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高中物理竞赛教程:1.2《力的合成与分解》


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§1.2 力的合成与分解 1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则 即力 F 和F 的合力即此二力构成的平行四边
1 2

形的对角线所表示的力 F,如图 1-2-1(a) 根据此法则可衍化出三角形法则。 将 F , F 即:
1 2

通过平移使其首尾相接, 则由起点指向末端 的力 F 即
F1 , F2

的合

F2 F1

F

F F1 (b)

F2

力 。 ( 如 图 1-2-1(b))

(a) 图 1-2-1

如果有多个共点力求合力, 可在三角形法 则 的 基 础 上 , 演 化为 多 边形法 则 。如 图 1-2-2 所示,a 图为有四个力共点 O,b 图表 示四个力矢首尾相接, 从力的作用点 O 连接 力 F 力矢末端的有向线段就表示它们的合
4

力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形
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是闭合的, F 力矢的起步与 F 力矢的终点重 即
1
5

合,这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算, 也遵循力 的平行四边形法则,一般而言,一个力分解 为两力有多解答,为得确定解还有附加条 件,通常有以下三种情况: ①已知合力和它两分力方向, 求这两分力 大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力 和它的一个 分力,求另一 个分力。这也有确定的确答。 ③已知合力和其中一个分力大小及另一 个分力方向, 求第一个合力方向和第二分力 大小,其解答可能有三种情况:一解、两解
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F3 F4 F1 (a) F2

∑F

F4 F3 F5

F4

F3 F2 F1

F1 (b) 图 1-2-2

F2 (c)

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和无解。 1.2.2、平面共点力系合成的解析法 如图 1-2-3,将平面共点力及其合力构成 力的多边形 abcde,并在该平面取直角坐标 系 Oxy,作出各力在两坐标轴上的投影,从 图上可见:
? R x ? F1x ? F2 x ? F3 x ? F4 x ? ? R y ? F1 y ? F2 x ? F3 x ? F4 x

上式 说 明,
Rx

y e F4y F3y F1y F2y a F1 O F4 d F3 c F2 b F2x F3x F4x (a) 图 1-2-3 Ry

y R

合力在任意一 轴上的投影, 等于各分力在

?

x O (b) x Rx

F1x Fy

同一轴上投影的代数和, 这也称为合力投影 定理。知道了合力 R 的两个投影 R 和 R , 就不
x
y

难求出合力的大小与方向了。 合力 R 的大小 为:
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2 2 R ? Rx ? R y

合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的 正切值来确定:
tga ? Ry Rx

1.2.3、平行力的合成与分解 作用在一个物体上的几个力的作用线平 行,且不作用于同一点,称为平行力系。如 图 1-2-4 如果力的方向又相同, 则称为同向 平行力。 两个同向平行
A O B F2 F1 R (a) 图 1-2-4 R F1 (b) O A F2 B

力的合力(R)的 大小等于两分力

大小之和,合力作用线与分力平行,合力方 向与两分力方向相同, 合力作用点在两分力 作用点的连线上, 合力作用点到分力作用点
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的距离与分力的大小成反比,如图 1-2-4(a),有:
?R ? F1 ? F2 ? ? AO F2 ? BO ? F 1 ?

两个反向平行力的合力(R)的大小等于 两分力大小之差,合力作用线仍与合力平 行,合力方向与较大的分力方向相同,合力 的作用点在两分力作用点连线的延长线上, 在较大力的外侧, 它到两分力作用点的距离 与两分力大小成反比,如图 1-2-4(b),有:
R ? F1 ? F2
OA F1 ? OB F2

1.2.4、空间中力的投影与 分解 力在某轴上的投影定义为力
X X i

Z

z

γ k j Y α β Y

图 1-2-5

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的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦, 如 图 1-2-5 中的 F? 力在 ox、oy、oz 轴上的投影 X、Y、Z 分别定义为
X ? F cos a ? ? Y ? F cos ? ? Z ? F cos? ? ?

