tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列通项公式求法总结


数学必修五


数 列





通 项 公 式



数列是初等数学与高等数学的衔接点之一,一直是近几年高考中的热点问题之一,以较大的分值出现。 递推公式是给出数列的一种方法,高考中以递推公式形式给出数列。它侧重考查学生的逻辑推理能力、创 新能力和分析化归能力。以下是本人在教学实践中积累的由递推公式求数列通项的常用方法。

一、累加法
形如 an ? an ?1 ? f (n) ,若 f ( n) 易求和,则可用累加法。 例 1:已知 a1 ?

1 1 , an ?1 ? an ? 2 2n

(n ? N * ) ,求 an 。

解:∵ an ?1 ? an ?

1 2n 1


∴ an ? an ?1 ? n ?1

2

an ?1 ? an ? 2 ?
? ? ?

1 2
n?2

a2 ? a1 ?

1 2

累加上式得: an ?1 ? a1 ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 22 2n ?1 2n

1 1 ? (1 ? ) 1 2 2n ? 3 ? 1 ∴ an ?1 ? ? 1 2 2 2n 1? 2
故 an ?

3 1 ? (注:从①式开始累加亦可) 2 2n

二、累积法

a 形如 n ?1 ? f ( n) ,若 f (n) f (n ? 1)?? f (1) 易求,则可使用累积法。 an 2an ?1 1 2 ? (1 ? ) an n ?1

例 2:已知 a1 ? 1 ,

(n ? N * ) ,求通项 an 。

数列的通项公式 第 1 页

数学必修五


解:由已知







2an ?1 (n ? 2) 2 ? an (n ? 1) 2
2

a 1 (n ? 2) 即 n ?1 ? ? an 2


(n ? 1) 2



an 1 (n ? 1) 2 ? ? an ?1 2 n2

an a a a 1 (n ? 1) 2 1 n2 1 (n ? 1) 2 1 32 ? n ?1 ? n ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? an ?1 an ? 2 an ? 3 a1 2 2 (n ? 1) 2 2 (n ? 2) 2 2 22 n2
约分得:

an 1 (n ? 1) 2 ? ( ) n ?1 ? a1 2 22
三、构造法

∴ an ?

(n ? 1)2 2n ?1

构造法是将非特殊数列通过递推式的结构特点,转化为特殊数列,常见有以下类型: 类型 1:形如 an?1 ? pan ? q ,可转化为 ?an ?

? ?

q ? ? 是等比数列。 p ? 1?

例 3:已知 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 2 (n ? N * ) ,求通项 an 。 解:令 an?1 ? c ? 3(an ? c) 则 2c ? ?2

c ? ?1

∴ an?1 ? 1 ? 3(an?1 ) 故 ?an ? 1?是首项为 1,公比为 3 的等比数列
n ?1 则 an ? 1 ? 3 n ?1 ?1 n ? N* ∴ an ? 3 n 类型 2:形如 an ?1 ? pa n ? q (n ? N * ) ,可通过同除 q n ?1 ,将它转化为类型 1。

1 1 an ? ( ) n ?1 (n ? N * ) ,求通项 an 。 3 2 1 1 n ?1 解: a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ( ) 3 2
例 4:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 两边同乘以 2n ?1 ,则

数列的通项公式 第 2 页

数学必修五


2 n ?1 an ?1 ? 2 n ? 2 an ? 1 3 2 2 n ?1 an ?1 ? 3 ? (2 n an ? 3) 3







n 故 2 an ? 3 是以 1 为首项,公比为

?

?

2 的等比数列 3

∴ 2 an ? 3 ? ( ) 故 an ?

n

2 n ?1 3

1 2?3
n ?1

?

3 2
n

n ? N*

类型 3:形如 an? 2 ? pan?1 ? qan , (n ? N *,n ? 2) ,可将 ?an?1 ? ?an ? 构造为等 比数列。 令: an? 2 ? ?an?1 ? ? (an?1 ? ?an ) ,再用待定系数法

?? ? ? ? p 求解出 ?、 ? 。 ? ??? ? q
此时 ?an?1 ? ?an ? 是公比为 ? 的等比数列 例 5:已知 a1 ? 1 , a2 ? 1 , an? 2 ? an?1 ? 2an ,求 an 。 解:令 an? 2 ? ?an?1 ? ? (an?1 ? ?an ) 则?

