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全国高中物理竞赛 历年赛题分析电学+力学


力 24 届 二、 (25 分) 图中所示为用三角形刚性细杆 AB、 BC、 CD 连成的平面连杆结构图。 AB 和 CD 杆可分别绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的 两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连,可绕连接处转动(类似铰链) 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角 速度 ? 转到图中所示的位置时, AB 杆处于竖直位置。 BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45°角, 已知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长度由图给定。求此时 C 点加速度 a c 的大小和方向 (用与 CD 杆之间的夹角表示)

27 复

28 复 二、 (20 分)质量均匀分布的刚性杆 AB、CD 如图放置,A 点与水平地面接触,与地面间的 静摩擦系数为μ A,B、D 两点与光滑竖直墙面接触, 杆 AB 和 CD 接触处的静摩擦系数为μ C, 两杆的质量均 为 m,长度均为 l。 1、已知系统平衡时 AB 杆与墙面夹角为θ ,求 CD 杆 与墙面夹角α 应该满足的条件(用α 及已知量满足的 方程式表示) 。 2、若μ A=1.00,μ C=0.866,θ =60.0°。求系统平衡时 α 的取值范围(用数值计算求出) 。

26 复 二、 (20 分)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完 全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑于桌角 A、B、C、D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后 将产生弹性微小形变。现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 C 2 3 B O F P D 4 A

OP OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 ? c ,求桌面 OA
对桌腿 1 的压力 F1。

1

25 复 三、 (22 分)足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射在横梁上的位置有别,其落地点 也是不同的。 已知球门的横梁为圆柱形, 设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到 横梁上,球与横梁间的滑动摩擦系数 ? ? 0.70 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问 足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内 (含球门上) ?足球射在横梁上的位置 用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角 ? (小于

90? )来表示。不计空气及重力的影响。

27 复

24 届 一、 (20 分)如图所示,一块长为 L ? 1.00m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹

簧的下端与地面固定连接。 平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间 (图中未画出竖直导 轨) ,从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T ? 2.00s 。一小 球 B 放在光滑的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h ? 9.80m 。平板静止在其平衡位置。水球 B 与平板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右 的速度 ? 0 ,使它从水平台面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰 撞过程中重力可以忽略不计。 要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞,? 0 的 值应在什么范围内?取 g ? 9.8m / s
2

26 届 三、 (15 分) 1. 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系, 置于光滑水平桌面上, 弹簧的另一端与固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。

。 25 复 1、 (5 分)蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球 体,脉冲周期是它的旋转周期,万有引力是唯一能阻止它离心分解的力,已知万有引力常量

G ? 6.67 ?10?11 m3 ? kg ?1 ? s ?2 ,由于脉冲星表面的物质未分离,故可估算出此脉冲星密度的
下限是

kg ? m ?3 。

28 复 一、(20 分)如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动, 其周期 T 为

76.1 年,1986 年它过近日点 P0 时与太阳 S 的距离 r0=0.590AU,AU 是天文单位,它等于 地球与太阳的平均距离,经过一段时间,彗星到达轨道上的 P 点,SP 与 SP0 的夹角θ - 已知: 1AU=1.50×1011m, 引力常量 G=6.67×10 11Nm2/kg2, 太阳质量 mS=1.99 P=72.0°。 30 ×10 kg,试求 P 到太阳 S 的距离 rP 及彗星过 P 点时速度的大小及方向(用速度方向与 SP0 的夹角表示) 。 26 复 2.若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月 球都看作是质量均匀分布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距离为 R,万 有引力恒量为 G。学生甲以地心为参考系,利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相

M ;学生乙以月心为参考系,同样利用牛顿第二定律 R2 m 和万有引力定律,得到地球相对于月心参考系的加速度为 a e ? G 2 。这二位学生求出的 R
对于地心参考系的加速度为 a m ? G 地-月间的相对加速度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以地心参考系(以地心速度作 平动的参考系)和月心参考系(以月心速度作平动的参考系)求出正确结果。

26 届 2.海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆,近日点到太阳中心的距离为 0.914 天文单 位(1 天文单位等于地日间的平均距离) ,则其近日点速率的上限与地球公转(轨道可视为 圆周)速率之比约为(保留 2 位有效数字) 。

