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2016届上海高三数学摸底考数学试题(教师)


2016 届高三数学摸底考数学试题
友情提示:各位同学:希望就在前方!良好的开端是成功的一半! 祝你:诚实守信,自信自强,去开启高三痛并快乐的旅程!
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) x?5 ? 1 已知集合 A ? x x ? 2 , B ? ? ? 0? ,则 A ? B ? ?x ? x ?1 ?

?

?

.解析: ?x ? 2 ? x ? 1?. .

2 若函数 y ? f ( x) 与 y ? e x?2 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? 解析:由 y ? e x?2 得 x ? 2 ? ln y ,从而 x ? ln y ? 2 , 所以 y ? e
x?2

的反函数 f ( x) ? ln x ? 2,( x ? 0) .

3.已知命题 p :| 1 ?

x ?1 |? 1 ,命题 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必 2
.4、 (2,??) .解析: 3i .
2

要条件,则实数 m 的范围是 4 已知 z 和

z?3 都是纯虚数,那么 z ? 1? i
2

5. 若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为 【解析】 : x2 ? 2 y 2 ? 2 ? x ? 2 y ? 2 2

.

6 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点恰好是双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点,则 p ? _______ .解析: 4 . 7 设 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 tan(a2 ? a8 ) 的值为 8. 设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ,则 q ?
n ??

.解析: ? 3 . .

【解析】 :a1 ?

a3 5 ?1 a q2 ?1 ? 5 , ∵ 0 ? q ?1, ∴q ? ? 1 ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? 2 1? q 1? q 2

9.设正四面体 ABCD 的棱长为 a , P 是棱 AB 上的任意一点,且 P 到面 ACD, BCD 的距 离分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ? d 2 ? ___ .

6 a 3



? x5 ? sin x ? 2014 10,设 x , y ? R ,且满足 ? ,则 cos( x ? 2 y) ? ? 5 ? ?16 y ? sin y cos y ? ?1007

1 .

11. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 【解析】 :P ? (结果用最简分数表示).

8 1 ? 3 C10 15

12. 设常数 a 使方程 sin x ?

3 cosx ? a 在闭区间 [0 , 2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x 3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ?
【解析】 :化简得 2sin( x ? 即 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ?

.

?
3

) ? a ,根据下图,当且仅当 a ? 3 时,恰有三个交点,

?
3

? 2? ?

7? 3

13.设函数 f ? x ? ? x ? 围是

1 .对任意 x ??1, ?? ? , f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 x


(? ?, ?1 )

14 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ??? x ? 2014 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2014 ,( x ? R ) , 下列四个命题中真命题的序号是 (1) f ( x) 是偶函数; (3) f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 解析:(1)(2)(4). 提示 :特殊到一般,分别画出 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ( x ? R ) 和 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ( x ? R ) 的草图,就可以类比猜想出 f ( x) 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题 5 分,共 20 分) 15、已知 p : “ a , b, c 成等比数列”, q : “ b ? A.充分不必要条件 . (2)不等式 f ( x) ? 2013 ? 2014 的解集为 ? ; (4)方程 f (a2 ? 5a ? 6) ? f (a ? 2) 有无数个实根.

ac ”,那么 p 成立是 q 成立的( D )
B.必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分又非必要条件

16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买 10 g 黄金,售货员先将
5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客; 然后又将 5 g 的砝码放入右盘,将另

一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金

(

A

)

A. 大于 10 g

B. 小于 10 g

C. 大于等于 10 g

D. 小于等于 10 g

解答:设两边的臂长分别是 l1 , l2 ,二次称得的黄金重量分别是 m1 , m2 (m1 ? m2 ) . 则有杠杆原理得 ?

? 5l1 ? m1l2 ? m1 ? m2 ? 25 ,从而 m1 ? m2 ? 2 m1m2 ? 10 . ?m2l1 ? 5l2

17、一同学在电脑中打出如下若干个圆:○● ○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此规律继续 下去,得到一系列的圆,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是( A ) A.61 B.62 C.63 D.64

18 设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0 . 若 a, b, c 是 ?ABC 的三条边长,则下列结论中正确的是 ①对一切 x ? ? ??,1? 都有 f ? x ? ? 0 ; ②存在 x ? R ,使 xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x
?

