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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.1.3 导数的几何意义 课时作业]


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课时提升作业(二)
导数的几何意义

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014 · 衡 水 高 二 检 测 ) 若 曲 线 y=f(x) 在 点 (x0 , f(x0)) 处 的 切 线 方 程 为 2x+y+1=0,则( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)<0 ) B.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在

【解题指南】曲线在点 x=x0 处的导数,即为切线的斜率. 【解析】选 C.切线的方程为 2x+y+1=0,即 y=-2x-1,斜率为-2,故曲线在 x=x0 处的导数为-2,即 f′(x0)=-2<0. 2.设曲线 y=x2 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为( A.(3,9) C. B.(-3,9) D. )

【解题指南】设出点 P 的坐标,求出导函数,利用曲线在切点处的导数值是切 线的斜率列出方程求出点 P. 【解析】选 C.设 P(x,y),根据定义,可求得其导数 y′=2x,令 2x=3,得 x= , 所以 P ,故选 C.

3.曲线 y=4x-x3 在点(-1,-3)处的切线方程是( A.y=7x+4 C.y=x-4 【解析】选 D. 线方程为 y=x-2,故选 D. B.y=7x+2 D.y=x-2

)

=1+3Δx- (Δx)2,所以切线斜率 k=1,切

4.(2014· 银川高二检测)若曲线 f(x)=x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直, 则 l 的方程为( A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 ) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

【解析】选 A.根据定义可求导数 f′(x)=2x,则 2x=4,x=2;切点(2,4),切线 斜率 k=4,所以 l 的方程为 4x-y-4=0,故选 A. 【误区警示】此题易把切线的斜率和垂线的斜率混淆而造成错误. 5.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 C.根据定义可求得 y′=3x2,y′|x=1=3,切线方程为 3x-y-2=0,与 x 轴的交点坐标为 〓4= . 6.(2014·广州高二检测)在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜 角小于 ,且横、纵坐标都为整数的点的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3 , 与 x=2 的交点坐标为(2, 4), 围成三角形面积为 〓

【解析】选 A.根据导数定义求得,y′=3x2-9,

令 0≤y′<1 得 3≤x2< , 显然满足该不等式的整数 x 不存在, 因此在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵 坐标都为整数的点的个数是 0.故选 A. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·无锡高二检测)已知曲线 y= -1 上两点 A 当Δ x=1 时,割线 AB 的斜率为________. 【解题指南】本题考查直线斜率的求法,根据割线的斜率 k= 【解析】Δy= = = 所以 =即 k= - = . = , =. 求解. ,B ,

所以当Δx=1 时, k=答案:8.抛物线 y=f(x)=2x2-x 在(1,1)点处的切线斜率为________. 【解析】因为 斜率 k=3. 答案:3 9. 已知曲线 y=f(x)=2x2+1 在点 M 处的瞬时变化率为 -4 ,则点 M 的坐标为 =3+2Δx,令Δx 趋于 0,则 3+2Δx 趋于 3.所以切线的 =- .

________. 【解析】当Δx→0 时, =2Δx+4x0→4x0,由 4x0=-4,得 x0=-1, 所以点 M 的坐标是(-1,3). 答案:(-1,3) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·安顺高二检测)已知抛物线 y=f(x)=x2+3 与直线 y=2x+2 相交,求它们 交点处的切线方程. 【解析】由方程组 得 x2-2x+1=0,

解得 x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4), 又 =Δx+2.

当Δx 趋于 0 时Δx+2 趋于 2.所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2. 所以切线方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2. 【变式训练】已知曲线 y=f(x)=x+ 上一点 A 线的斜率.(2)点 A 处的切线方程. 【解题指南】求曲线在 A 处切线的斜率 kA,即求 【解析】(1)Δy=f(2+Δx)-f(2) =2+Δx+ = . ,用斜率定义求:(1)点 A 处切

+Δx, =

=

= .

