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有心圆锥曲线的切线长公式的更正及证明


?

课 外园地 ?  

数学通讯 一 2 0 1 5年 第 5期 ( 下半月)  

6 1  

有 心 圆锥 曲线 的 切 线 长 公 式 的 更 正 及证 明 
陈海波  
( 浙 江 省 慈 溪 市 慈 吉 中学 ,3 1 5 3 0 0 )  

文E l - 1 把 圆的切 线长 公式 推广 到有 心 圆锥 曲线.  
性质 1   F   、 F z 为椭 圆   X z   T  
yZ

P M ? PN — PA 
?

= : =1 ( 口> 6> 0)  

PB + 、  
、  

?

的两个 焦点 , 过 椭 圆 外 一点 P 作 椭 圆 的 切 线 , 切 点  为 A、 B, 连结 P F   、 P F   、 AF   、 AF   、 BF  和 B F 。 , 则 



.  

证 明  设 PA、  

P B 的延 长 线 分 别 交 
△P MN 的外 接 圆 于  D、 E, 连 接 MD、 DE  
和 EN .  

P A ?  P B — P F   ? PF 2一 , / AF I? AF2  ?  

■丽

 


性质 2   F   、 F z 为双曲线  2 一y Z  一1( n >o b  
>O ) 的左 、 右焦点 , 过 双 曲线 外 一 点 P 作 双 曲线 的  切线 , 切 点 为 A、 B, 连结 PF   、 PF : 、 AF   、 AF。 、 B F  

由相 交弦定 理 得 
AM ? AN — AD ?  

图2  

AP, B M ? BN— B E? BP, 故 
~  

和B F 2 , 则P A? PB=   / AFI ? AF  ?  
、  

压 
瓦  .  

百   一P F  ? PF 。 .  
一 、  

性 质 2的结 论 是 
I     l

有误 的, 不 妨 看 一 个  特例 , 如图 1 , 设 双 曲  线为 3 2 。 一Y  一 1 , 则 
~  

由 ̄

AP M = ZBP N, 所 以』   一  

, 推 得 

M N / / D E , 故  一 器, B 9   A P ? B E = A D ? B P ’ 因  
而有 , / AM ? AN ?f fB M ? BN= = = AD ? B P.   因为  PNB: = :   P DM ,   AP M一   BPN, 所 

F   ( 一, / 2 , 0 ) 、 F   ( √ 2 ,  
0 ) . 令 P( 0 , 1 ) , 不 难 

/  
图 1  

\   \  

求 得 A( 一 , / g , 一1 ) ,  
B( √ 2 , 一1 ) , 计 算 可 
得 P A? P B一6 , P F  
?

P A / k P N B c . o ,  ̄ P D M , 因 此 舄一  , 于 是 得  
PM ?PN = = = PB ?PD — PB ?( PA + AD )  


PB ?PA —   — PB ?A D 

PF 2 —3 , f AF 1? AF 2?f fBF 1? B F 2 —3 , 故 

—P A? PB+ 

?   甄 _ 丽

.  

P A ?P B— fAF  ̄。 AF 2?f fB F 1? B F 2 +PF 1  
?

引理 2   如图 3 , A、 B 是 △P MN 的边 MN 的 

P F2 .  

延 长线 上两 点 , 若  AP M +  BP N=1 8 0 。 , 则 
pM ? PN 一  

因此 , 原 结 论 有误 . 事实 上 , 性 质 2的正 确 结 论 
是:  

√AM ?AN 
、  

?  

( 1 )当两 个 切 点 在 双 曲线 的 两 支 上 时 , P A ?  


PB.  

一 PA 

PB= fAF1 ? AF 2? ̄ / B Fl ? BF 2 +PF 1? P F 2 ;  
( 2 )当两个切 点 在双 曲线 的 同一 支 上 时 , P A?  

?

证 明 

设 

P B = = =  ̄ / A F 1 ? A F 2 ?, / B F 1 ? B F 2 一P F 1 ? P F 2 .  
对 于这 两个 性 质 中 的公 式 的推 导 , 用 几 何 方法  会 更轻 松 简洁 , 不妨 先 给 出两个几 何 引理 。  
引理 1   如图 2 , A、 B是△P MN 的边 M N 上 

AP、 BP 的 延 长 线 

分 别 交 △P MN 

图3  

的外 接 圆于 D、 E, 连 接 MD、 DE 和 ME.  
由 割 线 定 理 得 AM ?AN — AD ?AP, B M ?  

两点 , 若  AP M=  B F ’ N, 则 

BN=B E? B P, 故 

6 2  

数 学通 讯 一 2 0 1 5年 第 5期 ( 下半月)  

?课 外 园地 ?  

√AM ?AN ?√BM ?BN  
一 、,  

性 质 2的 证 明 

J   l  

F 

.  