(

D

)

③若 ?ABC 为钝角三角形,则存在 x ? ?1, 2? ,使 f ( x) ? 0 .

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

三、解答题:(本大题共 74 分) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面 ABC 是等腰直角三角形, AB ? AC ? 1 ,侧棱 且 AA AA1 ? 底面 ABC , 1 上的点. 1 ? 2 ,E 是 BC 的中点,F 是 AC (1)求异面直线 AE 与 AC 1 所成角 ? 的大小(结果用反三角函数表 示) ; (2)若 EF ? AC 1 ,求线段 CF 的长. 19.(本题 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题 满分 6 分. 解: (1)取 B1C1 的中点 E1 ,连 A1E1 ,则 A1E1 // AE ,即 ?CA 1 E1 即 为异面直线 AE 与 AC 1 所成的角 ? .…………(2 分) 连 E1C .

在 Rt ?E1C1C 中,由 E1C1 ? 知 A1C ?

2 , CC1 ? 2 2

1 3 2 ?4 ? 2 2 在 Rt ?AC ? 5 ……(4 分) 1 1C 中,由 AC 1 1 ? 1 , CC1 ? 2 知 AC 1
在 ?A 1E1C 中, cos ? ?

(

2 2 3 2 2 ) ? ( 5) 2 ? ( ) 1 10 2 2 ? ? 10 2 10 2? ? 5 2

∴ ? ? arccos

10 …………(6 分) 10
1 1 5 2 5 , 0) , F (0,1 ? x, x) , 2 2 5 5

(2)以 A 为原点,建立如图空间直角坐标系,设 CF 的长为 x 则 各 点 的 坐 标 为 , E( ,

A1 (0,0, 2) , C (0,1, 0) ……(2 分) ???? ??? ? 1 1 5 2 5 ∴ EF ? (? , ? x, x) , AC ? (0,1, ?2) 1 2 2 ??? 5 5 ? ???? 由 EF ? AC 知 EF ? AC ? 0 …………(4 分) 1 1
5 1 5 2 5 ? x ? 2? x ? 0 ,解得 x ? 10 2 5 5 5 ∴线段 CF 的长为 …………(6 分) 10
即 20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

2x ? a 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x . 2 ?a
?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 【解析】 : (1)∵ a ? 4 ,∴ f ( x) ? ∴y? f
?1

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? y ,∴ 2 x ? ,∴ x ? log 2 , x 2 ?4 y ?1 y ?1

( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

(2)若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,∴

2 x ? a 2? x ? a ? , 2 x ? a 2? x ? a

x ?x 整理得 a(2 ? 2 ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数

2x ? a 2? x ? a ? ? ?x 若 f ( x) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ x , 2 ?a 2 ?a

整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数
2

当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x) 既非奇函数也非偶函数

21(本小题 14 分) 设 ?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 C ? (1)求角 A 的大小; (2)如图,在 ?ABC 的外角 ?ACD 内取一点 P ,使得 PC ? 2 .过点 P 分别作直线 CA, CD 的 垂线 PM , PN ,垂足分别是.设 ?PCA ? ? ,求 PM ? PN 的最大值及此时 ? 的取值. 解析:(1)由 a cos A ? b cos B 及正弦定理可得
A P

?
3

, a cos A ? b cos B .

sin A cos A ? sin B cos B ,
即 sin 2 A ? sin 2 B ,又 A ? (0, ? ), B ? (0, ? ) , 所以有 A ? B 或 A ? B ? 又因为 C ?
M B α C N D

?
2

.

?
3

,得 A ? B ?

2? ? ? ,与 A ? B ? 矛盾,所以 A ? B ,因此 A ? . 3 3 2

(2)由题设,得在 Rt ?PMC 中, PM ? PC ? sin ?PCM ? 2sin ? ; 在 Rt ?PNC 中, PN ? PC ? sin ?PCN ? 2sin[? ? (? ? 所以, PM ? PN ? 2sin ? ? 2sin(? ? 因为 ? ? (0,

?

