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巧思妙解高考数学题

巧思妙解高考数学题[转载]

1.(Ⅰ卷,文 21)已知函数 (1)证明:曲线 y = f(x) 在 x = 0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x) 在 x = x0 处取得极小值,x0∈ (1,3),求 a 的取值范围. 【参考答案】 (1) 由 . 得曲线 y = f(x) 在 x = 0 处的切线方程为

.

.由此可知曲线 y = f(x) 在 x = 0 处的切线过点(2,2). (2)由 ①当 ② 当 得 - 1≤ a ≤ - 1 时, 或 没有极小值; 时 , 由 得

故 x0 = x2 .由题设知 当 时,不等式

, 无解;



时,解不等式



.

综合①②得

的取值范围是

.

·巧思· ①(1)中,利用“k 切 = kPQ” (P、Q 为定点、切点),根据“两点决定一条直线”, 可以避免求出切线方程,而“直截了当”地证明。 ②(2)中,利用三次函数的中心对称性,先将 f(x) 化为“中心式”,求出对称中 3 心(- a,c);再利用 x 系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点” 的左、右,便得 x0 >- a。 2 ③ 将方程 f ’(x0) = 0 中含 x 0 的项配平方,得到(x0 + a) ,“0<x0 + a<3 + a”便 就有了作用;再将含 a 的项合并,得到 2a(1- x0), “x0>1” 也就有了作用??如此, 可避免解方程和分类讨论。 ·妙解· (1)设 P(2,2),切点 Q(0,12a - 4). = kPQ 切线 PQ. k 切 = 3 - 6a

3 (2)f(x) 可化为(x + a) + b(x + a) +c >- a.

曲线 y = f(x) 关于点(- a,c)对称

x0

题设

f ’(x0) =3(x0 + 2ax0 + 1 - 2a) = 0
2 2

2 2 0< (x0 + a) = a2 + 2a -1<(3 + a) ,

且 2a(1- x0) = x0 + 1>0(x0>1)

a<0

a∈ (-2.5,-

-1)即为所求.

【评注】 ①(1)中,证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点,不等于一定要先求 出直线方程、再将坐标代入检验;解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕 弯子”。 ②(2)的求解过程,体现了命题的本意:为何函数式中 x2 的系数用 3a 而不用 a?为 何条件是“x0∈ (1,3)”而不是“x0∈ (0,3)”或“x0∈ (2,3)”等?可谓“首尾呼 应”、“问答相称”。 ③二次函数的图像(抛物线)是轴对称图形,三次函数的图像(S 形线)是中心对称 图形; 前者的定义域分为两个单调区间, 后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区 间;教师可补充介绍后者的性质。

2.(Ⅰ卷,理 21、文 22)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 上的焦点, 过 F 且斜率为 的直线 与 C 交于 A、 B 两点, 点 P 满足

在 y 轴正半轴 .

(1)证明:点 P 在 C 上; (2)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上. 【参考答案】

(1) F ( 0 ,

1), .

的方程为

,代入

并化简得



, 则

由 题 意 得

所 以 点

的 坐 标 为

.

经验证点

的坐标

满足方程

,故点

在椭圆

上.

(2)由 ①

和题设知,



的垂直平分线 的方程为

.

设 ②

的中点为

,则



的垂直平分线

的方程为

.

由①、 ②得 、 的交点为

.









,故 又 由此知 , 、 、 、 四点在以 ,所以 为圆心,

, , 为半径的圆上.

·巧思· ①将 A、B 的坐标设为对称式(关于中点 D 对称),可得两个对称的等式,由此又 得两个简单的关系式;再利用“kDF = kDA”所得简单的关系式,便可求出点 P 的坐标及其 它结果。 ②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理,证明“DA·DB = DP·DQ”,可 得 A、 P、 B、 Q 四点共圆.如此,可避免出现直线方程和复杂的代数式,而节省许多文字、 减少不少篇幅。 ③将(1)、(2)合并解答,则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。 ·妙解·

(1)(2)F (1,0),设 AB 的中点 D (a, b),A (a + m,b + n),B (a - m,b - n)
2 2 2 2 (abm n≠0),则 2(a + m) +(b + n) = 2,2(a - m) + (b - n) =2 2 2 2 2 (a + m ) +(b + n ) = 2 ①,

2am + bn = 0,2

且 kDF =

= kDA =

-

②,

P、 D、 Q 共线. ①②

(a,b) =(

, ),m2 =

,n =

2

.

P(-

,-1)在椭圆 C 上,且 DA·DB = m2 + n =
2

=3 (a2 + b ) = DP·DQ
2

A、 P、

B、 Q 四点共圆. 【评注】 ①“对称美”是数学美之一,设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。 ②将初中数学知识与高中数学结合运用,可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神 为凡”。 3.(Ⅱ卷,文 20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 在圆 C 上 (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x – y + a = 0 交于 A,B 两点,且 【参考答案】 (1)曲线 与坐标轴的交点为(0, 1),(3±2 )+ t 2.
2

与坐标轴的交点都

,求 a 的值.

