5 【解析】圆心(-2,0)关于原点(0,0)的对称点为(2,0),所以所求圆的方程 为(x-2) +y =5.
2 2

2

2

2. -5 【解析】圆心坐标为(4,-1),由直线y=x+b平分圆,知-1=4+b,所以b=-5.

3.(-1,1) 【解析】因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a) +(1+a) <4,解得-1<a<1,即实数a 的取值范围是(-1,1).

2

2

4.x +(y-2) =1 【解析】设圆的方程为x +(y-b) =1,此圆过点(1,2),所以1 +(2-b) =1,解得

2

2

2

2

2

2

b=2,故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.

21 5. 3

【解析】△ABC外接圆圆心在直线BC的垂直平分线上,即在直线x=1上,设圆心D(1,

2 3 2 1 ? ( b 3) ? b= 3 ,所以圆心到原点的距离 b),由DA=DB,得|b|=

?2 3? 21 1 ?? ? 3 ? ? ? ? = 3 . d=
2

2

6.10 【解析】令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切

|2 ? 2 ? 1-b| 5 时,b取得最值.由 =1,解得b=5± 5 ,所以2x-y的最大值为5+ 5 ,最小值为55 ,其和为10.

14

? 1 ? 1? ?- , 2 2 2 2 2 7. ? 7 ? 【解析】方程表示圆的充要条件是D +E -4F>0,即有4(m+3) +4(1-4m ) -

1 4 4(16m +9)>0,解得- 7 <m<1.
8.(x-2) +(y-2) =10 【解析】圆C:(x-3) +(y-1) =10,令a=3,b=1,可得C'(2,2).圆C'的半
2 2 径与圆C的半径相等,为 10 ,所以圆C'的方程为(x-2) +(y-2) =10. 2 2 2 2

9. 方法一:设△ABC外接圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0.

2

2

由题意得

? F ? 0, ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0, ?

解得

? D ? -8, ? ? E ? 6, ? F ? 0, ?

所以△ABC外接圆的方程为x +y -8x+6y=0.

2

2

方法二:根据圆的性质,可知△ABC外接圆的圆心一定在三边垂直平分线的交点处,易得AB的

1 ? x- 1 ? ? ? 垂直平分线的方程为y- 2 =- ? 2 ? , ①
? 5? 3 ? x- ? BC的垂直平分线的方程为y- 2 =-3 ? 2 ? . ②

? x ? y ? 1, ? x ? 4, ? ? 3 x ? y ? 9 , y ? -3, ? 联立①②得 解得 ?
故所求圆的圆心为P(4,-3),半径r=OP=5, 所以所求圆的方程为(x-4) +(y+3) =25.
2 2

10. 因为方程ax +ay -4(a-1)x+4y=0表示圆,所以a≠0.

2

2

4(a-1) 4 2 2 2 2 所以方程ax +ay -4(a-1)x+4y=0可以写成x +y - a x+ a y=0.
16(a 2 -2a ? 2) 2 2 a2 因为D +E -4F= >0恒成立,所以a≠0时,方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.

15

? 1 1 ?2 ? 4(a 2 -2a ? 2) ? 4 ? 1 1 ? - ? ? 1? a 2 2 ? ? ? ? 2 ? ,所以当 a = 2 即,a=2时,圆的半径 a 设圆的半径为r,则r = =2 ?
最小,半径最小的圆的方程为(x-1) +(y+1) =2.
2 2

11. (1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系xOy.

4 由条件知A(0,60),C(170,0),直线 BC 的斜率kBC=-tan∠BCO=- 3 .
又因为 AB⊥BC,

3 所以直线AB的斜率kAB= 4 .
设点B的坐标为(a,b),

b-0 4 b-60 3 则kBC= a-170 =- 3 ,kAB= a-0 = 4 ,
解得a=80,b=120,所以BC= 因此新桥BC的长是150 m.

(170-80)2 ? (0-120)2

=150.

(第11题) (2) 设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).

4 由条件知,直线BC的方程为y=- 3 (x-170),即4x+3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离为r,

680-3d 5 . 即r= 4 ? 3 =
2 2

|3d -680|

?r -d ? 80, ? r -(60-d ) ? 80, 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以 ?

16

? 680-3d -d ? 80, ? ? 5 ? ? 680-3d -(60-d ) ? 80, ? 即? 5 解得10≤d≤35.

680-3d 5 最大,即圆面积最大,所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大. 故当d=10时,r=
2

? 3? 4 y? ? ? ? 3 ? 2 ? ? =3 12.x +

2π 【解析】由题可知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为 3 .

2 π π 3 3 设圆心(0,b),半径为r,则rsin 3 =1,rcos 3 =|b|,解得r= 3 ,|b|= 3 ,即b=± 3 .故
? 3? 4 y? ? ? ? 3 ? 2 ? ? =3. 圆的方程为x +
2

13.[ 2 -1,+∞)

【解析】令x=cos θ ,y=1+sin θ ,则m≥-x-y=-1-(sin θ +cos θ )=-1-

π? ? ?? ? ? 4 ? 对任意的θ ∈R恒成立,所以m≥ 2 -1. 2 sin ?

17


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