)] ? 2sin(? ? ) ; 3 3

?

?

) ? 2 3 sin(? ? ) 3 6

?

2? ? ? 5? ? 1 ) ,所以 ? ? ? ( , ) ,从而有 sin(? ? ) ? ( ,1] , 3 6 6 6 6 2

即 2 3 sin(? ? 于是,当 ? ?

?
6
?

) ? ( 3, 2 3] .

?
6

?
2

?? ?

?
3

时,PM+PN PM ? PN 取得最大值 2 3 .

22.(1)如图,曲线 y ? (2)若不等式 (?1) 取值范围是?
n?1

x 下有一系列正三角形,求第 n 个正三角形的边长 Ln .

? a ? n<2n ? (? 1)n 对于任意的正整数 n 恒成立,实数 a 的

解: (1)

3 An ( Sn ? 1 b , b ), n 2 2 n

于是 23 bn ? Sn ? 1 b 2 n 2 1b ,3b 2 ? S 1 ?3 b ? S ? n n n ?1 ? 2 bn ?1 4 2 n 4 n ?1
2. ?3 (b 2 ? bn 2 ) ? 1 (b ? bn ) ? bn?1 ? bn ? 3 4 n ?1 2 n ?1

? ? y ? 3x 3 2. 由? 得A1 ( 1 , ). ? b1 ? 3 3 3 ? ?y ? x 2 为公差的等差数列, 即?bn ?是以 2 为首项 , 3 3
故bn ? 2 ? (n ? 1) 2 ? 2 n,即第n个正三角形 3 3 3 的边长为 2 n. 3
(2)当 n 为奇数, a ? n<2n ? 1 ,所以 a<2 ?

1 恒成立,减函数,所以 a ? 2 ; n 1 3 当 n 为偶数, ?a ? n<2n ? 1 ,所以 a> ? 2 ? 恒成立,减函数,所以 a> ? ; 2 n 3 综上: ? <a ? 2 . 2

23. (本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 已知点 P 是椭圆 C 上任一点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1 , 0) 的距 离为 d2 ,且

d2 2 .直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 、 ( , 都在 轴上方 ),且 x A B A B ? d1 2 ?OFA ? ?OFB ? 180? . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 方程; (3)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?

若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

解: (1)设 P ( x, y ) ,则 d1 ?| x ? 2 |, d 2 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ,……………………(2 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 d2 2 ? ? d1 | x?2| 2

x2 x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1…………(4 分) 2 2 1? 0 ? 1, (2) A(0,1), F (?1, 0) ? k AF ? 0 ? (?1) ?OFA ? ?OFB ? 180? ? kBF ? ?1, BF : y ? ?1( x ? 1) ? ? x ? 1 …………(3 分)
化简得:

x2 4 ? y 2 ? 1得: 3x 2 ? 4 x ? 0 ,? x ? 0, 或x ? ? ,代入 y ? ? x ? 1 得 3 2 4 ? x ? ? ? ? x?0 4 1 ? 3 (舍),或? ,? B ( ? , ) …………(5 分) ? 3 3 ? y ? ?1 ? y?1 ? 3 ? 1 1? 3 ? 1 ,? AB : y ? 1 x ? 1,…………(6 分) k AB ? 4 2 0 ? (? ) 2 3 ? (3)解法一:由于 ?OFA ? ?OFB ? 180 , k AF ? kBF ? 0 。…………(1 分)
代入 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 设直线 AB 方程: y ? kx ? b ,代入

x2 ? y 2 ? 1得: 2

1 (k 2 ? ) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 1 ? 0 …………(3 分) 2 2kb b2 ? 1 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 y y kx ? b kx2 ? b (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) k AF ? kBF ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) ? 2kx1 x2 ? ( k ? b)( x1 ? x2 ) ? 2b

b2 ? 1 2kb ? ( k ? b) ? ? 2b ? 0 1 1 2 2 k ? k ? 2 2 ? b ? 2k ? 0 ,…………(6 分) 直线 AB 方程: y ? k ( x ? 2) ? 直线 l 总经过定点 M (?2, 0) …………(8 分) ? 2k ?


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