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第一节正弦定理和余弦定理第二课时


人教版高中数学必修 5 高二上学期 目录: 目录: 第一章 第一节 第二节 解三角形 正弦定理和余弦定理 应用举例 第一章 解三角形

第一节 正弦定理和余弦定理 第二课时 我的学习目标: 我的学习目标: 1.通过对三角形边角关系的探索,能证明余弦定理,并知道从向量、 解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。 2.能够从余弦定理得到它的推论。 3.应用余弦定理及其推论解三角形。 4.了解余弦定理与勾股定理之间的联系,并知道解三角形问题的几种 情形及其基本解法。 我的学习过程 一.生活引入 老师:如图,某隧道施工队为了开凿一条山 地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度。 工程技术人员先在地面上选一适当的位置 A, 量出 A 到山脚 B、C 的距离,再利用经纬仪 测出 A 对山脚 BC(即线段 BC)的张角,最
A 图1 B C

后通过计算求出山脚的长度 BC.能将这个实际问题转化为数学问题 吗? 同学 1:已知三角形的两边和一个夹角,去求三角形的另外一边。 老师:这个问题能不能使用正弦定理来求解呢? 同学 2:应用新知识来解决这个问题. 二、基本功训练: 基本功训练: 1.知识点学习: 知识点学习: 知识点学习 老师:正弦定理
a b c = = 主要解决解三角形的哪几类问题? sin A sin B sin C

同学 3: (1)已知三角形的两角及一边解三角形; (2)如果已知三角 形的任意两边与其中一边的对角解三角形 老师:如何由已知一个三角形的两条边及其夹角解三角形呢? 先从具体例子进行分析,例如: 在 ?ABC 中, a = 8, b = 5, C = 60 0 ,求边长 c。 同学 4: (构造直角三角形) 如图,过 A 点作 AD ⊥ BC 于 D, 在 Rt?ACD 中, 由∠C = 60 0 得∠CAD = 30 0 ,∴ CD = 由勾股定理可得 AD =
5 2
C D B A

5 3 ,在 Rt?ABD 中, 2 5 11 由AD = 3 , BD = BC - CD = 可得AB = 7 ,∴ c=7. 2 2

老师:非常好!能否借助向量知识解决这个问题呢? 同学 5:(向量的模公式) 如图,设 CB = a , CA = b , AB = c ,
C A













则 | a |= 8, | b |= 5, 由三角形法则有 c = a ? b











B

∴| c | 2 = ( a ? b ) ? ( a ? b ) =| a | 2 + | b | 2 ?2 | a || b | cos C =49,∴ c=7



















老师:在利用数量积时,向量的夹角大小应注意.如果本题设 AC = b , 则






a 与 b 的夹角 应为120 0 .回到上述数学问题一般情况:如果三角形的两边



BC=a,AC=b 和角 C,如何求出 c? 同学 6:如图,设 CB = a , CA = b , AB = c , 由三角形法则有 c = a ? b
∴| c |2 = ( a ? b ) ? ( a ? b ) =| a |2 + | b |2 ?2 | a || b | cos C = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
→ → → → → → → → →



















即在 ?ABC 中, c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C 老师:好的,在这个等式的推导过程中你感到向量的威力了吗? 我 们 利 用 同 样 方 法 可 以 推 导 得 到 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A 和
b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B ,我们把这三个公式称为余弦定理,请同学们进

行归纳比较,发现特征并用文字表述。 同学 7:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。 老师:好!请继续观察定理中边与角的对应关系。 同学 8:余弦定理指明了三边长与其中一角的具体关系,并发现 a 与 A,b 与 B,c 与 C 分别对应,同时发现三边长的平方在余弦定理中同 时出现。 老师:应用余弦定理,我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形 的第三条边。如果已知三角形的三边,可否解三角形? 同学 9:可应用余弦定理的推论求三角:
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, ? cos A = b2 + c2 ? a2 2bc

b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B, ? cos B =
c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C ? cos C =

c2 + a2 ? b2 2ca
a2 + b2 ? c2 2ab

2.知识点演练 知识点演练 练习 1.已知 a,b,c 是 ?ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c) (a+ b+c)=ab,则角 C 大小为( ) A. 60o B. 90o C. 120o D.150o

解析:如果你选择 A,表明你对余弦定理的推论已熟悉,只是已知三 角函数值(特殊值)求角不够熟练;如果你选择 B,表明你对勾股定 理很熟悉,只是完全平方的两倍量要注意;如果你选择 C,表明你对 平方差、完全平方公式以及余弦定理的推论都已熟悉,已学会应用, 恭喜你,选择 C 正确;如果你选择 D,表明你对有关公式已熟悉,只 是已知三角函数值(特殊值)求角不够熟练. 练习 2. 在?ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且
b = 60cm,c = 34cm, A = 410 ,求a(精确到1cm).