, 0).

2 故可设圆的圆心坐标为(3,t),则有 32 +(t -1) =(2

解得 t = 1,则圆的半径为 所以圆的方程为(x-3) +(y -1) = 9.
2 2

= 3,

(2)设 A(x1, y1) B(x2 y2)其坐标满足方程组 消去 y 得到方程 2x +(2a - 8) x + a -2a + 1 = 0, 由已知可得判别式 △=56 - 16a - 4a2>0.
2 2

.

由韦达定理可得 x1 + x2 = 4 - a,x1x2 = 由 可得 x1x2 + y1y2 = 0,

,①

又 y1 = x1 + a, y2 = x2 + a,所以 2x1x2 + a(x1 + x2 ) + a2 = 0,② 由①②可得 a = -1, 满足△>0,故 a = -1. ·巧思·

①(1)中,利用“圆的切割线定理”的逆定理,便知 y 轴与圆相切,则圆心和半径立 得。 ②(2)中,将坐标轴平移,使圆心成为原点,则方程比较简单、运算比较方便。 ③ 将点 A、 B 的坐标设为对称式(关于中点对称并利用直线斜率为 1 的条件),可 得两个对称的等式,由此又得两个简单的关系式,从而进一步方便了运算、缩减了过程。 ·妙解· (1)曲线与坐标轴交于 D (1,0),E (m,0),F (n,0) = OE·OF
2

m + n = 6,mn = 1
2

OD2

切线 OD 圆心 (3,1),半径 r =3 C:(x-3)+(y -1)= 9. 2 2 (2)平移坐标轴,使 C 成为原点,则 O(-3,-1),C:x + y = 9, 直线:x–y + 2 + a = 0. 可设 A(b + d,c + d),B (b - d,c - d) 2 d)= 9 b + c + 2d = 9 ①, b + c = 0 ②. 1) (c - d + 1) = 0 ③. ①②③ 2b = -1 a =(c + d) -(b + d) - 2 = -2b - 2 = - 1. 【评注】 ①(1)中,平面几何知识的运用,使得解题的步骤“顺流直下”、“势如破竹”、“一 气呵成”。 ②(2)中,坐标轴的平移运动,使得圆的方程变为标准式而利于运算,其手法可广泛 运用。 ③ 关于中点(中间值)对称的式子的采用,使得一些相反的量可以抵消,其方法可以 推广。 4.(Ⅱ卷,理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 ∥ , · = · ,M 点的轨迹为曲线 C.
2 2 2

(b + d)+(c + d)= 9,(b - d)+(c-

2

2

2

(b + d +3) (b–d + 3) +(c + d +

(1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 【参考答案】 (1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 =(- x,-1 - y), + )· =(0,-3 - y), =(x,- 2).

再由题意可知(

= 0, 即(- x, - 4 - 2y)?(x, - 2) = 0.

所以曲线 C 的方程式为 y =

x

- 2.

(2)设 P(x ,y x
.

)为曲线 C:y =

x

-2 上一点,因为 y =

x,所以 的斜率为

因此 l 为

,即

.

则 O 点到 的距离

.又



所以 当 =0 时取等号,所以 O 点到 距离的最小值为 2.

·巧思· ①(1)中,利用平面几何中“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”, 得出“MA =MB”后,再利用抛物线的定义,便得曲线 C 的方程;如此,可以避免出现 点和向量的坐标,而节省文字和篇幅。 ②(2) 中利用 “O 到 l 的距离最小时, OP ? l” ,可以避免出现直线 l 的方程和繁分式, 而节省文字和篇幅。 ·妙解· (1)设 AB 的中点为 D,题设 ( + )· = 2 · = 0 MD?AB

MA = MB C 是以点 A 为焦点、以直线 y = -3 为准线的抛物线:x2 = 4 (y + 2). (2)题设 O 到 l 的距离最小时,OP ? l 题意 OP ? l 时,求 d = OP 的最小值. 2 2 2 2 2 设P (x, y) d = x + y = 4(y + 2) + y =(y + 2)+ 4 ≥ 4 dmin = 2.(此时 P(0, -2),l:y = -2) 【评注】 ①(1)的解答的启发:利用定义(图形的定义、关系的定义等)解题虽然是常用方 法,但有时给出的条件并非明显的“定义式”,这就需要将条件进行转化,使之符合某个 定义。 ②(2)的解答进一步展现了“转化”的思想:条件可以转化,结论可以转化,问题 可以转化??可以单独转化,可以同时转化??转化为简单的式子、简单的情况、简单的 要求??

5.(Ⅱ卷,理 21)已知函数 方程为 (1)求 、 . 的值;

,曲线

在点

处的切线

(2)如果当 x >0,且 【参考答案】

时,

,求

的取值范围.

(1)??a = 1, b = 1.



2







1 )





f (

x

) =

+







.

考虑函数

,则

.

①设 k≤0,由

知,当

时,

,h(x)递减.





