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《金版学案》2018-2019学年高中数学必修二(人教A版)课件:第三章3.1-3.1.1倾斜角与斜率_图文

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 [ 学习目标 ] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 (重 点). 2.掌握求直线斜率的两种方法(重点、难点). 3. 了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素 ( 难 点). [知识提炼· 梳理] 1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方向 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.如图所示, 直线 l 的倾斜角是∠APx,直线 l′的倾斜是∠BPx. (2)倾斜角的范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是 0°≤α<180°,并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜 角为 0°. (3)倾斜角与直线形状的关系. 倾 斜 角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α< 180° 直 线 温馨提示 在平面直角坐标系中, 确定直线位置的几 何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的倾斜角.二 者缺一不可. 2.直线的斜率 (1)斜率的定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做 这条直线的斜率.常用小写字线 k 表示,即 k=tan_α. (2)斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2) y2- y1 x2-x1 .当 x1=x2 时,直 的直线的斜率公式为 k=__________ 线 P1P2 没有斜率. (3)斜率作用:用实数反映了平面直线坐标系内的直 线的倾斜程度. 温馨提示 直线都有倾斜角, 但并不是所有的直线都 有斜率,当倾斜角是 90°时,直线的斜率不存在,此时, 直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合). [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 直 线 的 倾 斜 角 为 α , 则 此 直 线 的 斜 率 为 tan α.( ) (2) 直 线 的 斜 率 为 tan α , 则 此 直 线 的 倾 斜 角 为 α.( ) (3)若直线的倾斜角为 α,则 sin α>0.( ) (4)任意直线都有倾斜角 α, 且 α≠90°时, 斜率为 tan α.( ) 解析:对于(1),当 α=90°时,直线的斜率不存在, 故不正确;对于(2),虽然直线的斜率为 tan α,但只有 0° ≤α<180°时,α 才是此直线的倾斜角,故不正确;对于 (3),当直线平行于 x 轴时,α=0°,sin α=0,故(3)不正 确;对于(4),由斜率的定义及正切的定义域知正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (2)√ 2.已知直线 l 的倾斜角为 30°,则直线 l 的斜率为 ( ) 3 A. 3 C.1 B. 3 2 D. 2 3 解析:由题意可知 k=tan 30°= . 3 答案:A 3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于 1, 则 m 的值是( A.5 13 C. 2 ) B.8 D.7 8-m 13 解析:由斜率公式可得 =1,解之得 m= . 2 m- 5 答案:C 4 .直线 l 经过原点和 ( - 1 , 1) ,则它的倾斜角为 ________. 解析:kl= =-1,因此倾斜角为 135°. -1-0 1-0 答案:135° 5.已知三点 A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同 一直线上,实数 a 的值为________. 解析:因为 A、B、C 三点共线, 5 9a+7 2 所以 kAB=kBC,即 = ,所以 a=2 或 . 5 9 3-a 2 答案:2 或 9 类型 1 直线的倾斜角(自主研析) [典例 1] 已知直线 l1 的倾斜角 α1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A, 直线 l1 和 l2 向上的方向所成的角为 120°, 如图,则直线 l2 的倾斜角为________. 解析:设直线 l2 的倾斜角为 α2,由 l1 和 l2 向上的方 向所成的角为 120°,所以∠BAC=120°, 所以 α2=120°+α1=135°. 答案:135° 归纳升华 1.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根 据题意画出图形, 找准倾斜角, 有时要根据情况分类讨论. 2.结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用, 如三角形内角和定理及其有关推论. [变式训练] 一条直线 l 与 x 轴相交,其向上的方向 与 y 轴正方向所成的角 α(0°<α<90°),则其倾斜角为 ( ) A.α B.180°-α C.180°- α 或 90°-α D.90°+α 或 90°-α 解析:如图,当 l 向上方向的部分 y 轴左侧时,倾斜 角为 90°+α;当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时,倾斜角 为 90°-α. 答案:D 类型 2 直线的斜率及其应用 [典例 2] (1)若三点 A(2,-3)、B(4,3)、C(5,k) 在同一条直线上,则实数 k=________. (2)已知 A(3,3)、B(-4,2)、C(0,-2). ①求直线 AB 和 AC 的斜率; ②若点 D 在线段 BC 上(包括端点)移动时,求直线 AD 的斜率的变化范围. 解析:由直线上两点的斜率公式得 kAB=kBC. 3+3 又因为 kAB= =3,kBC=k-3, 4-2 所以 k-3=3,解得 k=6. 答案:6 (2)解:①由斜率公式可得: 1 直线 AB 的斜率 kAB= = , -4-3 7 -2-3 5 直线 AC 的斜率 kAC= = . 0- 3 3 2- 3 ②如图所示,当点 D 由 B 运动到 C 时,直线 AD 的 斜率由 kAB 增大到 kAC,所以直线 AD 的斜率的变化范围 ?1 5? 是?7,3?. ? ? 归纳升华 1.求直线的斜率的途径有两个:一个是利用斜率公 式,二是利用倾斜角.我们必须熟练掌握这两种方式. 2.应用两

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