28 复 三、 (25 分)在人造卫星绕星球运行的过程中,为了保持其对称转轴稳定在规定指向,一种 最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转, 但有时为了改变卫星的指 向,又要求减慢或者消除卫星的旋转,减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法, 其原理如图所示。 一半径为 R,质量为 M 的薄壁圆筒, ,其横截面如图所示,图中 O 是圆筒的对称轴,两 条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端 分别固定在圆筒表面上的 Q、 Q′ (位于圆筒直径两端) 处, 另一端各拴有一个质量为

m 的小球, 正常情况下, 2

绳绕在圆筒外表面上,两小球用插销分别锁定在圆筒 表面上的 P0、P0′处,与卫星形成一体,绕卫星的对 称轴旋转,卫星自转的角速度为ω 0。若要使卫星减慢 或者停止旋转(消旋) ,可瞬间撤去插销释放小球,让

小球从圆筒表面甩开, 在甩开的整个过程中, 从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉 直的。当卫星转速逐渐减小到零时,立即使绳与卫星脱离,解除小球与卫星的联系,于是卫 星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在 Q、Q′处。 1、 求当卫星角速度减至ω 时绳拉直部分的长度 l; 2、 求绳的总长度 L; 3、 求卫星从ω 0 到停转所经历的时间 t。 25 复 二、 (21 分)嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点 离地面高 H n ? 2.05 ?102 km ,远地点离地面高 H f ? 5.0930 ?10 km ,周期约为 16 小时,
4

称为 16 小时轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在 远地点点火,使卫星进入新轨道(如图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在 抬高以后的近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时 轨道和地月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示) 。已知卫星质量 m ? 2.350 ?10 kg ,
3

地球半径 R ? 6.378 ?103 km ,地面重力加速度 g ? 9.81m / s ,月球半径
2

r ? 1.738 ?103 km 。
1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点 火时间很短,可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N,要把近地点抬高到 600km,问点火时间应持续多长? 3、 试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行 周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据此估算月球质量与地 球质量之比值。 25 届 五、 (20 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子 在电子束中均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为

?e(e ? 0) ,质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其
前端(即图中的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个 小孔,使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间加上了如图所示的周期性变 化的电压 VAB ( VAB ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值分 别为 V0 和-V0,周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处于 最小值的时间间隔为 T- ? 。已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达 电容器右边的所有的电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板
2 间的距离很小,电子穿过电容器所需要的时间可以忽略,且 mv ? 6eV0 ,不计电子之间的

相互作用及重力作用。

1、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? = T,tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形 成的电流 I,随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐 标的数字保留到小数点后第二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置, 横坐标的单位 s ?

eV0 。 (本题按画出的图评分, 不须给出计算过程) m

27 复

26 届 5.如图,给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度,使之开始运动。一学生利用角动 量定理来考察此木块以后的运动过程: “把参考点设于如图所示的地面上一点 O,此时摩擦 力 f 的力矩为 0,从而地面木块的角动量将守恒,这样木块将不减速而作匀速运动。 ”请指 出上述推理的错误,并给出正确的解释: O 。 f v

27 复

电 27 复

26 届 3.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触电,原因是 ; 另一方面, 即使穿绝缘性能良好的电 工鞋操作,测电笔仍会发亮,原因是 。

26 届 4.在图示的复杂网络中,所有 电源的电动势均为 E0,所有电阻器 的电阻值均为 R0,所有电容器的电 容均为 C0,则图示电容器 A 极板上 的电荷量为 。 A 28 复 五、 (15 分)半导体 pn 结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射 pn 结时,pn 结两端会产生电势差,这就是光生伏打效应。当 pn 结两端接有负载时, 光照使 pn 结内部产生由负极指 向正极的电流即光电流,照射光的强度恒定时,光 电流是恒定的,已知该光电流为 IL;同时,pn 结又 是一个二极管,当有电流流过负载时,负载两端的 电压 V 使二极管正向导通,其电流为

I D ? I 0 (e

V Vr

? 1) ,式中 Vr 和 I0 在一定条件下均为

已知常数。 1、在照射光的强度不变时,通过负载的电流 I 与负 载 两 端 的 电 压 V 的 关 系 是 I=__________________ 。 太 阳 能 电 池 的 短 路 电 流

IS=_______________ , 开 路 电 压 VOC=___________________ , 负 载 获 得 的 功 率 P=______________。 - 2、已知一硅 pn 结太阳能电池的 IL=95mA,I0=4.1×10 9mA,Vr=0.026V。则此太阳能电池的 开路电压 VOC=___________________V,若太阳能电池输出功率最大时,负载两端的电压可 近似表示为 VmP ? Vr ln