( 1 )如 图 5 , 切 点 A、 B  



因 为  BPN 一 1 8 0  一   APM 一  M PD 一  M ED ,   BPN 一  EM N ,所 以  M ED 一 



分 别 在 双 曲线 的两 支 
上, 由 双 曲 线 的 光 学 
性 质 得 
PA F2,  

>  
\  

/E MN , 所 以 M N/ / DE, 故  PD   o PE   丽 由合 比性 质 ,


P AF  一  
P BF  一  

得  一 篇, 故 A D ? P B = P A ? B E , 所 以  
砑_  ?何   丽 一AD ?P B.  
由 于  PNB一  PDM ,   B PN 一   MPD, 所 

P BF 。 , 因此, 点 F  

/ A  

\   \  

关于直线 P A 的对 称  点 F  在 AF  上 , 点 
A F2 一 A F1 一 AF2 一 AFl 一2 a.  
图 5  

F : 关 于直 线 P B 的对 称点 F  在 B F  上 , 则 F   F   一  

1 A ) A P N B c o A P D M , 因 此 嚣一  , 于 是 得  
PM ?PN — PB ?PD — PB ?( AD — PA )  
= P B ?A D — — P B ?PA 
: :=

同理 : F   F 2 —2 a , 所以 F   F2 一F1 F   .   因为 P F   一 PF   , P   —P F   , 可得AP F   F   △ PF   F   , 贝 0   F   P F 。一   F   PF   . 故  F   PF 。一  
1 

 ̄ / AM ?AN ?, / gM ?BN — PA ?PB.  

性 质 1的证 明  如 图 4 , 作 F , 关 于直 线 P A 的 
对称 点 F   , 作 F  关 于直 线 PB 的对 称 点 F   , 连 接 
PF , P F  .  
1  
厶 

F   P F   , 但  APF  = = =  

厶 

F   P F   ,   B PF 。= 

去  F   PF 。 , 所以   APF , 一  B PF   .   延 长 AF :到 B   ,使 得 F 。 B  一 F 。 B,由 于 

J  
,  
‘  

P 
’ 

PF: F  一  PF2 F  , 所 以  PF  B  一  PF   B 一 

PF   B, 从而 有 APF   B   △PF   B, 则 P B   一PB,  
B  PF 一  B PF2 一   A PF  .  

由 引 理 l可 得 P A ?P B  一 PF   ?PF 2+ 


/ x丽

l _  ?  

.  

而 PB   一 PB, PF  — PFI , AF  — AF。 , B   F 一 

BF 2 , B   F   —B   F2 +F : F   —B F 2 斗 一 2 a —BF   , 于 是 得 
I 刳 4  

PA ? P B — P Fl  ? P F 2十  ̄ / AF  ? AF 2  ?   分 别 在 直 线 

由椭 圆 的 光 学 性 质 可 知 : F   、  

■ 百  .  
( 2 ) 如 图 6, 切 
』  

F 。 A、 F  B 上, 且 F  F2一 F1   F  一 2 a .由 于 PF。一 

P F   。 PF  一 PF   。 可 得 AP F   F  

△P F   F   ,则 

点 A、 B 分 别 在 双 
曲线 的 同一 支 上 ,   由双 曲 线 的光 学 性 
质 得  P AF   一 
PBF 1   PA F2 ,  
一  
一  

F   P F 2 一   F   PF   , 故  F   PF l 一   F   P F   。 但 

AP F   一 

PF   ,  ̄B P F ; :  

F   PF   , 所 以 

A PF。 一 ̄ _ BPF   .  

由于  PF   F   一  PF   F   一   PF 。 A, 可得 点 A  
关于 直 线 P F  的对 称点 A  必 在 F   上 二 , 且 

PBF  ,因 此 ,  

} ,  
  ’

\  

点 F   关 于 直线 P A  

A   P F   一  APF   一   BP F 。 , 由 引 理 1可 知 P F  
? 

的对 称 点 F  在 射 
线 AF 2上 , 点 F 2  

图 6  

PF   一

PA  ?   PB

+  、  

?  



压 

.  

关 于直 线 P B 的对 称点 F  在 射线 BF . 上, 且 F  
— B F1 一 B F2 一 B F1 一 B F2 — 2 a.  

而 PF   一 PF2 , PA  一 PA , A  FI — AF1 , A  F  一 

F   F   一F   A   一F   F 。 一F I ' A—AF   , B F   一B F 。 , 于 是 
得 P A ? PB — P F   ?P F 2一  ̄ / AF  ? AF 2?  
√B FI ?B F 2 .  

同理 : F   F   =2 a , 所以 F   F 2 一F 1 F   .  

