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极点、极线与圆锥曲线试题的命制


6 2  

数学通讯 一 2 0 1 5年 第 4期 ( 下半 月)  

?课 外 园地 ?  

极点l 、 极 线与圆锥 曲线试 题的命制 
王文彬  
( 江西省抚州市第一中学 , 3 4 4 0 0 0 )  

极 点与极 线是 高 等 几 何 中 的重 要 概念 , 当然 不  是《 高 中数学 课程 标准 》 规 定 的学 习 内容 , 也 不属 于  高考考 查 的范 围 , 但 由于 极 点 与极 线 是 圆锥 曲线 的 
基本 特征 , 因此 在高考 试题 中必 然会有所 反 映 , 自然  也会 成为 高考试 题 的命 题背 景.  

( 1 )对 于 椭 圆 x   z   T

yZ
 


1 , 与 点 P(  。 ,  。 ) 对 应 

的极线 方程 为  X o X + 

1 ;  

( 2 ) 对于双曲线  一y A 6   一1 , 与 点 P( x 。 ,  。 ) 对 
应 的极线 方程 为  一  Y o Y一1 ;  

作为 一 名 中学 数学 教 师 , 应 当 了解 极 点与 极 线  的概 念 , 掌握 有 关 极 点 与 极 线 的 基 本 性 质 , 只 有 这  样、 , 才能 “ 识破 ” 试题 中蕴 含 的有 关 极 点 与极 线 的知  识背 景 , 进而把 握命 题规 律.  
1 .极 点 与 极 线 的 定 义 
定义 1   ( 几 

( 3 )对 于抛物 线 Y 。 一2 p x, 与 点 P( z 。 , Y 。 ) 对应 
的极线 方程 为 Y 。 3 , 一p ( x 。 + ) .  
2 . 极 点 与 极 线 的 基 本 性 质 

定理 1   ( 1 )当 P在 圆锥 曲线 r 上时 , 其极 线  £ 是 曲线 r在 P 点处 的切线 ;  
P 

何 定 义 )如 图 1 , P   是不在 圆锥 曲线 上  的点 , 过 P 点 引 两 

( 2 )当 P在 r外 时 , 其极 线 z 是 曲线 I 1 从点 P   所 引两条切 线 的切 点所 确 定 的 直线 ( 即切点 弦所 在 
直线 ) ;  

条割 线 依次 交 圆 锥 
曲线 于 四 点 E, F,   G,H,连 接 EH,   F G 交 于 N, 连 接  E G, F H 交于M , 则直 线 MN 为点 P 对 应 的极 线.  
图 1  

( 3 )当 P在 r 内时 , 其 极线 z 是 曲线 r 过 点 P  
的割 线两 端点 处 的切 线交 点 的轨迹 .  

证 明  ( 1 )假设 同 以上 代 数 定 义 , 对I 1 : Ar 。 + 
C y 。  ̄2 D x ̄2 E y + F一0的方 程 , 两边求导得 2 Ax  

若 P为 圆锥 曲线上 的点 , 则过 P点 的切 线 即为 
极 线.  

+ 2 c y y '  ̄ 2 D  ̄ 2 E y ' = = = o , 解 得 3 ,   = = = 一 会  , 于 是  

由图 1 可知, 同理 P M 为 点 N 对应 的极线 , PN 

为点 M 所对 应 的极 线. MNP 称 为 自极 三 点 形. 若 
连接 MN 交 圆锥 曲线 于点 A , B, 则 P A, PB恰 为 圆 

曲 线 r 的 P 点 处 的 切 线 斜 率 为 忌 一 一 会   丰 尝 , 故 切   线 z 的 方 程 为 Y - Y o 一 一 会   丰 罢 ( X - X O ) , 化 简 得  
Ax 0 z +C   o y -Ax : 一C   j  ̄Dx +E y - Dx o —E   。 一 

锥 曲线 的两条 切线 .   定义 2   ( 代 数 定 义 )已 知 圆锥 曲线 I 1 : Az 。 + 
C y   十2 D  +2 E   +F= = = 0 , 则 称 点 P( - r 。 ,  。 ) 和 直线 
Z : Ax o z +C   。  + D(  + 0 ) + E( y +Y o ) + F一 0是  