?? ? ? ? 1 ??? ? 2 ?? ? 2 ?? ? ?2 或② ? (任取一组均可) ?? ? 1 ?? ? ?1

解得① ?

取 ? ? 1 , ? ? 2 则:

an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an )
∴ ?an?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列
n ?1 ? 2n 则 an ?1 ? an ? 2 ? 2

此时转化为了类型 2,将上式两边同除以 2n ?1 得:

an ?1 2

n ?1

1 a 1 ?? ? n ? n 2 2 2
数列的通项公式 第 3 页

数学必修五


an ?1 2
n ?1







1 1 a 1 ? ? ? ?( n ? ) n 3 2 2 3

1 1 1? ?a ∴ ? n ? ? 是首项为 ,公比为- 等比数列 n 3 6 2 ?2 ?

1 n ?1 a 1 1 ∴ n ? = ? (? )

2n

3 6

2

1 n?1 1 ? n 1 2n ?1 故 an ? ? ( ? ) ? ? 2 ? ? ? ? 2 3? 3 3 ?6 ?
类型 4:形如 an?1 ? pan ? qn ? d ,也可使用构造法 例 6:已知 a1 ? 4 , an?1 ? 2(an ? n ? 1) , n ? N * ,求通知 an 。 解:∵ an ?1 ? 2an ? 2n ? 2 ∴ an?1 ? 2n ? 2 ? 2an ? 4n

an?1 ? 2(n ? 1) ? 2(an ? 2n)
∴ ?an ? 2n? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。
n 故: an ? 2n ? 2
n ∴ an ? 2 ? 2n

四、迭代法
迭代法是解决递推公式求通项的通性通法, 但要求善于挖掘运算规律, 善于分析关系 式的结构特点,累加法、累积法等许多方法都可由迭代法代替解决问题。 例 7(08 全国卷 2)
n n 设 ?an ?前 n 项和 Sn ,已知 a1 ? a , an ?1 ? S n ? 3 , bn ? S n ? 3 ,求 ?bn ?通项公

式。
n 解:由 an ?1 ? S n ? 3 n ∴ S n ?1 ? S n ? S n ? 3 n 故 S n ?1 ? 2 S n ? 3

数列的通项公式 第 4 页

数学必修五









? 2(2S n ?1 ? 3n ?1) ? 3n ? 22 S n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 3n
? 22 (2 S n ? 2 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 3n ?1 ? 3n ? 23 S n ? 2 ? 22 ? 3n ? 2 ? 2 ? 3n ?1 ? 3n
………………

? 2n S1 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ? 2 ? 32 ? ?? ? 22 ? 3n ? 2 ? 2 ? 3n ?1 ? 3n

3 ? ? 3 ? 2n ?1 ?1 ? ( )n ? 2 ? ? ? 2n a ? 3 1? 2

? (a ? 3)2n ? 3n?1
n ?1 ? 3n ,故 bn ? ( a ? 3) 2 n ?1 ∴ S n ? ( a ? 3) 2

五、转化法
类型 1:对数转换法转化 形如: an ?1 ? an ,当各项为正时,可两边取常用对数,将 ?lg an ?构造为等比数列。
q

例 8:已知 a1 ? 10 , an ?1 ? an , n ? N * ,求通项 an 。 解:∵ an ?1 ? an ∴各项为正 两边取以 10 为底对数得
2

2

lg an?1 ? 2 lg an
∴ ?lg an ?是首项为 1,公比为 2 的等比数列
n ?1 则 lg an ? 2 2 故 an ? 10
n ?1

类型 2:形如 pan?1an ? q an ? qan ?1 ,可转化为 ?

?1? ? 的等差数列。 ? an ?

