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2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习:专题8 立体几何与空间向量 第53练含解析

训练目标 训练题型 解题策略 【1】会求线面角、二面角; 【2】会解决简单的距离问题. 【1】求直线与平面所成的角; 【2】求二面角; 【3】求距离. 利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值, 尽量利用特殊三角形求解. 1.如图所示,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,点 A1 在底面 ABC 上的投影 D 为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为________. 9 2.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为4,底面是边长为 3的正三角形.若 P 为 △A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为________. 3.如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC =120° ,SA=3a,且 SA⊥平面 ABC,则点 A 到平面 SBC 的距离为________. 4.如图,在等腰直角三角形 ABD 中,∠BAD=90° ,且等腰直角三角形 ABD 与等 边三角形 BCD 所在平面垂直, E 为 BC 的中点, 则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为 ________. 5.如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,△SBC,△ABC 都是等边三角形,且 BC=1, 3 SA= 2 ,则二面角 S-BC-A 的大小为______________. 6.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,给 出以下命题: ①异面直线 C1P 与 B1C 所成的角为定值; ②二面角 P-BC1-D 的大小为定值; ③三棱锥 D-BPC1 的体积为定值; ④异面直线 A1P 与 BC1 间的距离为定值. 其中真命题的个数为________. 7. 【2016· 山东模拟】如图所示,底面 ABC 为正三角形,EA⊥平面 ABC,DC⊥平 面 ABC,EA=AB=2DC=2a,设 F 为 EB 的中点. 【1】求证:DF∥平面 ABC; 【2】求直线 AD 与平面 AEB 所成角的正弦值. 8. 【2016· 辽宁沈阳二中月考】 2 如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,点 O 在 AB 上,且 OB=OC=3AB,PO⊥平面 1 ABC,DA∥PO,DA=AO=2PO. 【1】求证:PB∥平面 COD; 【2】求二面角 O-CD-A 的余弦值. 9. 【2016· 南通模拟】如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 1 ABCD,AB=1,AD=AS=2,P 是棱 SD 上一点,且 SP=2PD. 【1】求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; 【2】求二面角 A-PC-D 的余弦值. 第 53 练 3 1.4 π 2.3 空间角与距离 解析 因为 AA1⊥底面 A1B1C1, 所以∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成的角.因为平面 ABC∥平面 A1B1C1,所以∠APA1 为 PA 与 9 平面 ABC 所成角.因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为4,底 9 面三角形的边长为 3, 所以 S△ABC· AA1= , 可得 AA1= 3.又易 4 AA1 π 知 A1P=1,所以 tan∠APA1=A P= 3,又直线与平面所成的角属于 0,2】 ,所以∠ 1 π APA1=3. 3a 3. 2 解析 作 AD⊥CB 交 CB 的延长线于点 D,连结 SD,如图所示. ∵SA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴SA⊥BC.又 BC⊥AD,SA∩AD=A,SA?平面 SAD,AD?平面 SAD,∴BC⊥平 面 SAD,又 BC?平面 SBC,∴平面 SBC⊥平面 SAD,且平面 SBC∩平面 SAD=SD. 在平面 SAD 内,过点 A 作 AH⊥SD 于点 H,则 AH⊥平面 SBC,AH 的长即为点 A AH AD 到平面 SBC 的距离.在 Rt△SAD 中,SA=3a,AD=AB· sin60° = 3a.由 SA = SD , SA· AD SA· AD 3a 得 AH= SD = 2 2= 2 , SA +AD 3a 即点 A 到平面 SBC 的距离为 2 . 4.45° 解析 取 BD 的中点 F,连结 EF,AF【图略】 ,易得 AF⊥BD,AF⊥平面 BCD,则 1 1 ∠AEF 就是 AE 与平面 BCD 所成的角, 由题意知 EF= CD= BD=AF, 所以∠AEF 2 2 =45° ,即 AE 与平面 BCD 所成的角为 45° . 5.60° 6.4 解析 对于①,因为在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动, 在正方体中有 B1C⊥平面 ABC1D1, 而 C1P?平面 ABC1D1, 所以 B1C⊥C1P, 所以这两个异面直线所成的角为定值 90° ,故①正确; 对于②,因为二面角 P-BC1-D 为平面 ABC1D1 与平面 BDC1 所成的二面角, 而这两个平面为固定不变的平面, 所以夹角也为定值,故②正确; 对于③,三棱锥 D-BPC1 的体积还等于三棱锥 P-DBC1 的体积, 而△DBC1 面积一定, 又因为 P∈AD1, 而 AD1∥平面 BDC1, 所以点 A 到平面 BDC1 的距离即为点 P 到该平面的距离, 所以三棱锥的体积为定值,故③正确; 对于④,因为直线 A1P 和 BC1 分别位于平面 ADD1A1, 平面 BCC1B1 中,且这两个平面平行, 由异面直线间的距离定义及求法, 知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离, 所以这两个异面直线间的距离为定值,故④正确. 综上可知,真命题的个数为 4. 7. 【1】证明 如图,过点 F 作 FH∥EA 交 AB 于点 H,连结 CH. ∵EA⊥平面 ABC,DC⊥平面 ABC, ∴

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