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2012-2013概率论考卷及答案(试卷纸)C

福建师范大学协和学院 2012-2013 学年第一学期 2011 级 概率论 试卷(C 卷)
试卷类别:开卷 考试时间:120 分钟 一、 单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1 设 A=“抛掷 3 枚骰子的点数” ,随机事件 A 的样本空间中基本事件个数 A 218 B 217 C 216 D 219 2 P ? A? ? 0.5, P(B) ? 0.3,其中 A 和 B 相互独立。则 P( A ? B) ? A 0.65 B 0.24 C 0.76 D 0.79 3 与 A ? B ? A ? C 等价的是 A ( A ? B) ? C B A? B ?C C A? B ?C D A ? (B ? C)

4 下列函数中是某随机变量的分布函数的是
1 , ?? ? x ? ?? A F1 ( x) ? 1 ? x2

x?0 ? 0, ? B F2 ( x) ? ? x , x?0 ? ?1 ? x
D F4 ( x) ? e? x , ?? ? x ? ??

C F3 ( x) ?

3 1 ? arctan x, ?? ? x ? ?? 4 2?

5 设 X 服从某一分布,则该分布必然是 A N ( ? , ? 2 ) B U ( a, b) C ? (? ) D B(n, p)
2

6 设随机变量 X ~ N (?, ? ), A
1 1 1 1 B C D 5 7 8 9

其概率密度为

a ?(x f ( x) ? e 2?

2

? 4 x ?b ) 162

,则 a 的取值

7 设随机变量 X ~ N(2,32) ,则 X 的概率密度 f(x)=( A.



1 2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

B.

1 2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

( x ? 2) ? 1 C. e 18 3 4?

2

( x ? 2) ? 1 D. e 18 3 2?

2

8 设 F(x)和 f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有(
福建师范大学协和学院试卷纸 共 页,第 页



A.f(x)单调不减 C.F(+∞)=0

B.

?

??

0

f ( x)dx ? 1
x

D. F ( x) ? ? f ( x)dx
??

9 设随机变量 X 在[-3,2]上服从均匀分布,则随机变量 X 的概率密度 f(x)为(
?1 ? 3 , ? 1 ? x ? 2; A. f ( x) ? ? ? ? ? 其他. ? 0,



B.

?3, ? 1 ? x ? 2; ? f ( x) ? ? ?0, 其他. ?

?1 ? , ?1 ? x ? 2; C. f ( x ) ? ? 5 ? 其他. ? 0,
1? 10 设随机变量 X~B ? ? 3, ? ,则 P{X ? 1} ? ( ? 3?

?1 ? , ?3 ? x ? 2; D. f ( x) ? ? 5 ? 其他. ? 0,


20 19 26 C. D. 27 27 27 二、多项选择题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 1 常见随机变量概率分布包含

A.

1 27

B.

A N ( ? , ? 2 ) B U ( a, b)

C ? (? ) D B(n, p)

E ? 0 ?1?

2 随机事件的样本空间中包含 A 不可能事件 B 必然事件 C 随机事件 D 互斥事件 E 基本事件 3 数学期望的性质一定条件才成立的是 A E( X ? Y ) ? E( X ) ? E(Y ) B E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) C E (C ) ? C D E (CX ) ? CE ( X )

4 方差性质中一定条件下成立的是 A D(C ) ? 0 B D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) C D( XY ) ? D( X ) D(Y )

D X 与 Y 独立, D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 5 相关系数与随机变量间的( )无关 A 相关程度 B 线性关系 C 非线性关系 D 协方差 E 方差 三、计算题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 设 A、B、C 是Ω 中的随机事件,用 A、B、C 表示下面的事件
A, B, C 中至多有一个发生

2 已知一批产品中 90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05,一个次品
被误认为是合格品的概率为 0.02,求一个产品经检查后被认为是合格品的概率
福建师范大学协和学院试卷纸 共 页,第 页

3 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2, 计算随机变量 3X-2Y 的方 差 4 设随机变量 X~N(2,4) ,求 P{X≤2} 四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 1 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度 0x? ? xy, 0 ? y ? 1 , ? f ( x ,y ) ?? 其他 ?0, 证明 X,Y 不独立 2 已知随机变量 X ~N(0,1) 。证明:

1

?
1

??

??

e

?

x2 2

dx ? 2?

五、应用题(本大题共 1 小题,每小题 10 分,共 10 分) 1 (X,Y)的联合概率分布如下表所示: X -2 Y 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1 2

证明 X,Y 之间不线性相关。

福建师范大学协和学院试卷纸



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答案:福建师范大学协和学院 2012-2013 学年第一学期 2011 级 概率论 试卷(C 卷)标准答案及评分标准

一.单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) CADBC DDDDB 二.多项选择题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) ABCDE ABC B BC CE 三.计算题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 解: AB ? AC ? BC 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC 2 解: P( A) ? P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1? 0.02 ? 0.857. 3 解: D(3X ? 2Y ) ? 32 D( X ) ? (?2)2 D(Y ) ? 9 ? 4 ? 4 ? 2 ? 44
? X ? 2 2 ? 2? 4 解: P ? X ? 2? ? P ? ? ? ? P ?Z ? 0? ? ?(0) ? 0.5 2 ? ? 2

四.证明题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 1 证明:
x (0? x ?1) ? ?0 xydy ? 1 f X ( x) ? ? 0(其他) 2 ?
1

y (0? y ?1) ? ?0 xydx ? 1 2 fY ( y ) ? ? 0( 其他 ) ?
1

因为 f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ,所以 X 与 Y 相互不独立。 2 证明:因为

F (??) ? ?
所以 ? e
?? ??

??

??

1 ? x2 e dx ? 1 2?

2

?

x2 2

dx ? 2?

五. 应用题(本大题共 1 小题,每小题 10 分,共 10 分)
福建师范大学协和学院试卷纸 共 页,第 页

解:边缘概率分布如下:
X P -2 -1 1 2

1 4

1 4

1 4

1 4

Y 1 P 1/2 可得
E X ? 0 , E Y?

4 1/2
5 , E X? Y, 0 2

则 ? XY ? 0 ,所以 X 与 Y 不线性相关

福建师范大学协和学院试卷纸



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