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潍坊一中学案高一数学竞赛题函数零点与一元二次方程根的分布


第5节 函数零点与一元二次方程根的分布 函数的零点:对于函数 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 函数与方程思想:若 y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 若 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x ) 有解 x0 。 一元二次方程根的分布 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根, 其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。 ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ? 【定理 1】 x1 ? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? ? , 推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? f ( 0) ? c ? 0 ? f (0) ? c ? 0 ? ? b ? 0 ?b ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? 推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? 2 ?? ? b ? ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? ?a ? 0 ? ? f ( 0) ? c ? 0 ? ?b ? 0 ? 4ac ? 0 ?? b ?0 a , c ?0 a ?0 或? ?a ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ?b ? 0 【定理 3】 x1 ? 0 ? x2 ? c ?0 a b ? 0; a 1 x1 ? 0 ,x2 ? 0 ? c ? 0 且 【定理 4】 ○ 且 b ? 0。 a 1 2 x1 ? 0 ,x2 ? 0 ? c ? 0 ○ 二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x 2 相对于 k 的位置)有以下若 干定理。 【定理 1】 k ? x1 ? x2 ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a 【定理 2】 x1 ? x2 ? k ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ? ?af ( k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a 【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。 推论 1 x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0

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