O . 又点 P在 曲线 r上 , 故 有 Ax   +C y   +2 D x 。 + 
2 E y 。 +F一0 , 从 中解 出 A x   +C y   , 然后代 入 前式 可 

圆锥 曲线 r的一 对极点 和极 线.  
事实 上  , 在 圆锥 曲线方 程 中 , 以z 。 z替换 z   , 以 
X OT


得 曲线 I 1 在 P 点处 的切 线 为 z : Az 。 x ̄C y 。  十D( x   +z 。 ) +E( y  ̄y 。 ) +F一0 . 根据 代数 定 义 , 此 方程 恰 
为点 P 的极线 方程 .  

  l



厶 

I 替换  ( 另 一 变 量 Y也 是 如 此 ) , 即 可得 到 点 

( 2 )设 过 点 P 所 作 的两 条 切 线 的 切 点 分 别 为  M( x   , Y   ) , N( x   , Y 。 ) , 则 由( 1 ) 知, 在点 M, N 处 的  切线 方 程 分别 为 Ax x   +C y y   +D(   + ) +E( y  

P( x 。 , Y 。 ) 的极线 方程 .   特别 地 :  

?

课 外 园地 ?  

数学通讯 一 2 0 1 5年 第 4期 ( 下半 月)  

6 3  

+ ) + F一 0和 Ax x 2 +C y y 2 + D( x 2 + ) + E( y 2 + 

关 于 r的极 点 Q 在直 线  上.  
由此可 知 , 共 线点 的极 线必 共点 ; 共点 线 的极点  必 共线 .  
定理 3   如图 4 , 设 点 P关 于 圆锥 曲线 r 的极 

) +F一0 , 又点 P 在切 线上 , 所 以有 
Ax0 z 1 +C   Y 1 十D( z l + 0 ) + E(  1 + Y 0 ) + F 
一 0.  

Ax0 X 2 +C   0  2 + D( x2 + o ) + E( Y 2 +Y o ) +F  
一 0.  

线 为  过 点 P任 作 一割 线 交 r 于 A, B, 交z 于 Q,  

观察 这两 个式 子 , 可发现点 M( x   , Y   ) , N( z   ,   Y 2 ) 都 在直 线 Az 。  +  o j , +D( z +z 。 ) +E(  +  )   +F一0上 , 又两点 确定 一 条 直线 , 故 切 点 弦 MN 所 

则  一 器① ; 反 之 , 若 有 ① 成 立 , 则 称 寰 P , Q 调  
和分 割线 段 AB, 或称 点 P 与 Q 关 于 r 调 和共轭 .   点 P关 于 圆锥 曲线 r 的 调 和共 轭 点 的 轨 迹是 


在 的直线 方程 为 Ax 。 z +C   。  +D(  + 。 ) +E( y +  Y 。 ) +F一0 . 根据代 数定 义 , 此 方程 恰 为点 P对 应 的 
极 线 方程 .  
P 

条 直线 , 这条 直线 就是 点 P的极 线.  
推论 1   如图 4 , 设点 P关 于圆锥 曲线 r 的调 

和 共 轭 点 为 点Q , 则 有 壶一 南+ 南② ; 反 之 , 若  
有② 成立 , 则点 P 与 Q 关 于 工 1 调 和共轭 .   可 以证 明① 与② 是等 价 的( 详 略) .  
P 
P 

2  

图 3  

( 3 )设 曲线 I 1 过 P( z 。 , Y 。 ) 的弦 的两 端 点 分 别  为S ( x   , Y t ) , T( x z , Y   ) , 则 由( 1 ) 知, 曲线 在 这 两 点  处 的切线 方 程分别 为 
Ax1  + C y1   Y + D( x1 +  ) + E( y l + ) + F 一 0,   Ax2 z+ C   2  + D ( z 2 + z) + E(  2 + ) +F一0 .  
图 4   图 5  

特 别地 , 我们 还有  推论 2   如图 5 , 设 点 P关 于有 心 圆锥 曲 线 r   ( 设 其 中心为 O) 的 调 和共 轭 点 为点 Q, 直线 P Q 经  过 圆锥 曲线 的 中心 , 则有 O R   一O P ?( ) Q; 反之, 若 
有 O R   一O P? O O成 立 , 则 点 P与 Q 关于 r调 和共  轭.  

