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数学苏教版高一必修4_第2章2.4向量的数量积(二)_作业 含解析

数学苏教版高一必修 4_第 2 章 2.4 向量的数量积(二)_作业 含解析 [学业水平训练] 1.已知 a=(3,x),|a|=5,则 x=________. 解析:由题意知,|a|= 9+x2=5.∴x=± 4. 答案:± 4 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为________. 解析:由题意知 6-m=0,∴m=6. 答案:6 3. 若向量 a=(1, 1), b=(2, 5), c=(3, x ), 满足条件(8a-b)· c=30, 则 x=__________. 解析:∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又∵(8a-b)· c =30,∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30.∴x=4. 答案:4 4.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|=________. 2 解析:∵|a+b|=5 2,∴a +2a· b+b2=50,∴b2=25, ∴|b|=5. 答案:5 5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, →· → = 2,则AE →· → =________. 若AB AF BF 解析:法一:以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标 → =( 2,0),AF → =(x,2), 系(图略),则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2).故AB → =( 2,1),BF → =(x- 2,2), AE →· → =( 2,0)· ∴AB AF (x,2)= 2x. →· → = 2,∴x=1.∴BF → =(1- 2,2). 又AB AF →· → =( 2,1)· ∴AE BF (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → =xAB → ,则CF → =(x-1)AB →. 法二:设DF →· → =AB →· → +DF → )=AB →· → +xAB →) AB AF (AD (AD → 2=2x,∴x= 2. =xAB 2 → =BC → +CF → =BC → +( 2-1)AB →. ∴BF 2 →· → =(AB → +BE → )· → +( 2-1)AB →] ∴AE BF [BC 2 → +1BC → )[BC → +( 2-1)AB →] =(AB 2 2 第1页 共4页 2 1 → 2+1BC →2=( 2-1)× -1)AB 2+ × 4= 2. 2 2 2 2 答案: 2 6. 设向量 a=(1, 2), b=(x, 1), 当向量 a+2b 与 2a-b 平行时, a· b 等于__________. 解析:a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3),∵a+2b 与 2a-b 平行,∴(1+2x)× 3 1 1 1 5 -4× (2-x)=0,∴x= ,a· b=(1,2)· ( ,1)=1× +2× 1= . 2 2 2 2 5 答案: 2 7.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时: (1)ka+b 与 a-3b 垂直? (2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们同向还是反向? 解:(1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10, -4).当(ka+b)· (a-3b)=0 时,这两个向量垂直.由(k-3)× 10+(2k+2)× (-4)=0.解得 k=19,即当 k=19 时,ka+b 与 a-3b 垂直. (2)当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在惟一的实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).由(k-3, 1 ? ?k=-3, ?k-3=10λ, 2k+2)=λ(10,-4),得:? 解得? 1 ?2k+2=-4λ. λ =- . ? ? 3 1 所以当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 因为 λ<0,所以 ka+b 与 a-3b 反向. 8.已知 a=(2,-3),求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解:设单位向量为 e,其坐标为(x,y). ?2x-3y=0, 根据题意有? 2 2 ?x +y =1, 3 13 ? 3 13 ? x = x =- 1 2 ? ? 13 13 解得? 或? , 2 13 2 13 ? ?y1= 13 ? ?y2=- 13 3 13 2 13 3 13 2 13 所以 e=( , )或(- ,- ). 13 13 13 13 [高考水平训练] → =(2,2),OB → =(4,1),在 x 轴上有一点 P 使AP →· → 有最小值,则 1.已知向量OA BP =( 点 P 的坐标是__________. → =(x-2,-2),BP → =(x-4,-1).AP →· → =(x 解析:设点 P 的坐标为(x,0),则AP BP →· → 有最小值 1,此时 -2)(x-4)+(-2)× (-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时,AP BP 点 P 的坐标为(3,0). 答案:(3,0) 2.如果向量 a 与 b 的夹角为 θ,那么我们称 a× b 为向量 a 与 b 的“向量积”,a× b是 一个向量, 它的长度为|a× b|=|a|· |b|sin θ.如果|a|=5, |b|=1, a· b=-3, 则|a× b|=________. 第2页 共4页 3 解析: 由于 a· b=|a||b|cos θ=-3,所以 cos θ=- . 5 4 又因为 θ 为向量 a 与 b 的夹角,所以 sin θ= , 5 所以|a× b|=|a||b|sin θ=4. 答案:4 ?1 3? 3.已知 a=( 3,-1),b=? , ?,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t2-3)b,y= ?2 2 ? 2 k+t -ka+tb,且 x⊥y,试求

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