这就是直接投影法所得结果,也可如图 1-2-6 所示采用二次投影法。这时
? ? ? X ? Fxy cos(Fxy , x)
Z F

式中 为 F? 在 oxy 平面上 的投影矢量,而
? ? ? Fxy ? F sin( F , Z )
X 图 1-2-6 O

? Fxy

Y Fxy

力沿直角坐标轴的分解式
? ? ? ? ? ? F ? Xi ? Yj ? Zk ? Fx i ? Fy j ? Fz k

§1.3 共点力作用下物体的平衡 1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件 几个力如果都作用在物体的同一点, 或者
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它们的作用线相交于同一点, 这几个力叫作 共点力。当物体可视为质点时,作用在其上 的力都可视为共点力。 当物体不能视为质点 时, 作用于其上的力是否可视为共点力要看 具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡, 具体是 指物体处于静止、 匀速直线运动和匀速转动 这三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是; 物体所 受到的力的合力为零。
?F
i

?
i

?0

或其分量式:
?F
i ix

?0

?F
i

iy

? 0 ? Fiz ? 0
i

如果在三个或三个以上的共 点力作用下物体处于平衡,用
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F3 F1

?

?

?
F2

图 1-3-1
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力的图示表示, 则这些力必组成首尾相接的 闭合力矢三角形或多边形; 力系中的任一个 力必与其余所有力的合力平衡; 如果物体只 在两个力作用下平衡,则此二力必大小相 等、方向相反、且在同一条直线上,我们常 称为一对平衡力; 如果物体在三个力作用下 平衡,则此三力一定共点、一定在同一个平 面内,如图 1-3-1 所示,且满足下式(拉密 定理):
F F1 F ? 2 ? 3 sin ? sin ? sin ?

1.3.2、推论 物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状 态,若其中有 n-1 个力为共点力,即它们的 作用线交于 O 点, 则最后一个外力的作用线 也必过 O 点,整个外力组必为共点力。这是
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因为 n-1 个外力构成的力组为共点(O 点) 力,这 n-1 个的合力必过 O 点,最后一个外 力与这 n-1 个外力的合力平衡, 其作用线必 过 O 点。 特例, 物体在作用线共面的三个非平行力 作用下处于平衡状态时, 这三个力的作用线 必相交于一点且一定共面。 §1.4 固定转动轴物体的平衡

1.4.1、力矩 力的三要素是大小、方向和作 用点。由作用点和力的方向所确
图 1-4-1 F O d

定的射线称为力的作用线。力作 用于物体,常能使物体发生转动,这时外力 的作用效果不仅取决于外力的大小和方向, 而且取决于外力作用线与轴的距离——力
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臂(d)。 力与力臂的乘积称为力矩,记为 M,则 M=Fd,如图 1-4-1,O 为垂直于纸面的固定 轴,力 F 在纸面内。 力矩是改变物体转动状态的原因。 力的作 用线与轴平行时, 此力对物体绕该轴转动没 有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内,可 先将力分解为垂直于轴的分量 F⊥和平行 于轴的分量 F∥,F∥对转动不起作用,这 时力 F 的力矩为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。 当物体受到多个力作用时, 物体所受的总力 矩等于各个力产生力矩的代数和。 1.4.2、力偶和力偶矩

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一对大小相等、 方向相反但不 共线的力称为力偶。 如图 1-4-2 中 F , F 即为力偶,力偶不能合成
1 2

F1 F2

r2

r1
O

图 1-4-2

为一个力,是一个基本力学量。对于与力偶 所在平面垂直的任一轴, 这一对力的力矩的 代数和称为力偶矩,注意到 F ? F ? F ,不难得
1 2

到,M=Fd,式中 d 为两力间的距离。力偶矩 与所相对的轴无关。 1.4.3、有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体,若处于平衡状态,作 用于物体上各力的力矩的代数和为零。

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