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西方经济学


西方经济学 (微观计算题部分) 第一部分:均衡价格和弹性
1、已知某商品的需求方程和供给方程分别为 QD=14-3P 解:均衡价格:QD=QS QD=14-3P QS=2+6P 因为 QD=14-3P 所以:ED=0.4 QS=2+6P 所以:Es=0.8 QS=2+6P 试求该商品的均衡价格,以及均衡价格的需求价格弹性和供给价格弹性 14-3P=2+6P P=4/3

需求价格弹性:ED=-dQ/dP*P/Q 因为:P=4/3 Q=10

所以:ED=-(-3)*P/Q=3P/Q 供给价格弹性:ES=dQ/dP*P/Q 所以:ES=6*P/Q=6P/Q 因为:P=4/3 Q=10 2、已知某商品需求价格弹性为 1.2~1.5,如果该商品价格降低 10%。 试求:该商品需求量的变动率。 解: 已知:某商品需求价格弹性: Ed=1.2 Ed=1.5 (1) (2)

价格下降△P/P=10% 根据价格弹性公式:Ed=-△Q/Q÷△P/P △Q/Q=-Ed×△P/P =-1.2×-0.1 =0.12 △Q/Q=-Ed×△P/P =-1.5×-0.1 =0.15 答:该商品需求量的变动率为 12%----15%。 3.已知某消费者需求收入函数为 Q=2000+0.2M,式中 M 代表收入,Q 代表对某商品的需求量。 试求: (1)M 为 10000 元、15000 元时对该商品的需求量; (2)当 M=10000 元和 15000 元时的需求收入弹性。 解: 已知:需求收入函数Q=2000+0.2M;△Q/DM=0.2 M1=10000 元;M2=15000 元 1 (2) (1)

将M1=10000 元;M2=15000 元代入需求收入函数Q=2000+0.2M,求得: Q1=2000+0.2×10000=2000+2000=4000 Q2=2000+0.2×15000=2000+3000=5000 根据公式:EM=△Q/Q÷△M/M=△Q/△M×M/Q EM1=0.2×10000/4000=0.2×2.5=0.5 EM2=0.2×15000/5000=0.2×3=0.6 答:当M为 10000 元和 15000 元时对该商品的需求量分别为 4000 和 5000; 当M为 10000 元和 15000 元时需求弹性分别为 0.5 和 0.6。 4.在市场上有 1000 个相同的人,每个人对 X 商品的需求方程为Qd=8-P,有 100 个相同的厂商, 每个厂商对 X 商品的供给方程为Qs=-40+20P。 试求:X 商品的均衡价格和均衡产量。 解: 已知:市场上有 1000 人,对 X 商品的需求方程为Qd=8-P; 有 100 个厂商,对 X 商品的供给方程为Qs=-40+20P 将市场上有 1000 人,代入 X 商品的需求方程为Qd=8-P;100 个厂商,代入 X 商品的供给方程为 Qs=-40+20P 分别求得:TD=1000(8-P)=8000-1000P TS=100(-40+20P)= -4000+2000P 均衡价格:TD=TS 8000-1000P= -4000+2000P 3000P=12000 P=4 将均衡价格 P=4 代入 TD=1000(8-P)=8000-1000P 或 TS=100(-40+20P)= -4000+2000P 求得均衡产量:Q=100(-40+20P)=-4000+2000P==-4000+2000×4=4000 答:X 商品的均衡价格是 4;均衡产量是 4000。 5、已知:需求曲线的方程式为:P=30-4Q,供给曲线的方程式为 P=20+2Q。试求:均衡价格与 均衡产量。 已知:P=30-4Q,P=20+2Q 价格相等得: 30-4Q =20+2Q 6Q=10 Q=1.7 代入 P=30-4Q,P=30-4×1.7=23 6、已知:某公司对其产品与消费者收入的关系估计如下:Q=2000+0.2I,Q 为需求数量,I 为平 均家庭收入。 2