设 两切线 的交 点为 Q(  ,  ) , 则有 
Axl   m+ C y1  + D ( x1 +  ) + E( y1 +n ) + F一 0 ,   Ax2   7 7 2 +C y 2  + D ( x 2 +  ) + E(  2 +n ) + F一 0 .  

观察 两式 , 可 发现 S( z   , Y   ) , T( x z , Y 。 ) 都 在 直 
线A   +C   +D(  +  ) +E(  + ) +F一0上 , 又 

证 明  设 直线 PQ与 r 的另一 交 点 为 R   , 若 点 

两点 确定 一条 直线 , 所 以直 线 S T 的方 程 为 Ax m+ 
C y n+ D ( z+ m ) + E(  + n ) + F一 0 .   .  

P 与 Q 关 于 r 调 和 共 轭 , 则 有  = 器 
0 R一 ∞Q  ( 注 意 0 R, 一 O R) OP+O — —R   一  O R' +O L 仕思  一  ’   化f 简   H J   即可 B p   H J   得 1 哥  




又直 线 S T过点 P(  o , Y 。 ) , 所 以 Ax o m+C y o  

O R 2 一O P? 0 Q。 反之 , 由O R   一O P? O Q 也可 推 出 


+D( z 。 + ) +E( y 。 + ) +F一0 , 这 意 味着点 Q( m,   ) 在 直线 A   0 z +c   。 Y +D( x 0 + ) +E(   + ) +F  
一 0上 .  

器, 即 点 P 与 Q 关 于 r 调 和 共 轭 .  

定理 2 、 定理 3的证 明可 参 阅有 关 高 等几 何 教 
材, 这 里从 略.   3 . 特 殊 的极点 与极 线 

所 以, 两 切 线 的 交 点 的 轨 迹 方 程 是 Az 。 z+ 
Cy 0  + D(  0 + z) + E(  o + ) + F一 0 .  

定理 2  

( 配 极 原则 )   点 P关于圆锥曲线 r  

① 圆锥 曲线 的焦 点与 其相 应 的准线 是该词 锥 曲 
线 的一对极 点 与极线 .  

的极线 P经过 点 Q  点 Q 关 于 r 的 极 线 q经 过 点 
P;  

譬如 , 对于 椭 圆  +  一1而 言 , 右 焦 点 F( c ,  

直 线 P关 于 r 的 极 点 P 在 直 线 q上 ∞ 直 线 q  

6 4  

数 学 通讯 一 2 0 1 5年 第 4期 ( 下半月)  

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o ) 对 应 的 极 线 为   ≠ +   1 , 即 z 一 譬 , 恰 为 椭  
圆的右准 线.   ②对 于椭 圆  +  一1而 言 , 点 M( ' m -   0 ) 对 应 
n   0  

4 . 圆锥 曲线试 题 的命 制 
2  



2  

例 1   对 于椭 圆  +  一1 , 如图 7 , 如 果 取 定 
“  c ,  

点 P, 过点 P 作割线 P AB, 设 P与 Q 关 于椭 圆调 和  共轭, 则 点 Q 一定 在一条 定直 线上 . 特别 地 , 如图8 ,  

的极 线方 程为 z 一  ; 对 于 双 曲线  一  y Z 一1而 言
,  

m  

n 

D 

如 果点 P, Q 调和 共 轭 , 而且 点 P在 某 直线 上运 动 ,  

则 Q是 点 P 的极 线与 射线 O P 的交点 .  
点 M( m, 0 ) 对 应 的极 线 方程 为 z 一  ; ( 3 ) 对 于抛 物 
J  

  J  V  l

线 。 一2 p x而 言 , 点 M( m, O ) 对应 的极 线方 程 为 





P  



 



 



 

定理 4  

如 图 
,  

6 , 设 圆 锥 曲线 r 的 


个焦 点 为 F, 与F  

Q  

相 应 的准线 为 z .  