(2)切线方程为 y- = (x-2),

即 3x-4y+4=0. 11.(2014·贵阳高二检测)证明:过曲线 xy=1 上的任何一点 P(x0,y0)(x0>0)的 切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数. 【解题指南】先求函数 y= 的导数,表示出过 P(x0,y0)的切线方程,再求切线 的截距,从而表示出面积. 【证明】由 xy=1,得 y= , 根据导数定义可得,y′=- , 所以 k=- , 过点 P(x0,y0)的切线方程为 y-y0=- (x-x0), 令 x=0 得 y= ,令 y=0 得 x=2x0, 所以过 P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 〓 〓2x0=2 是一个 常数.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·天津高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的 大小关系是( )

A.f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB)

B.f′(xA)< f′(xB) D.不能确定

【解析】 选 B.分别作出 A, B 两点处的切线, 由图可知 kB>kA, 即 f′(xB)>f′(xA). 2.(2014· 荆州高二检测)已知曲线 f(x)=lnx 在点(x0, f(x0))处的切线经过点(0, -1),则 x0 的值为( A. B.1 ) C.e D.10

【解析】选 B.依题意得,题中的切线方程是 y-lnx0= (x-x0);又该切线经过点 (0,-1),于是有-1-lnx0= (-x0),由此得 lnx0=0,x0=1,选 B. 3.(2014·天津高二检测)设 f(x)为可导函数,且满足 线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( A.2 【解析】选 D. = f′ =-1? f′ =-2. B.-1 = C.1 ) D. -2 =-1,则过曲

4.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为 A. C.[0,1] ,则点 P 横坐标的取值范围为( B.[-1,0] D. )

【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线 C 在点 P 处斜率的取值范围, 进而得到点 P 横坐标的取值范围. 【解析】选 D.设点 P 的横坐标为 x0,因为 y=x2+2x+3, 由定义可求其导数 y′ P 处切线的倾斜角), 又因为α∈ 所以 x0∈ ,所以 1≤2x0+2, .故选 D. =2x0+2,利用导数的几何意义得 2x0+2=tanα(α为点

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为 ________. 【解析】因为 f(x)=x3+x-2,设 xP=x0, 所以Δy=3 〃Δx+3x0〃(Δx)2+(Δx)3+Δx, 所以 =3 +1+3x0(Δx)+(Δx)2,

所以 f′(x0)=3 +1,又 k=4, 所以 3 +1=4, =1.所以 x0=〒1, 故 P (1,0)或(-1,-4). 答案:(1,0)或(-1,-4) 【变式训练】已知 f(x)=x3,则曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线斜率为________. 【解析】 设 P(2, 8), Q (2+Δx, (2+Δx)3), 则割线 PQ 的斜率为 kPQ= Δx+(Δx)2, 当Δx→0 时,kPQ→12, 所以曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线斜率为 12. 答案:12 6.(2014 · 泰 安 高 二 检 测 ) 设 函 数 f(x) 在 x=1 处 的 切 线 斜 率 为 1 , 则 =________. 【解析】因为 f(x)在 x=1 处切线斜率为 1, 所以 f′(1)=1, = = f′(1)= . =12+6

答案: 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为 1,求抛 物线解析式. 【解析】因为 y=ax2+bx+c 分别过(1,1)点和(2,-1)点,所以 a+b+c=1 4a+2b+c=-1 ②, 又 f′ = =2ax+b,故由导数的几何意义得:y′|x=2=4a+b=1 ③, ①,

由①②③可得,a=3,b=-11,c=9.故抛物线解析式为 y=3x2-11x+9. 8.已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=2x 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛 物线的曲线 AOB 上求一点 P,使△ABP 的面积最大. 【解题指南】求出与直线 x+2y-4=0 平行的切线,对应切点即为所求点 P. 【解析】由 y2=2x 及直线 x+2y-4=0 的位置关系可知,点 P 应位于直线 x+2y-4=0 的下方. 故令 y=所以 y′= , =,

设切点为(x0,y0),过切点(x0,y0)的切线与直线 x+2y-4=0 平行, 所以 y′ ==- .所以 x0=2,

所以切点坐标为(2,-2), 此时该点为抛物线上与线段 AB 的距离最大的点, 故点 P(2,-2)即为所求. 所以在抛物线的曲线 AOB 上存在点 P(2,-2),使△ABP 的面积最大. 【拓展延伸】利用切线巧解面积的最值问题

此类题目若将面积表示出后,求面积的最大值,则运算化简过程比较繁杂. 由于△ABP 的底边 AB 长度不变, 故点 P 到 AB 距离的最大值可利用抛物线的切线 与直线 AB 的距离来确定.利用切点的惟一性,再利用导数知识解题,解题过程 非常简便.

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