请分别求出:I=5000 元

I=15000 元

I=3000 元的收入弹性。

知:Q=2000+0.2IQ,I 分别为 5000 元,15000 元,30000 元 根据公式:分别代入:

7、已知:某产品的需求函数为:P+3Q=10 试求:P=1 时的需求弹性。若厂家要扩大销售收入,应该采取提价还是降价的策略? 已知:P+3Q=10, P=1 将 P=1 代入 P+3Q=10 求得 Q=3 已知:

当 P=1 时的需求弹性为 1/9,属缺乏弹性,应提价。 8、已知:某产品的价格下降 4%,致使另一种商品销售量从 800 下降到 500。 试问:这两种商品是什么关系?弹性是多少? 已知:P 下降 4%,Q 从 800 下降 500 根据公式:

3

第二部分:效用
1.已知某家庭的总效用方程为 TU=14Q-Q2,Q 为消费商品数量,试求该家庭消费多少商品效用最大, 效用最大额是多少。 解:总效用为 TU=14Q-Q2 所以边际效用 MU=14-2Q 效用最大时,边际效用应该为零。即 MU=14-2Q=0 总效用 TU=14·7 - 7 = 49 即消费 7 个商品时,效用最大。最大效用额为 49 2.已知某人的效用函数为 TU=4X+Y,如果消费者消费 16 单位 X 和 14 单位 Y,试求: (1)消费者的总效用 (2)如果因某种原因消费者只能消费 4 个单位 X 产品,在保持总效用不变的情况下,需要消费多 少单位 Y 产品? 解: (1)因为 X=16,Y=14,TU=4X+Y,所以 TU=4*16+14=78 (2)总效用不变,即 78 不变 4*4+Y=78 Y=62 3.假设消费者张某对 X 和 Y 两种商品的效用函数为 U=X2Y2,张某收入为 500 元,X 和 Y 的价格 分别为 PX=2 元,PY=5 元,求:张某对 X 和 Y 两种商品的最佳组合。 解:MUX=2X Y2 所以:2X Y /2=2Y X /5 得 X=2.5Y 又因为:M=PXX+PYY 所以:X=50 10 元,求: (1) 计算出该消费者所购买的 X 和 Y 有多少种数量组合, 各种组合的 X 商品和 Y 商品各是多少? (2)作出一条预算线。 (3)所购买的 X 商品为 4,Y 商品为 6 时,应该是哪一点?在不在预算线上?为什么? (4)所购买的 X 商品为 3,Y 商品为 3 时,应该是哪一点?在不在预算线上?为什么? 解: (1)因为:M=PXX+PYY 所以:120=20X+10Y X=0 X=1 X=2 X=3 X=4 Y=12, Y =10 Y=8 Y=6 Y=4 4 M=120 P X=20,PY=10 Y=125 M=500
2 2 2

Q=7,

MUY = 2Y X2 PX=2 元,PY=5 元

又因为 MUX/PX = MUY/PY

4.某消费者收入为 120 元,用于购买 X 和 Y 两种商品,X 商品的价格为 20 元,Y 商品的价格为

X=5 X=6 (2 )

Y=2 Y=0 共有 7 种组合

Y 12

6 3 O B

A

3 4 6

X

(3)X=4, Y=6 , 图中的 A 点,不在预算线上,因为当 X=4, Y=6 时,需要的收入总额应该是 20·4+10·6=140,而题中给的收入总额只有 120,两种商品的组合虽然是最大的,但收入达不到。 (4) X =3,Y=3,图中的 B 点,不在预算线上,因为当 X=3, Y=3 时,需要的收入总额应该是 20·3+10·3=90,而题中给的收入总额只有 120,两种商品的组合收入虽然能够达到,但不是效率最大。