解:由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 60 2 + 34 2 ? 2 × 60 × 34 × cos 410
≈ 3600 + 1156 ? 4080 × 0.7547 ≈ 1676.82

∴ a ≈ 41(cm)

三.题型训练 选择题 例 1.在△ABC 中,cos 2 A. 正三角形
A b+c = ,则△ABC 的形状是( 2c 2



B.

直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形

解析:如果你选择 A,表明你对三角形的边角关系有一定的认识,但 边角转化不够熟练;如果你选择 B,表明你降幂公式与余弦定理的推 论很熟悉,恭喜你,选择 B 正确;如果你选择 C,表明你对三角公式 以及余弦定理的推论都已熟悉,只是对三角形的分类还不很清晰;如 果你选择 D,表明你对有关公式有一定认识,但边等只是一种可能, 不是一定. 填空题 例 2.若三角形 ABC 的三条边长分别为 a = 2 , b = 3 , c = 4 , 则 2bc cos A + 2ca cos B + 2ab cos C = 解: 2bc cos A + 2ca cos B + 2ab cos C = (b 2 + c 2 ? a 2 ) + (a 2 + c 2 ? b 2 ) + (a 2 + b 2 ? c 2 )
= a 2 + b 2 + c 2 = 2 2 + 32 + 42 = 29

解答题 例 3.在 ? ABC 中,已知 a =134.6cm , b = 87.8cm , c =161.7cm ,解三角形 解:由余弦定理的推论得 cos A = b
∴ A ≈ 56020′ ;
2

+ c 2 ? a 2 87.82 +161.7 2 ?134.62 = ≈ 0.5543, 2bc 2×87.8×161.7

cos B = c

2

+ a 2 ? b 2 134.62 +161.7 2 ? 87.82 = ≈ 0.8398, ∴ B ≈ 32053′ ; 2ca 2×134.6×161.7

∴ C =1800 ? ( A + B) ≈1800 ? (56020′ + 32053′)

四.学以致用 1 . 已 知 A, B 两 地 的 距 离 为 10km, B, C 两 地 的 距 离 为 20km , 现 测 得
∠ABC = 120o ,则 A, C 两地的距离为(

) D. 10 7km

A. 10km

B. 10 3km

C. 10 5km

解析:如果你选择 A,表明你对三角形的边角关系有一定的认识,但
∠ABC = 120o ≠ 900 ;如果你选择 B,表明你对余弦定理的推论有一定的

认识,但 cos ∠ABC = cos1200 = ? ≠ ;如果你选择 C,表明你余弦定理 的推论有一定的认识,但却将 2ac cos ∠ABC 忽视了;如果你选择 D,表 明你对余弦定理的推论已经掌握, 恭喜你,选择 D 正确.
2.在?ABC 中,
a b c = = ,则?ABC 是 cos A cos B cos C

1 2

1 2

解法 1: (角化边)应用余弦定理的推论 cos A =
cos B =

b2 + c2 ? a2 2bc

c2 + a2 ? b2 a2 + b2 ? c2 cos C = a=b=c 2ca 2ab , ,代入整理得 ;

sin A sin B sin C = = A= B=C 解法 2: (边化角) 由已知得 cos A cos B cos C , 相交乘整理得
∴ ?ABC 是正三角形.

3.在 ? ABC 中,已知 a = 2

3 , c = 6 + 2 , B = 600 ,求

b及A

解:∵ b2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = (2 = 12 + ( ∴ b=2

3) 2 + ( 6 + 2) 2 ? 2 ? 2 3 ?( 6 + 2) cos 450

6 + 2) 2 ? 4 3( 3 +1) = 8

2. (也可应用正弦定理)
2

∵cos A = b

+ c 2 ? a 2 (2 2) 2 + ( 6 + 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 = = , ∴ A = 600. 2bc 2 2× 2 2 × ( 6 + 2)

(也可应用正弦定理求角 A)


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