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数学文卷·2014届河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题(解析版)(2014.01)

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A = {x | x > 2} , B = {x | x < m} ,且 A U B = R ,那么 m 的值可以是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

2.复数 z =

1+ i ( i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



A.第一象限

3. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据 某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列 出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定 )

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4.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为 ( ) B. 9 3 C. 6 3 D. 18 3

A. 3 3

所以 V = sh = 3 ? 3 ? 3 = 9 3 .
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考点:1.三视图;2.四棱柱的体积.

5.已知曲线 y = A.3 B.2

x2 - 3ln x 的一条切线的斜率为 2,则切点的横坐标为( 2
C.1 D.



1 2

6. 已知 各项不 为 0 的等差数列 {an } 满足 a4 - 2a7 + 3a10 = 0 ,数列 {bn } 是等 比 数列,且
2

b7 = a7 ,则 b2b12 等于(
A.1 B.2 C.4 D.8



7.若 sin(

p 1 p - a ) = ,则 cos( + 2a ) = ( 3 4 3 7 1 1 7 A. B. C. D. 8 4 4 8

)

8.已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为(
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A. x = 1

B. x = 2

C. x = -1

D. x = -2

9.设函数 f ( x) = 则( )

3 sin(2 x + j ) + cos(2 x + j ) (| j |<

p ) ,且其图像关于直线 x = 0 对称, 2

p ) 上为增函数 2 p p B. y = f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 p C. y = f ( x) 的最小正周期为 p ,且在 (0, ) 上为减函数 2 p p D. y = f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4
A. y = f ( x) 的最小正周期为 p ,且在 (0,

10.双曲线

x2 y2 - 2 = 1( a > 0, b > 0 )的左、右焦点分别是 F1、F2 ,过 F1 作倾斜角为 300 的 2 a b


直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 ^ x 轴,则双曲线的离心率为( A. 6 B. 3 C. 4

D.

3 3

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11.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60 的任意向量,则对任意的正实数 t , | ta - b | 的最
0

r

r

r r

小值是( A.0 B.



1 2

C.

3 2

D.1

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ? 0) 的 单 调 增 区 间 为 (-1,1) , 若 方 程

3a ( f ( x)) 2 + 2bf ( x) + c = 0 恰有 4 个不同的实根,则实数 a 的值为(
A.



1 2

B. -

1 2

C.1

D.-1

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第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ì x - y ? -1 ? 13.设 x, y 满足约束条件 í x + y < 3 ,则 z = x - y 的取值范围为 ? y>0 ?
.

14.执行如图的程序框图,若输出的 S =

7 ,则输入的整数 P 的值为 8

.

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15.已知三棱柱 ABC - A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各项点都在同一球面上,若 AA1 = 2 ,

AB = 2 , AC = 1 , ?BAC = 600 ,则此球的表面积等于

.

16.整数数列 {an } 满足 an + 2 = an +1 - an ( n ? N * ) , 若此数列的前 800 项的和是 2013, 前 813 项的和是 2000,则其前 2014 项的和为 【答案】987 【解析】 .

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三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = A sin(2 x + j ) ( A > 0, 0 < j < p ) , 当x=取得最小值-4. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,且 a2 = f (0) , a4 = f ( ) ,求数列 { 和 Tn .

p 时 3

p 6

1 } 的前 n 项 Sn

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(2)因为 a2 = f (0) , a 4 = f ( ) ,所以 a 4 = 4, a 2 = 2 ,

p 6

18.(本小题满分 12 分)郑州市为了缓解交通压力,大力发展公共交通,提倡多坐公交少开 车.为了调查市民乘公交车的候车情况, 交通主管部门从在某站台等车的 45 名候车乘客中随 机抽取 15 人,按照他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 6 组,如下表所示:

(1)估计这 45 名乘客中候车时间少于 12 分钟的人数; (2)若从上表第四、五组的 5 人中随机抽取 2 人做进一步的问卷调查,求抽到的 2 人恰好 来自不同组的概率.

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19.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB = 1 ,

AA1 = 2 , D 为 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ^ 侧面 ABB1 A1 .
(1)证明: BC ^ AB1 ; (2)若 OC = OA ,求三棱锥 C1 - ABC 的体积.

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\

1 6 3 AO DO AD 1 = = = , \ OD = BD = , AO = , 3 6 3 OB1 OB BB1 2

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20.(本小题满分 12 分)已知 DABC 的两顶点坐标 A( -1, 0) , B (1, 0) ,圆 E 是 DABC 的内 切圆,在边 AC , BC , AB 上的切点分别为 P, Q, R , | CP |= 1 (从圆外一点到圆的两条 切线段长相等) ,动点 C 的轨迹为曲线 M . (1)求曲线 M 的方程; (2)设直线 BC 与曲线 M 的另一交点为 D ,当点 A 在以线段 CD 为直径的圆上时,求直 线 BC 的方程.

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设 lBC : x = my + 1, C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) , 由í

ì x = my + 1,
2 2 ?3 x + 4 y = 12,

消 x 得 (3m + 4) y + 6my - 9 = 0 ,所以 y1,2 =
2 2

-3m ± 6 m 2 + 1 , 3m 2 + 4

6m ì y1 + y2 = - 2 , ? ? 3m + 4 所以 í -------------------------------------8 分 ?y y = - 9 , 1 2 ? 3m 2 + 4 ?
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21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = ln x , g ( x) =

k ( x - 1) . x

(1)当 k = e 时,求函数 h( x) = f ( x) - g ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值.

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A, B, C , D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E , 点 F 在 BA 的延长线上.

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(1)若

EC 1 ED DC = , = 1 ,求 的值; CB 3 DA AB

(2)若 EF 2 = FA · FB ,证明: EF / / CD .

\ EF / / CD. .…………………………………………………… 10 分
考点:1.四点共圆的性质;2.相似三角形的证明.

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : í

ì x = -2 + cos t ì x = 4 cos q , C2 : í ( t 为参数) ( q 为参数). ? y = 1 + sin t ? y = 3sin q

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为

p 的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 | AB | . 4

则 s1 + s2 = 3 2, s1s2 = 4. 所以 | AB |=| s1 - s2 |=

( s1 + s2 ) 2 - 4 s1s2 = 2 . ……………………………10 分

考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.圆和椭圆的标准方程;3.韦达定理;4.直线的参数 方程.

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24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) =| x - 4 | + | x - a | ( a < 4) (1)若 f ( x) 的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f ( x) ? 3 - x 的解集.

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