第三部分:收益部分例题
1.Q=6750 – 50P,总成本函数为 TC=12000+0.025Q2。 求(1)利润最大的产量和价格? (2)最大利润是多少? 解: (1)因为:TC=12000+0.025Q2 ,所以 MC = 0.05 Q 又因为:Q=6750 – 50P,所以 TR=P·Q=135Q - (1/50)Q2 MR=135- (1/25)Q 因为利润最大化原则是 MR=MC 所以 0.05 Q=135- (1/25)Q Q=1500 P=105 (2)最大利润=TR-TC=89250 3.已知可变要素劳动的短期生产函数的产量表如下: 劳动量(L) 0 1 2 3 4 总产量(TQ) 0 5 12 18 22 平均产量(AQ) — 5 6 6 5.5 边际产量(MQ) — 5 7 6 4 5

5 6 7 8 9 10 (1)计算并填表中空格

25 27 28 28 27 25

5 4.5 4 3.5 3 2.5

3 2 1 0 -1 -2

(2)在坐标图上做出劳动的总产量、平均产量和边际产量曲线 (3)该生产函数是否符合边际报酬递减规律? (1) 划分劳动投入的三个阶段

K 28





Ⅲ AP MP L

TP

L

0
(3)符合边际报酬递减规律。

3

8

4.假定某厂商只有一种可变要素劳动 L,产出一种产品 Q,固定成本为既定,短期生产函数 Q= -0.1L3+6L2+12L,求: (1) (2) (3) 劳动的平均产量 AP 为最大值时的劳动人数 劳动的边际产量 MP 为最大值时的劳动人数 平均可变成本极小值时的产量 所以:平均产量 AP=Q/L= - 0.1L2+6L+12 对平均产量求导,得:- 0.2L+6 令平均产量为零,此时劳动人数为平均产量为最大。 L=30 (2)因为:生产函数 Q= -0.1L3+6L2+12L 所以:边际产量 MP= - 0.3L2+12L+12 对边际产量求导,得:- 0.6L+12 令边际产量为零,此时劳动人数为边际产量为最大。 L=20 (3) 因为: 平均产量最大时, 也就是平均可变成本最小, 而平均产量最大时 L=30, 所以把 L=30 代入 Q= -0.1L3+6L2+12L,平均成本极小值时的产量应为:Q=3060,即平均可变成本最小时的产量为 3060. 6

解: (1)因为:生产函数 Q= -0.1L3+6L2+12L

5.已知某厂商总成本函数为 3000+5Q-Q ,试求: (1)写出 TFC、TVC、AFC、AVC、AC 和 MC 的方程式; (2)Q=3 时,试求:TFC、TVC、AFC、AVC、AC 和 MC (3)Q=50,P=20 时,试求:TR、TC 和利润或亏损额。 解:已知:TC=3000+5Q-Q , 求得:(1)因为 TC=TFC+TVC;所以 TFC=3000,TVC=5Q-Q 因为 AFC=TFC/Q;所以 AFC=3000/Q 因为 AVC=TVC/Q;所以 AVC=(5Q-Q )/Q =5-Q 因为 AC=TC/Q; 所以 AC=(3000+5Q-Q )/Q=3000/Q+5-Q
2 2 2 2