1 ? (I L / I 0 ) ,则 VmP=______________V。太阳能电池输出的最大 1 ? (VOC / Vr )

功 率 Pmax=_______________mW 。 若 负 载 为 欧 姆 电 阻 , 则 输 出 最 大 功 率 时 , 负 载 电 阻 R=_____________Ω 。

27 复

26 届 1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里, 电场强度的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否 可能存在?试述理由。

25 届 3、 (5 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真 空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱 的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。 圆中两个同心的实线圆代表圆环的 边界,与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁 场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 B ? B0 cos(2? t / T ) ,其中 T 为磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图) , 则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

28 复 四、 (20 分)空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系 O-xyz,如图 所示,匀强电场沿 x 方向,电场强度 E 1 ? E 0 i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应强度 B ? B0 k ,

k 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。 E0、B0 分别为已知常量, i、
1、有一束带电量都为+q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面内的某点射出,它们的初速度均在 Oyz 平面内, 速度的大小和方向各不相同,问经过多少时间这些粒子 又能同时回到 Oyz 平面内。 2、 现在该区域内再增加一个沿 x 方向随时间变化的匀强 电场,电场强度 E z ? ( E 0 cos?t ) k ,式中 ? ?

qB0 , m

若有一电荷量为正 q、质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从 坐标原点 O 射出,初速度 v0 在 Oyz 平面内,试求以后此 粒子的坐标随时间变化的规律。 不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作 用,也不考虑变化的电场产生的磁场。 25 复 六、 (22 分)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的 限制。为克服这一困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度 T=4.2K)中处于超 导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度 TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀, 初始时通有 I=100A 的电流,电流检测仪器的精度为 ?I ? 1.0mA ,在持续一年的时间内电流 检测仪器没有测量到电流的变化。 根据这个实验, 试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认 定 的 上 限 为 多 大 。 设 铅 中 参 与 导 电 的 电 子 数 密 度 n ? 8.00 ?1020 m3 , 已 知 电 子 质 量

m ? 9.11?10?31 kg ,基本电荷 e ? 1.60 ?10?19 C 。 (采用的估算方法必须利用本题所给出的
有关数据) 24 届 五、 (25 分)地球赤道表面附近处的重力加速度为 g 0 ? 9.8m / s ,磁场的磁感应强度
2

3 的大小 B0 ? 3.0 ? 10 T ,方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 r 成反比(r

?5

为考察点到地心的距离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离

r ? 5 Re ( Re 为地球半径)处,存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层
内磁场可视为匀强磁场) ,每种粒子的数密度非常低,带电粒子的相互作用可以忽略不计。

已 知 电 子 的 质量 me ? 9.1 ? 10

?31

kg , 质 子 的 质 量 m p ? 1.7 ? 10 ?27 kg , 电 子 电 荷 量为

? 1.6 ? 10 ?19 C ,地球的半径 Re ? 6.4 ? 10 6 m 。
1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动, 另一方面因受地球引力和磁 场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度。 2.现设想等离子层中所有电子和质子,它们初速度的方向都指向地心,电子初速度的大 小 u e ? 1.4 ? 10 m / s ,质子初速度的大小 u P ? 3.4 ? 10 m / s 。试通过计算说明这些电子
4

2

和质子都不可能到到达地球表面。

热 28 复 六、 (20 分)图示为圆柱形气缸,气缸壁绝热,气缸的右端有一小孔和大气相通,大气的压 强为 p0。用一热容量可忽略的导热隔板 N 和一绝热活塞 M 将气缸分为 A、B、C 三室,隔板 与气缸固连,活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气,气缸的左端 A 室中有一电加热器 Ω 。已知在 A、B 室中均盛有 1 摩尔同种理想气体,电加热器加热前,系统处于平衡状态, A、 B 两室中气体的温度均为 T0, A、 B、 C 三室的体积均为 V0。现通过电加热 器对 A 室中气体缓慢加热,若提供的 总热量为 Q0,试求 B 室中气体末态体 积和 A 室中气体的末态温度。设 A、B 两室中气体 1 摩尔的内能 U=5/2RT。R 为普适恒量,T 为热力学温度。 24 届 三、 (20 分)如图所示,一容器左侧装有活门 K 1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔 板 M 将容器隔成 a、b 两室,M 上装有活门 K 2 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔 板和活塞可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。 整个容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置, 隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a、b 两室体积都等于 V0; K 1 、 K 2 关闭。此时,b 室真空, a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5, 温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R。

