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2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:1.3 组合-含解析

第 1 课时 组合与组合数公式 从 1,3,5,7 中任取两个数相除或相乘. 问题 1:所得商和积的个数相同吗? 提示:不相同. 问题 2:它们是排列吗? 提示:从 1,3,5,7 中任取两个数相除是排列,而相乘不是排列. 问题 3:一个小组有 7 名学生,现抽调 5 人参加劳动.所抽出的这 5 人与顺序有关吗? 提示:无关. 问题 4:你能举个这样的示例吗? 提示:从班里选 7 名同学组成班委会. 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个元素中取出 m 个不同元素的一个组合. 从 1,3,5,7 中任取两个数相除. 问题 1:可以得到多少个不同的商? 提示:A2 4=4×3=12 种. 问题 2:如何用分步法理解“任取两个数相除”? 2 提示:第一步,从这四个数中任取两个元素,其组合数为 C4 ,第二步,将每一组合中 的两个不同元素作全排列,有 A2 2种排法. 问题 3:你能得出 C2 4的结果吗? 2 2 2 提示:因为 A2 4=C4A2,所以 C4= A2 4 =6. A2 2 问题 4:试用列举法求得从 1,3,5,7 中任取两个元素的组合数? 提示:1,3;1,5;1,7;3,5;3,7;5,7 共 6 种. 组合数与组合数公式 组合数 定义 表示法 乘积 形式 组合数 阶乘 公式 形式 性质 备注 m Cn =Cn n m Cn = 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数 用符号 Cm n 表示 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) m Cn = m! n! m!(n-m)! -1 -m m m m ;Cn +1=Cn +Cn ①n,m∈N*且 m≤n.②规定 C0 n=1 1.组合的特点是只取不排 组合要求 n 个元素是不同的,被取出的 m 个元素也是不同的,即从 n 个不同的元素中 进行 m 次不放回地取出. 2.组合的特性 元素的无序性,即取出的 m 个元素不讲究顺序,没有位置的要求. 3.相同的组合 根据组合的定义,只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何),就是相同的组合. [例 1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了 一次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组有 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不 同的选法?②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? [精解详析] (1)①是排列问题,共通了 A2 11=110 封信; ②是组合问题,共握手 C2 11=55 次. (2)①是排列问题,共有 A2 10=90 种选法; ②是组合问题,共有 C2 10=45 种选法. [ 一点通 ] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一 起.而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两 个元素的位置,看是否会产生新的变化.若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新 变化,即说明无顺序,是组合问题. 1.下列问题: ①铁路线有 5 个车站,要准备多少车票? ②铁路线有 5 个车站,有多少种票价? ③有 4 个篮球队进行单循环比赛,有多少种冠亚军的情况? ④从 a,b,c,d 4 名学生中选出 2 名学生,有多少种不同选法? ⑤从 a,b,c,d 4 名学生中选出 2 名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法? 其中是组合问题的是________.(将正确的序号填在横线上) 解析:来往的车票是不同的,因为它具有方向性,即有序;而来往的票价是相同的,没 有方向性; 单循环是无序的, 但冠亚军却有明显的顺序; 从 4 名学生中选出 2 名学生无顺序; 而 2 名学生完成两件不同的工作是有序的. 答案:②④ 2.求出问题 1 中组合问题的组合数. 解:②铁路线有 5 个车站,有 C2 5=10 种不同的票价. ④从 a,b,c,d 4 名学生中选出 2 名学生,有 C2 4=6 种不同的选法. 4 3 [例 2] (1)计算:C10 -C3 7·A3; x 7 2 (2)解方程 3Cx -3=5Ax-4. - [思路点拨] (1)直接利用公式计算; (2)由计算公式化为关于 x 的方程. 3 [精解详析] (1)原式=C4 10-A7 = 10×9×8×7 -7×6×5=210-210=0. 4×3×2×1 (2)由排列数和组合数公式,原方程可化为 3· 则 (x-3)! (x-4)! =5· , (x-7)!4! (x-6)! 3(x-3) 5 = ,即为(x-3)(x-6) =40. 4! x-6 所以,x2-9x-22=0,解之可得 x=11 或 x=-2. 经检验知 x=11 是原方程的根,x=-2 是原方程的增根. 所以,方程的根为 x=11. [一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体 的组合数时会用到. 组合数公式阶乘形式的主要作用有: (1)计算 m,n 较大时的组合数; (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. n m n-m 特别地,当 m> 时计算 Cm 转化,减少计算量. n ,用性质 Cn =Cn 2 3 3.计算 C3 6+C8=________. 3 解析:C3 6+C8= 6×5×4 8×7×6 + =20+56=76. 3×2×1 3×2×1 答案:76 4.计算下列各式的值. 199 3 4 5 6 (1)C98 100+C200;(2)C7+C7+C8+C9. 199 2 1 解:(1)C98 100+C200=C100+C200 = 100×99 +200=5 150. 2×1 5 6 5 6 6 4 (2)原式=C4 8+C8+C9=C9+C9=C

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