2

因为 MC=Δ TC/Δ Q,边际成本对总成本求导,所以 MC=5-2Q (2)又知:Q=3 时, 求得:因为 TC=TFC+TVC,所以 TFC=3000 所以 TVC=5Q-Q =5×3-3×3=6 因为 AFC=TFC/Q;所以 AFC=3000/Q=3000/3=1000 因为 AVC=TVC/Q;所以 TVC=(5Q-Q )/ Q =5-Q=5-3=2 或 6/3=2 因为 AC=TC/Q; /3=1002 因为 MC=Δ TC/Δ Q,边际成本对总成本求导,所以 MC=5-2Q=5-2×3=-1 (3)又知 Q=50,P=20 求得:TR=Q×P=50×20=1000 TC=3000+5Q-Q =3000+5×50-50×50=750 利润 π =TR-TC=1000-750=250 6.假定某厂商只有一种可变要素劳动 L,产出一种产品 Q,固定成本为即定,短期总生产函数 TP =-0.1L +6L +12L,试求: (1)劳动的平均产量 APL 为最大时雇佣的劳动人数; (2)劳动的边际产量 MPL 为最大时雇佣的劳动人数; (3)平均可变成本 AVC 最小(平均产量 APL 最大)时的产量; (4)假定每人工资为 W=360 元,产品价格 P=30 元,求利润最大时雇佣的劳动人数. 解: 已知:总产量 TP=-0.1L +6L +12L (1)因为:平均产量 APL=TP/L;所以 AP=(-0.1L +6L +12L)/L=-0.1L +6L+12 求平均产量 APL 最大,以 L 为自变量对上式进行求导,同时令其为零,即: dAPL/dL=-0.2L+6=0 -0.2L=-6 L=30 答:劳动的平均产量 APL 最大时雇佣的劳动人数为 30。 (2)因为:MPL=Δ TP/Δ L=d(-0.1L +6L +12L)/dL=-0.3L +12L+12 求 MP 最大,以 L 为自变量对上式进行求导,同时令其为零,即: 7
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2

所以 AC=(3000+5Q-Q )/Q=3000/Q+5-Q=3000/3+5-3=1002 或(3000+6)

2

dMPL/dL=-0.6L+12=0 -0.6L=-12 L=20 答:劳动的边际产量 MPL 最大时雇佣的劳动人数为 20。 (3)又知:平均变动成本 AVC 最小,即平均产量 APL 最大;由(1)问得知平均产量 APL 最大时雇 佣劳动人数为 30,则:平均变动成本 AVC 最小时的产量为: TP=-0.1L +6L +12L =-0.1×30 +6×30 +12×30 =-2700+5400+360 =3060 答:平均变动成本 AVC 最小时的产量为 3060。 (4)又知工资 W=360,价格 P=30 根据利润 π =TR-TC=P×Q-W×L =30(-0.1L +6L +12L)-360L =-3L +180L +360L-360L =-3L +180L
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

求利润最大,以 L 为自变量对上式进行求导,同时令其为零,即: dπ /dL=-9L +360L=0 9L =360L L=40 答:利润最大化时雇佣的劳动人数为 40。 7.设完全竞争市场中的代表性厂商的短期成本函数是 STC=20+240Q-20Q2+Q3,若该产品的市场 价格是 315 元,试求: (1)该厂商利润最大时的产量和利润; (2)该厂商的不变成本和可变成本曲线; (3)该厂商停止营业点: (4)该厂商的短期供给曲线; 解: 已知:完全竞争厂商,MR=AR=P=d=315 MC=3Q2-40Q+240 利润最大化的条件 MR=MC,即:3Q2-40Q+240=315 3Q2–40Q+240=315 3Q2–40Q–75=0
2

40 ? 402 ? 4 ? 3 ? ?? 750? 40 ? 1600? 900 Q= = 6 2?3
Q=

40 ? 2500 40 ? 50 = 6 6

=15 8

п=TR–TC=15×315-(240×15-20×15 +15 ) п=4275–2475=2250 答:该厂商利润最大化时的产量是 15,利润是 2250。 (2)TC=20+240Q–20Q2+Q3 VC=240Q–20Q2+Q3 FC=20 AVC=

2

3

240Q 20Q 2 – Q Q

+

Q3 Q

=240–20Q+Q2

dAVC =2Q–20=0 dQ
Q=10 时

Q=10

AVC 最低点

AVC=240–20×10+10×10=240 TC=20+240Q–20Q2+Q3 短期供给:P=MC=3Q3–20Q+240(Q≥10) 8、完全竞争企业的长期成本函数 LTC=Q3-6Q2+30Q+40,市场需求函数 Qd=2040-10P,P=66。试 求: (1)长期均衡的市场产量和利润; (2)这个行业长期均衡时的企业数量。 解:已知:LTC=Q3–6Q2+30Q+40 完全竞争 MR=AR=d=P=66 (1)利润最大化的条件:MR=MC 求边际成本,对总成本求导,MC=3Q2–12Q+30 3Q2–12Q+30= 66 Q2–4Q+10=22 Q2–12Q–12=0 Q= 4 ? Q=12/2=6 利润 Π=TR–TC=66×6–(63–6×6 +30×6+40)
2