1.现在打开 K 1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K 1 (假定此过程中处在容器内的气体

与处在容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度。 2.接着打开 K 2 ,待 a、b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 。拔掉所有销钉,缓慢推动 活塞 B 直至到过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功。已知在 推动活塞过程中,气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV ? R CV

=恒量。

27 复

25 复 七、 (20 分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向,放置一半径 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的 薄凸透镜,在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘(圆盘中心与透镜焦点重合) ,于是可 以在黑色圆盘上形成太阳的像。 已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。 圆盘的导热性 极好,圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律:在 单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为 W ? ? T 4 ,式中 ? 为斯特藩—玻尔兹曼常 量,T 为辐射体表面的的绝对温度。对太而言,取其温度 ts ? 5.50 ?103? C 。大气对太阳能 的吸收率为 ? ? 0.40 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收,同时圆盘也按斯特藩 —玻尔兹曼定律向外辐射能量。如果不考虑空气的对流,也不考虑杂散光的影响,试问薄圆 盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度?

26 复

四、 (20 分)火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在 燃烧室内源源不断生成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。假设燃气可视为 理想气体,其摩尔质量为 μ,每摩尔燃气的内能为 u=cVT(cV 是常量,T 为燃气的绝对温度) 。 在快速流动过程中, 对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体, 可以认为它与周围 没有热交换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、温度 T 和密度 ρ,它们的数值

随着流动而不断变化,并满足绝热方程

pV

cV ? R cV

? C (恒量) ,式中 R 为普适气体常量,求

喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。

25 复 四、 (20 分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图,M 为指 针压力表,以 VM 表示其中可以容纳气体的容积;B 为测温饱,处在待测温度的环境中,以 VB 表示其体积;E 为贮气容器,以 VE 表示其体积;F 为阀门。M、E、B 由体积可忽略的毛细 血管连接。在 M、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 p0 ? 5.2 ?105 Pa 的氢气。假设氢的 饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题: 1、关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一简易的气体温度计,用 它可测量 25K 以上的温度, 这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在室温中。试导出 B 处的 温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T0 时 B 中氢气的压强 P0 外,理论 上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间的关系? 2、开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温度 计,此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关 系,知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确定 这一温区的温度。在设计温度计时,要保证当 B 处于温度低于 TV ? 25K 时,B 中一定要有 液态氢存在,而当温度高于 TV ? 25K 时,B 中无液态氢。到达到这一目的, VM ? VE 与 VB 间应满足怎样的关系?已知 TV ? 25K 时,液态氢的饱和蒸气压

pV ? 3.3 ?105 Pa 。
3、已知室温下压强 p1 ? 1.04 ?10 Pa 的氢气体积是同质量的液态
5

氢体积的 800 倍,试论证蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。

光 28 复

七、 (20 分)如图所示,L 是一焦距为 2R 的薄凸透镜,MN 为其主光轴。在 L 的右侧与它共 轴地放置两个半径皆为 R 的很薄的球面镜 A 和 B。 每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜 面。A、B 顶点间的距离为

3 ,圆孔 R 。在 B 的顶点 C 处开有一个透光的小圆孔(圆心为 C) 2

的直径为 h。现于凸透镜 L 左方距 L 为 6R 处放一与主轴垂直的高度也为 h(h<<R)的细短杆 PQ(P 点在主轴上) 。PQ 发出的光经 L 后,其中一部分穿过 B 上的小圆孔正好成像在球面镜 A 的顶点 D 处,形成物 PQ 的像 I。则

1、 像 I 与透镜 L 的距离等于___________。 2、 形成像 I 的光线经 A 反射,直接通过小孔后经 L 所成的像 I1 与透镜 L 的距离等于 _____________________。 3、 形成像 I 的光线经 A 反射,再经 B 反射,再经 A 反射,最后通过 L 成像 I2,将 I2 的有关 信息填在下表中:
I2 与 L 的距离 I2 在 L 左方还是右方 I2 的大小 I2 是正立还是倒立 I2 是实像还是虚像

4、 物 PQ 发出的光经 L 后未进入 B 上的小圆孔 C 的那一部分最后通过 L 成像 I3,将 I3 的有 关信息填在下表中:
I3 与 L 的距离 I3 在 L 左方还是右方 I3 的大小 I3 是正立还是倒立 I3 是实像还是虚像

27 复

26 复 五、 (20 分)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆柱轴线匀速旋转(水银不溢, 皿底不露) ,稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐标轴 z 与 圆柱器皿的轴线重合,横坐标轴 r 与 z 轴垂直,则液面的方程为 z ?