数列的通项公式 第 5 页

数学必修五


例 9:已知 a1 ? 2 , an ?







2an ?1 , n ? 2,n ? N * ,求通项 an 。 an ?1 ? 2

解:已知 anan?1 ? 2an?1 ? 2an , n ? 2,n ? N * 两边同除以 an an ?1 得

1?

2 2 ? an an ?1



1 1 1 ? ? an an ?1 2

∴?

?1? 1 1 ? 是以 为首项, 为公差的等差数列。 2 2 ? an ?

1 1 ? n an 2
故 an ?

2 , n ? N* n

数列的递推公式形式多样,方法多样,无法一一列举,解题时易先观察结构特点,再结 合已有方法,选择适当方法解决。

数列的通项公式 第 6 页


推荐相关:

求数列通项公式的方法总结(强烈推荐).doc

求数列{an}通项公式的方法 1. a n ? 1 = a n + f ( n


数列通项公式的求法(最全)_图文.ppt

数列通项公式求法(最全) - 通项公式的求法 一、普通数列: 类型一 观察法:已知前几项,写通项公式 例.试写出下列数列的通项公式?an ? 方法规律总结: n...


数列通项公式、前n项和求法总结(全).doc

数列通项公式、前n项和求法总结(全) - 一.数列通项公式求法总结: 1.定义法


数列通项公式的求法归纳.doc

数列通项公式求法归纳 - 数列通项公式求法归纳 一、观察法(不完全归纳法)


求数列通项公式方法经典总结.doc

数列通项公式方法经典总结 - 求数列通项公式方法 (1) .公式法(定义法)


数列通项公式求法(理)(方法总结全面).doc

数列通项公式求法(理)(方法总结全面) - 求数列通项公式及前 n 项和的方法


数列通项公式An求法小结.doc

数列通项公式An求法小结 - 数列的通项公式的求法训练题 一、选择题 1、等差数


数列通项公式的求法 高中数学方法总结.doc

数列通项公式求法 高中数学方法总结 - 数列通项公式求法 01 一、构造构造


数列通项公式的求法总结_图文.ppt

数列通项公式求法总结 - 数列通项公式的求法 数学组 陈秀玲 题型一 累加法


求数列通项公式方法经典总结.doc

数列通项公式方法经典总结_数学_高中教育_教育专区。数列通项公式方法总结一.观察法 二.公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例:1 已知等差...


求数列通项公式方法经典总结.doc

数列通项公式方法经典总结 - 求数列通项公式方法 (1) .公式法(定义法)


数列通项专题求法总结.pdf

数列通项专题求法总结 - 激活思维系列之递推数列求通项专题 类型 1 a n ?1 ? a n ? f ( n ) 解法:把原递推公式转化为 a n?1 ? a n ? f (n...


高考数学-数列通项公式求解方法总结.doc

高考数学-数列通项公式求解方法总结 - 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an...


数列通项公式求法10种总结.doc

数列通项公式求法10种总结_数学_高中教育_教育专区。数列通项公式求法众多,本材料将对通项公式的求法,进行全方位的总结归纳 数列通项公式的求法 10 种 求数列...


高考数学-数列通项公式求解方法总结.doc

高考数学-数列通项公式求解方法总结 - 交流试题 会员交流资料 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , ...


数列通项公式经典求法总结.doc

数列通项公式经典求法总结 - 数列通项公式的常见求法 一.公式法 1、等差数列公式 例 1、 (2011 辽宁理)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求...


数列通项公式的几种求法归纳.doc

数列通项公式的几种求法归纳 - 数列通项公式的几种求法 一、常规数列的通项 例


数列通项公式求法归纳.doc

数列通项公式求法归纳数列通项公式求法归纳隐藏>> 递推式求数列通项公


求数列通项公式方法经典总结.doc

数列通项公式方法经典总结 - 求数列通项公式方法 (1) .公式法(定义法)


求数列通项公式方法经典总结.doc

数列通项公式方法经典总结 - (1) .公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项 已知数列{ EMBED Equation.3 | {an } 满足,求数列的通项公式; ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com