Qd=204–10P

P=66

1 6 ? 4 ?1 2 = 2

4 ? 64 2

396–220=176 答:长期均衡的市场产量是 6,利润为 176。 (2)已知:Qd=2040–10P,P=66,将 P=66 代入 Qd=2040–10P 得: Qd=2040–10×66=1380 厂商数 1380/6=230 个企业 答:长期均衡时的企业数量为 230 个。 9

9、已知:Q=6750-50P,总成本函数为:TC=12000+0.025Q2。试求: (1)利润最大的产量和价格? (2)最大利润是多少? 解: (1)因为:TC=12000+0.025Q2 ,所以 MC = 0.05 Q 又因为:Q=6750 – 50P,所以 TR=P·Q=135Q - (1/50)Q2 MR=135- (1/25)Q 因为利润最大化原则是 MR=MC 所以 0.05 Q=135- (1/25)Q Q=1500 P=105 (2)最大利润=TR-TC=89250 11、已知:生产函数 Q=LK,当 Q=10 时,PL=4,PK=1。试求: (1)厂商最佳生产要素组合时资本和劳动的数量是多少? (2)最小成本是多少? (1)因为 Q=LK, 所以 MPK= L MPL=K 又因为;生产者均衡的条件是 MPK/ MPL=PK/PL 将 Q=10 ,PL= 4,PK = 1 代入 MPK/ MPL=PK/PL 可得:K=4L 和 10=KL 所以:L = 1.6,K=6.4 (2)最小成本=4·1.6+1·6.4=12.8 12、已知一垄断企业成本函数为:TC=5Q2+20Q+1000,产品的需求函数为: Q=140-P, 求: (1)利润最大化时的产量、价格和利润, (2)厂商是否从事生产? 解: (1)利润最大化的原则是:MR=MC 因为 TR=P·Q=[140-Q]·Q=140Q-Q2 所以 MR=140-2Q MC=10Q+20 所以 140-2Q = 10Q+20 Q=10 P=130 (2)最大利润=TR-TC = -400 (3)因为经济利润-400,出现了亏损,是否生产要看价格与平均变动成本的关系。平均变动 成本 AVC=VC/Q=(5Q2+20Q)/Q=5Q+20=70,而价格是 130 大于平均变动成本,所以尽管出现亏损, 但厂商依然从事生产,此时生产比不生产亏损要少。 13.A 公司和 B 公司是生产相同产品的企业,两家各占市场份额的一半,故两家公司的需求曲线 均为 P=2400-0.1Q,但 A 公司的成本函数为:TC=400000+600QA+0.1QA2,B 公司的成本函数为: TC=600000+300QB+0.2QB2,现在要求计算: 10

(1)A 和 B 公司的利润极大化的价格和产出量 (2)两个企业之间是否存在价格冲突? 解:(1) A 公司: TR=2400QA-0.1QA
2

对 TR 求 Q 的导数,得:MR=2400-0.2QA 对 TC=400000 十 600QA 十 0.1QA 求 Q 的导数, 得:MC=600+0.2QA 令:MR=MC,得:2400-0.2QA =600+0.2QA QA=4500,再将 4500 代入 P=240O-0.1Q,得:PA=2400-0.1×4500=1950 B 公司: 对 TR=2400QB-0.1QB 求 Q 得导数,得:MR=2400-0.2QB 对 TC=600000+300QB+0.2QB 求 Q 得导数,得:MC=300+0.4QB 令 MR=MC,得:300+0.4QB=2400-0.2QB QB=3500,在将 3500 代入 P=240O-0.1Q 中,得:PB=2050 (2) 两个企业之间是否存在价格冲突? 解:两公司之间存在价格冲突。
2 2 2

11


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