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简单的线性规划问题1 (1)


18.3

简单线性规划问题

1.解线性规划应用题的一般步骤是: ①设出_________ x、 y ; 目标函数; 约束条件 ,确定________ ②列出_________ ③画出可行域 ______; 最优解 ,求出目标函数的____ 最值,并回到原问题中作 ④判断_______

答.

2.有 5 辆 6 吨的汽车,4 辆 4 吨的汽车,要运送最多的货 z=6x+4y 物,完成这项运输任务的线性目标函数为_________. x≥1 ? ? 3.已知变量 x、y 满足 ?y≤2 ,则 x+y 的最小值是( C ) ? ?x-y≤0

A.4

B.3

C.2

D.1

4.完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦 工需付工资每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束条件是( B ) A.50x+40y=2 000 C.50x+40y≥2 000 B.50x+40y≤2 000 D.40x+50y≤2 000

重点

应用线性规划处理实际问题

应用线性规划处理实际问题时应注意的问题:
①求解实际问题时,除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外,还应考虑实际意义的约束,要认真解读题意,仔细 推敲并挖掘相关条件,同时还应具备批判性检验思维,以保证 解决问题的准确和完美; ②处理实际问题时,x≥0,y≥0 常被忽略,在解题中应注 意;

③在求解最优解时,一般采用图解法求解.

资源配置问题

例 1:某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不
超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视 台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收 益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个 电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少 万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得

x+y≤300 ? ? ?500x+200y≤90 000 , ? ?x≥0,y≥0
目标函数为 z=3 000x+2 000y.

二元一次不等式组等价于
x+y≤300 ? ? ?5x+2y≤900 , ? ?x≥0,y≥0
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如 图1.

图1 作直线 l:3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0.

平移直线 l,从图 1 可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取
得最大值,
? ?x+y=300 联立 ? ? ?5x+2y=900



解得 x=100,y=200.

∴点 M 坐标为(100,200).
∴zmax=3 000×100+2 000×200=700 000(元). 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司收益最大,最大收益为 70 万元. 解线性规划应用题时,先转化为简单的线性 规划问题,再按如下步骤完成:①作图:画出约束条件所确定 的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l; ②平移:将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置;③求 值:解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函数,即

可求出最值.

例题、.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣 机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多 少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月 供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限 制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的 有关数据如下表: 资金 成本 劳动力(工资) 单位利润 单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应 量(百元) 300 110

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到 最大,最大利润是多少? 解:设空调机月供应量为 x 台,洗衣机月供应量为 y 台, 所得总利润为 z 元,那么

? ?30x+20y≤300 ?5x+10y≤110 ? ?x≥0,y≥0 ? ?x、y∈N

? ?3x+2y≤30 ?x+2y≤22 ,即? ?x≥0,y≥0 ? ?x、y∈N

.

目标函数为 z=6x+8y. 作出不等式组所表示平面区域,即可行域,如图20.

图20

作出直线 l0:6x+8y=0,把直线向上方平移,使其经过可
行域上的整点,当 l0 经过(4,9)时,z=6x+8y 取得最大值,即 x =4,y=9 时,zmax=6×4+8×9=96(百元). 答:空调机与洗衣机月供应量分别为 4 台、9 台时,最大利

润为 9 600 元.

降低资源消耗问题
例 2:(2010 年广东)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚

餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋
白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳 水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该 儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那 么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别 预定多少个单位的午餐和晚餐?

解:设该儿童分别预订 x、y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z=2.5x+4y.

?12x+8y≥64 ?6x+6y≥42 ? 可行域为 ?6x+10y≥54 ?x≥0,x∈N* ? ?y≥0,y∈N*

?3x+2y≥16 ?x+y≥7 ? ,即?3x+5y≥27 ?x≥0,x∈N* ? ?y≥0,y∈N*

.

作出可行域如图 2,

图2

经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,
z=2.5x+4y=2.5×4+4×3=22(元).