又 P F   一P F   , P F   一PF 2 , 故可得AP F   F   △P F   F   , 则  PF 。 一  F   P F   , 故  F   P F  一  
F。 PF。 , 所 以  APF  十  APF  +  F。 PF  一 

?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 一 2 0 1 5年 第 5期 ( 下半 月)  

6 3  

APF  +  APF  +  F  PF  一3 6 0 。 .  

但 P F   一P F   , A   F  一 AF. , A   F  = = = A   F, 一 
F1   F  =AFI 一2 口一AF2 , BF 一 BF2 , PA  一 PA, 于 

但 A P F   = = =  A P F   ,  B P  = = = 专  F   P F   ,  
所 以  APF  +  BPF  一1 8 0 。 .     。

是得 P A ?PB 一 
PF1 ?P F2 .  

?  

一 

因为  P F   B一   F   一   P F   A, 所 以点 A 关 于  直线 F   P 的对称点 A  必 在 射 线 F   B上, 且 有 
A  PF  一  APF  ,因 此  A  PF +  BPF  一 
1 8 O 。 .  

参 考文 献 :  
1 ] 徐文 春. 圆 的 切 线 长 公 式 在 有 心 圆 锥 曲 线 中 的 推 广 
[ J ] . 数学通讯 ( 下半月) , 2 0 1 4 ( 9 ) .  

由引 理 2得 P F  ?P F   = : :√   1   ■  

?  
( 收稿 日期 : 2 0 1 4 —1 l —i 0 )  

、 / / 百 F 『 .  蓟  一P A   ? P B .  

( 上 磺 弟

5 7贝 )  

(   1


1 ) 上 有 唯一零 点 , 因此 考 虑 采 用 零 点存 在 定 理 

f  

,  

进行 证 明.   只需 证  ( 1 ) 一l n 6 +  一1 ,  (   ) 一2 1 n 6 —6 + 

I 丁 x - 2 , o < : z < 1 .  
NI I I -  ̄数 的符 号判 断. 由h   ( z) > O得 1 <z< 

2 , 由h   ( z ) <0 得 0 <x <1 或x >2 , 所以,  ( z ) 的单  N递 增 区间 为 ( 1 , 2 ) , 单调 递减区间为 ( 0 , 1 ) 和( 2 ,  
+O 0 ) .  

去 异 号 , 且 函 数  ( z ) 在 区 间 ( 吉 , 1 ) 上 是 单 调 函 数 ?  
令  ) =l n x +1  一1 (  > 1 ) , q ( z) 一2 l n z— z  

( U)由 图可直 观感 知 : 5   <S 。 .  

+ ÷ ( z > 1 ) , 则  (   ) 一 ÷ 一   1 一 _ x _ -   1 > o , q   ( z ) 一  


下 面进行 证 明. 首先通 过 积分计 算 得 
3 0  

1 一  一 一  2 1 2  

。  

<0 , 所 以  (  ) 在 区间( 1 ,   ‘  

S   一f   i d   —I n 6 — 1 n n ,  

+∞) 上单调递 增, q (  ) 在 区间 ( 1 , +O 0 ) 上 单 调 递  减, 所 以 P(  ) > P( 1 ) =0 , q ( z ) <q ( 1 ) 一0 . 所 以 

s 。 一   d   一  一 軎 ,  
则 龄前 1 -s   =l n b —l 彻 +  一  .  
(i)因 为 a+易 一 2, 所以 6 —2 一 日, 且 0 <a <1 .  

( 1 ) > 0 , m ( 丢 ) < o .  
又  (   ) 一 一 ÷ +   一 二  > 0 , 所 以   ( . z )  
在 区 间(   , 1 ) 内单 调递 增 , 又 因为 函数  (  ) 的 图  象在 区 间 [   1 1 ] 上是 连续 不 断 的, N  P 2 ̄


消去 b 。 把 问题 转化 为关 于 n的问题 可得 :  
s   ~s 。 一l n ( 2 一n ) 一1 n “+  一  .  

构造 函数 £ ( n ) 一1 n ( 2 一a ) 一l n a + 

一  1( o  

x∈  

( ÷, 1 ) , 使得 r e( x ) 一0 .  
<。 <1 ) , 求 导 得  ( 以 ) 一 
一  

一  + 

+ 

即对 于任 意 的 6 ∈( 1 , +o o ) , 总 存 在 唯一 的 口 ∈  

专   > 。 , 故   z ) 在 区 间 ( 。 , 1 ) 上 单 调 递 增 ,  ( ÷, 1 ) , 使得 S 。 = = : S z .  
( i ) 要 证 明 存 在 唯 一 的 n ∈ ( 古 , 1 ) , 使 得S   一  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 5 …0 1   1 8 )  

所以 f ( 以) <  ( 1 ) 一 0, 即 S l <S 2 .  

s 。 . 即 证 明 函 数   ( z ) 一l n x m 1   + 1 n 6 + 丢 在 区 间  


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