?2
2g

r 2 ,式中 ω 为旋转

角速度,g 为重力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜) 。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置不变,然后使容器停转,待液面 静止后,发现与稳定旋转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳 定旋转水银面最低点的距离。 25 届 六、 (25 分)图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图,取纸面为 yz 平面。y、z 轴的方 向如图所示。线光源 S 通过 z 轴,双缝 S1、S2 对称分布在 z 轴两侧,它们以及屏 P 都垂直于 纸面。 双缝间的距离为 d, 光源 S 到双缝的距离为 l, 双缝到屏的距离为 D, d ?? D , d ?? l 。

图1 1.从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1、S2 不同路径到 P0 点的光程差为零,相干的结果产生 一亮纹,称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响,我们 先研究位于轴外的线光源 S′形成的另一套干涉条纹,S′位于垂直于 z 轴的方向上且与 S 平行,两者相距 ? s ,则由线光源 S′出发分别经 S1、S2 产生的零级亮纹 P0 , P0 与 P0 的距

?

?

__________ __________ _____ 离 ? y ? __________
2.当光源宽度为 ? 的扩展光源时,可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非

相干的线光源组成。这样,各线光源对应的干涉条纹将彼此错开,在屏上看到的将是这些干 涉条纹的光强相加的结果,干涉条纹图像将趋于模糊,条纹的清晰度下降。假设扩展光源各 处发出的光强相同、波长皆为 ? 。当 ? 增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨,则此时 光源的宽度 ? ? __________ __________ __________ 3.在天文观测中,可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出 的光到达地球处都可视为平行光, 从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角 ? 就 是星体的角直径。遥远星体的角直径很小,为测量如些微小的角直径,迈克尔逊设计了测量 干涉仪,其装置简化为图 2 所示。M1、M2、M3、M4 是四个平面反射镜,它们两两平行, 对称放置,与入射光(a、 a′)方向成 45°角。S1 和 S2 是一对小孔,它们之间的距离是 d。 M1 和 M2 可以同步对称调节来改变其中心间的距离 h。 双孔屏到观察屏之间的距离是 D。 a、 a′和 b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线 a、 a′垂直 双孔屏和像屏,星光的波长是 ? ,试导出星体上角直径 ? 的计算式。 注: 将星体作圆形扩展光源处理时, 研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会 遇到数学困难,为简化讨论,本题拟将扩展光源作宽度为 ? 的矩形光源处理。

图2

其他 28 复

八、 (20 分)有一核反应其反应式为 1 p ?1 H ? 2 He ? 0 n ,反应中所有粒子的速度均远小于
1 3 3 1

光速,试问: 1、它是吸能反应还是放能反应,反应能 Q 为多少? 2、在该核反应中,若 1 H 静止,入射质子的阈能 Tth 为多少?阈能是使该核反应能够发生的 入射粒子的最小动能(相对实验室参考系) 。 3、已知在该反应中入射质子的动能为 1.21MeV,若所产生中子的出射方向与质子的入射方
3

向成 60.0°角,则该中子的动能 Tn 为多少? 已 知 1 p 、 0 n 、 1 H 核 、 2 He 核 的 静 止 质 量 分 别 为 : mP=1.007276u , mn=1.008665u , m3H=3.015501u,m3He=3.014932u,u 是原子质量单位,1u 对应的能量为 931.5MeV。结果取 三位有效数字。
1
1

3

3

27 复

26 复 六、 (20 分)两惯性系 S′与 S 初始时刻完全重合,前者相对后者沿 z 轴正向以速度 v 高速运动。作为光源的自由质点静止于 S′系中,以恒定功率 P 向四周辐射(各向同性)光 子。在 S 系中观察,辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应) 。 1. 在 S 系中观察, S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以 x 轴为轴线的圆锥内。 求该圆锥的半顶角 α。已知相对论速度变换关系为

ux ?