故当

时,

,可得



当 x∈ (1,+

)时,h(x) <0,可得

h(x) > 0.

从而当 x>0,且 x ②设 0<k<1.由于

1 时,f(x) -( =

+

) >0,即 f(x) >

+

.

的图像开口向下,

且 + 2x>0,

,对称轴 x =

.

当 x∈ (1,

)时,(k-1)(x + 1)

2



(x) >0,而 h (1) = 0,故当 x∈ (1,

)时,h (x) >0,可得

h (x) <0,

与题设矛盾. ③设 k≥1.此时 x2 + 1≥2x, (x) >0,而 h(1) = 0,

故当 x∈ (1, +

)时,h (x) >0,可得 ,0].

h(x) < 0,与题设矛盾.

综合得,k 的取值范围为(·巧思·

①由于



故可考虑 x→1 时的极限:f(x) →1,

→1(此处需要运用

型极

限的“罗必塔法则”),于是应有 f(x) >

,亦即“f(x) -

>0”,因此问题便

转化为证明这个不含 k 的不等式成立(若成立, 则 k≤0),从而避免了对 k 的取值情况 的分类讨论。

②将 “f (x) -

” 中含有 lnx 的两个式子 “合二而一” , 并使分子与分母 “分离” ,

则所得函数的导函数易求且简单,从而进一步节省了文字、减少了篇幅。

③得到 x>1 时的结论后,分析 0<x<1 时的情况,利用“0<x<1 便又转化为前一种情况; 对此时的不等式进行变形,定能得到相同的结论。 ·妙解·

>1”,问题

(2)设 g(x) = x-

-2lnx(x>0)

g ’(x) =

≥0

g(x) 递增

x>1 时, g (x) >g (1) =0



; 0<x<1 时, >1

x>

=



f (x) =

+



(x>0,x≠1),且

f(x) = 1,

=

=

= 1.

故恒有 f(x) >

+

k≤0.

【评注】 ①由于 “分类讨论” 要对参变量的所有可能的取值情况进行考虑, 因此分类必须周全、 细密,这就增加了工作量,而且其中往往包含有“无效劳动”和“重复劳动”。所以“分 类讨论”不应当是首选的方法,而只能是迫不得已才采用的方法——能不分类则不分类, 能少分类则少分类。

②将含有参变量的不等式的研究,转化为不含有参变量的不等式的研究,是个“突如 其来” 的转化、 “翻天覆地” 的转化, 问题一下子变得清晰许多、 简单许多、 轻松许多?? ③将 lnx 与有理式分离的函数 g (x) 的设立,不仅其导数易求、简单,而且导数的表 达式反映了命题条件的本意:分子、分母“恰好”都是完全平方式,导数的零点“恰好” 是另一函数的间断点?? 6.(Ⅱ卷,文 24、理 24)设函数 ,其中 .

(1)当 a = 1 时,求不等式 f(x) ≥3x + 2 的解集; (2)若不等式 f(x) ≤ 0 的解集为{x∣x ≤ - 1 },求 a 的值. 【参考答案】 (1)??{x∣x ≥3 或 x ≤-1}. (2)由 f(x) ≤ 0 得∣x - a∣+ 3x ≤ 0.此不等式化为不等式组









.

因为

,所以不等式组的解集为

.由题设可得

=

,故 a = 2.

·巧思· 利用条件和结论中的等号应当同时成立, 立即得到仅含 a 的方程; 既不需要解含两个 字母的不等式组,又避免了对于 x≥a 和 x≤a 的分类讨论。 ·妙解· (2)题设 f(-1) = -3 = 0(a>0) a = 2.

【评注】 ①将对不等式的处理,转化为对等式的处理;将对含有两个字母的式子的处理,转化 为对只含有一个字母的式子的处理——情况就大大“变化”,要求就大大“降低”?? ②如果去掉题中的条件“a>0”,那么两种解答的难易对照、繁简对比将更加明显、 更加突出。 【小结】 ①数学是美的,“简洁美”是其中之一,也是主要的数学美,解决数学问题应当—— 力求简洁、简明、简单、简便,力求创优创新、尽善尽美。亦即:应当——探求尽可能简 明的思路、尽可能简便的解法,探求尽可能简洁的语句、尽可能简短的表述。 ②如果某个数学问题的解答过程比较复杂、步骤比较冗长,我们就要思考:这个解法 算得上“较好”吗?“很好”吗?“极好”吗?还能够“改变”吗?“改造”吗?“改进” 吗?亦即:教师传输给学生的知识,不仅应当是“正品”,而且还应当是“精品”、“极 品”。 ③“通解通法”固然需要掌握,然而知识的灵活运用对于培养学生的能力更加重要、 必要甚至首要,何况高考综合题一般也不是仅用“通解通法”就能奏效的:尽管教师“千 回万回”地讲解,学生“千遍百遍”地练习,最后面对试卷,许多人还是一筹莫展——这 个问题更值得我们思考、思索、思虑??


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