图 7  

图 8  

( 1 ) 若 过点 F  
的直 线 与 圆 锥 曲线 
I 1 相交于 M, N 两 
图 6  

【 链接 1 】 ( 2 0 0 8年安徽 卷理 2 2 )设 椭 圆 C:  

口 

+  一 1 ( 口> 6 >0 ) 过点 M (   , 1 ) , 且 左 焦 点 为 
F   ( 一  , 0 ) .  

点, 则 r在 M , 』 \ , 两  点 处 的切线 的交点 Q 在 准线 Z 上, 且 F QJ _ MN;  

( 2 ) 若过 准线 l 上一 点 Q 作 圆锥 曲线 r 的两 条 
切线, 切 点 分别 为 M , 』 \ , , 则 直 线 MN 过 焦 点 F, 且 
FQ上 M N ;  

( 1 )求椭 圆 C的方 程 ;   ( 2 )当过 点 P( 4 , 1   ) 的动 直 线 z 与 椭 圆 C 交 于 

两个 不 同 的点 A , B时, 在线 段 AB 上取 点 Q, 满 足 

( 3 ) 若 过 焦 点 F 的 直 线 与 圆 锥 曲线 r 相 交 于  M, N 两点 , 过 F作 F Qj _ MN 交准线 z于 Q, 则连 线  Q M, QN 是 圆锥 曲线 r 的两 条切 线.   下面给 出椭 圆情形 下结 论 ( 1 ) 的证 明 , 其余 皆同 
理可证 .  
yZ 设 r:   i z   T  
2  


I   -P『 A ?l   1 一I   I ?1 商 l , 证 明点 Q 总在某 
定直 线上 .  

简 析( 1 ) 易 求 得 答 案 等 十 等 一 1 . ( 2 ) 由 条 件  
可得  一   ,   Q关 于圆锥 曲线 c   调 和共轭 . 根据 定理 3 , 点 Q在 点 P 对 应 的极 线 上 ,  



1( 口 >6 >o ) , 则 F( c , O ) ,  :   一 

此极 线方 程为 4 _  +  由于焦点 F 的极线 为 £ , 故 切线 MQ, NQ 的交 点 



一1 化 简 得 2  + _ 2 —  


0 . 故 点 Q总在 直线 2 x + 一2 —0 匕 .  

Q一定在直线z 上, 设Q ( _, “ Y Q ) , 则点 Q的极线为  
n  2  

+ 

一 一 

c …

.  

/ _  
, 即有 。 一 
图 9  

3  

一   一

:  

再设 MN:  一是 (  —c ) , 则是 = = = 一  
一  



从 而 Q 点 的 坐 标 为 ( 譬 , 一 关 ) , 于 是   冈 一  
?

图 1 O  

【 链接 2 】   (1 9 9 5年 全 国 卷 理 2 6 )已 知 椭 圆 
走 M N = = = 一1 , 故 F Q_ L M N.  

c : 翥 +   一 1 , 直 线 z :   5 E + 詈 = = = 1 , P 是 z 上 一 点 , 射  
线 0 P交 椭 圆于点 R, 又点 Q在 O P 上且 满 足 1   0 Ql  

?

j   OP1 一l   O R   I  , 当点 P在 l上 移 动 时 , 求 点 Q 的 

J ’  

轨迹方 程 , 并 说 明轨迹 是什 么 曲线 .   简 析  由条件 I   O R   I  一 I   OP1 .I   O C t I 可知点 P,  
一  

Q关 于椭 圆 C 调和 共轭 , 点 Q是 点 P 的极 线与 射线 
O P 的交点 .  