2-1.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲 种原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质,售价 3 元; 乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质,售价 2 元, 若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问: 应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?
解:设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,

? ?5x+7y≥35 ?10x+4y≥40 总费用为 z,则? ?x≥0 ? ?y≥0



目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图 21.

图 21
3 3 z 把 z=3x+2y 变形为 y=-2x+2,得到斜率为-2,在 y 轴 z 上的截距为2,随 z 的变化而运动的一组平行直线.

3 z z 由图 21 可知当直线 y=-2x+2经过点 A 时,截距2最小, 即 z 最小.
? ?5x+7y=35 由? ?10x+4y=40 ?

,得

?14 ? A? 5 ,3?, ? ?

14 72 ∴zmin=3× 5 +2×3= 5 . 14 ∴甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g)时,费 用最省.

整数解处理 例 3:某家具厂有方木料 90 m,五合板 600 m,准备加工成 书桌和书橱出售,已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m,五合板 2 m,生产一个书橱需要方木料 0.2 m,五合板 1 m,出售一张 书桌可获利润 80 元, 出售一个书橱可获利润 120 元,如果只

安排生产书桌,可获利润多少? 如果只安排生产书橱,可获利
润多少?如何安排生产可使所得利润最大?

思维突破:本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确
地描画可行域,再利用图形直观求得满足题设的最优解.

解:(1) 设只生产书桌 x 张,可获利润 z 元,

0.1x≤90 ? ? ? ?x≤900 则?2x≤600 ?? ?x≤300, ?x≤300 ? ? ?z=80x
所以当 x=300 时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,可获利

润 24 000 元.
(2) 设只生产书橱 y 张,可获利润 z 元,

0.2y≤90 ? ? ? ?y≤450 y≤600 ?? 则?1· ?y≤450, ?y≤600 ? ? ?z=120x

所以当 y=450 时,zmax=120×450=54 000(元),

即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 张书橱,可获利
润 54 000 元. (3)设生产书桌 x 张, 生产书橱 y 张,可获总利润 z 元,

? ?0.1x+0.2y≤90 ?2x+y≤600 则? ?x≥0 ? ?y≥0
z=80x+120y,

? ?x+2y≤900 ?2x+y≤600 ?? ?x≥0 ? ?y≥0



在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图 3,

图 3 作直线 l: 80x+120y=0,即直线 2x+3y=0,

把直线 l 向右上方平移到 l 的位置,直线 l 经过可行域上的
点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值,

? ?x+2y=900 由? ? ?2x+y=600

,解得点 M 的坐标为(100,400).

所以当 x=100,y=400 时,
zmax=80×100+120×400=56 000(元).

因此安排生产 400 个书橱,100 张书桌,可获利润最大为
56 000 元. 根据已知条件写出不等式组是做题的第一 步;第二步画出可行域;第三步找出最优解.其中最困难的是

第二步.

例 4:某沙漠地带,考察车每天行驶 200 千米,每辆考察车 可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车,同时从驻地 A 出发,计划完成任务后,再沿原路返回驻地,为了让其中 3 辆 车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回),甲、乙两车

行至 B 处后,仅留足自己返回驻所必需的汽油,将多余的汽油
供给另外 3 辆使用,问:其他 3 辆可以行进的最远路是多少千

米?
错因剖析:对线性的约束条件考虑不清不全,没考虑甲、

乙两车供油后,自己还须返回这一条件,导致约束条件出错.

正解:设考察行至 B 处用了 x 天,从 B 处到最远处用了 y 天,则有 2[3(x+y)+2x]≤14×5,

即 5x+3y≤35,且 x>0,y>0.
同时从其余 3 辆车的载油量考虑, 14×5-(5+2)x≤14×3,即 x≥4.
5x+3y≤35 ? ? 于是问题转化为在约束条件 ?x≥4 ? ?y>0

下求 z=x+y 的

最大值.
作可行域(如图 4),则 M(4,5),

作直线 l:x+y=0,向右平移过点 M 时,zmax=9. ∴最远路程为 200×(4+5)=1 800(千米).

图4


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