P一  

设 P( 1 2 t , 8 —8 t ) , 则 与 P 对 应 的 极 线 方 程 为  —  +  二  十——1 一 = 一 : =  ’ l ,   化 儿I 简得  H J   1 苛  
f i )  
图 1 1   图 l 2  

£   +( 1 一f )  一 2  

过  轴上的定点( _, “ 0 ) , 当然直线 MN也过该定 
LO 

又 射 线 O P 的 方 程 为 3 , 一 与 蔷 三 r , 化 简 得  
一  一百 z   ② 

点; 如果  为 常数 m。 , 则点 T的极 线恒 过 Y轴上 的 
L2  

定点 ( O ,   ) , 此 时直 线 MN 也 过该定 点 .  
7 1 1 0  

由①②联 立 方 程 组 并 消 去 t 得 2 z 。 +3 y 。 一4 x  
十6 y ( 下 略) .  

【 链接】 ( 2 0 1 0年 江 苏 卷 理 1 8 ) 在 平 面直 角 坐 

标 系 z 0   中 , 如 图1 2 , 已 知 椭 圆 等 + 等 一 l 的 左 右  
顶点 为 A, B, 右焦点 为 F . 设 过 点 T( t ,  ) 的 直线 

例2   设椭 圆方程 为  +  一 l ( Ⅱ >6 >o ) , 点 

P( m, O ) ( 卅≠o , I  I = i a b ) 的极 线 为垂 直 于 z轴 的 直  线:  一  , 若 点 Q在该 极线 上 , 则 其 坐 标 可 设 为 

T A, T B与此椭 圆分 别交 于点 M ( . 2 C 。 , Y . ) , N( z 2 ,   Y 2 ) , 其 中  >O ,  l >O , Y 2 <0 .  
( 1 ) 设 动 点 P满足 PF   一P B   一4 , 求 点 P的轨 

( 等 , 3 , 。 ) , 容 易 看 出  ?  = ( 棚 , o ) ? (   ,   口 ) = 6  迹 ;   ( 2 )设 z 。 = = = 2 ,   一了 1
( 定值 ) .  
【 链接1 ( 2 0 1 1年 四 川 卷 理 2 1 )如 图 1 l , 椭 圆 



求点 了 ’ 的坐标 ;  

( 3 )设 t 一9 , 求证 : 直 线 MN 必 过  轴 上 的 一 
定点( 其 坐标 与 m 无 关 ) .   简析 前 面两 问 比较 简 单 , 这 里从 略. 对于( 3 ) ,  

两 顶点 A( 一l , 0 ) , B( 1 , O ) , 过 其 焦 点 F( O , 1 ) 的直 
线 z 与椭 圆交于 C, D 两点 , 并 与 X轴 交 于 点 P. 直  线 AC与 直线 B D 交 于点 Q.  

当f 一9时 , 丁点 坐标 为 ( 9 , , , z ) , 点 了 ’ 对 应 的 极线 方  程 为  +   一l , 即  +  一l , 此 直线 恒过 

( 1 ) 当I C DI : = :  

时, 求直线 z 的方程 ;  

1 , 0 ) , 从 而直 线 MN 也 恒 过 定 点  ( 2 ) 当点 P异于A, B两点时, 求证:   ? 茄 为  X轴上 的定 点 K (
定值.  
K( 1 , O ) .  


2  

. . 2  

简 析 可 求得 椭圆方程为等+   z —l , 第( 1 ) 问  
略, 对第 ( 2 ) 问, 若 以 P点为极点 , 则 其 对 应 的极 线 
过 Q点 , P点 的极 线 方 程 为  一  1 故 可 设 Q(   ,  


例4   如图 1 3 , 设椭圆 J 1 的 方程 为  + 

1  

( ( £ >6 >O ) , 其 右 焦 点 为 F, 直 线 ,与椭 圆 上 1 相 切 于  P, 且 与右 准线 交 于点 Q, 根 据定 理 4有 , PF 上F Q.  
l  



) 。 因 而 有 

?  

: = = 1 .  
~  

, 】  
0 
、  

例3   设 椭 圆 f 的方 程 为  +  一 1 (   >  > 
O ) , 点 T( m, £ ) (  , £ ≠O ) , A, B 为 椭 圆的 左 右 顶 点 ,  
直线 T A, T B分 别 与 椭 圆 交 于 另一 点 M , N. 如果 t  



 



 

j 

为常数£ 。 , 则点 了 、 的极线为   十!   一l , 该极线恒  
圈 1 3  


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