u? x ?v 2 1 ? u? xv / c

式中 ux 与 ux′分别为 S 与 S′系中测得的速度 x 分量,c 为光速。 2.求 S 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。 七、 (20 分)1.设想光子能量为 E 的单色光垂直入射到质量为 M、以速度 V 沿光入射 方向运动的理想反射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量 E′。可取以下近似:

E V ?? ?? 1 ,其中 c 为光速。 2 c Mc

2.若在上述问题中单色光的强度为 Φ, 试求反射光的强度 Φ′ (可以近似认为光子撞击 镜子后,镜子的速度仍为 V) 。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积 的光子的能量。

25 届 八、 (20 分)质子数与中子数互换的核互为镜像核,例如 3 He 是 H 的镜像核,同样 H 是
3 3

3

已知 3 H 和 3 He 原子的质量分别是 m3H ? 3.016050u 和 m3He ? 3.016029u , He 的镜像核。

中子和质子质量分别是 mn ? 1.008665u 和 m p ? 1.007825u ,1u ? 光速,静电力常量 k ?

931.5 MeV ,式中 c 为 c2

1.44 MeV ? fm ,式中 e 为电子的电荷量。 e2

1、试计算 3 H 和 3 He 的结合能之差为多少 MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系,又知质子和中子的半径近似相等, 试说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN。 3、实验表明,核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体;核子数 A 较大的原子核可以近 似地被看成是半径为 R 的球体。根据这两点,试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式;利 用本题第 2 问所求得的 rN 的估计值求出此关系式中的系数; 用所求得的关系式计算 208 Pb 核 的半径 R pb 。

26 届 八、 (20 分)惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对 称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负 电荷中心不重合) ,从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一 种简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时, 若以 x 表示负电中心相对正电荷 (原子 核)的位移,当 x 为正时,负电中心在正电荷的右侧,当 x 为负时,负电中 心在正电荷的左侧,如图 1 所示。这时,原子核的正电荷对荷外负电荷的 负电荷的质量全部集中在负电中心,此原子可用一弹簧振子来模拟。 今有两个相同的惰性气 体原子,它们的原子核固定, 相距为 R,原子核正电荷的电 荷量为 q,核外负电荷的质量 为 m。因原子间的静电相互作 用,负电中心相对各自原子核 x1 x2 - R 图2 x + 图1 -

作用力 f 相当于一个劲度系数为 k 的弹簧的弹性力,即 f=-kx,力的方向指向原子核,核外







的位移分别为 x1 和 x2,且|x1|和|x2|都远小于 R,如图 2 所示。此时每个原子的负电荷除受 到自己核的正电荷作用外,还受到另一原子的正、负电荷的作用。 众所周知,孤立谐振子的能量 E=mv2/2+kx2/2 是守恒的,式中 v 为质量 m 的振子运动的 速度, x 为振子相对平衡位置的位移。 量子力学证明, 在绝对零度时, 谐振子的能量为 hω/2, 称为零点振动能, ? ? h / 2? ,h 为普朗克常量,? ?

k / m 为振子的固有角频率。试计算

在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量, 与两个相 距足够远的(可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的)惰性气体原子的能量差,并从结 果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。 可利用当|x|<<1 时的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x2/8, (1+x)-1≈1-x+x2。

25 复 2、 (5 分)在国际单位制中,库仑定律写成 F ? k

q1q2 ,式中静电力常量 r2

k ? 8.98 ?109 N ? m2 ? C ?2 ,电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F

q1q2 ,式中距离 r 的单位是米,作用 r2 qq 力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 1 2 2 ,式中距离 r 的单位是米, r
的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 作用力 F 的单位是牛顿,由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新 单位时,电荷新单位= ;新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。

24 届 七、 (20 分)今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一 百周年。王先生早在 1941 年就发表论文,提出了一种探测中微子的方案: Be 原子核可以 俘获原子的 K 层电子而成为 Li 的激发态 ( Li ) ,并放出中微子(当时写作η ) :
7

7

7

7

*

Be ? e ?( 7 Li ) * ? ? ,而 ( 7 Li ) * 又可以放出光子 ? 而回到基态 7 Li : ( 7 Li ) * ?7 Li ? ?

由于中微子本身很难直接观测, 能过对上述过程相关物理量的测量, 就可以确定中微子 的存在,1942 年起,美国物理学家艾伦(R.Davis)等人根据王淦昌方案先后进行了实验, 初步证实了中微子的存在。1953 年美国人莱因斯(F.Reines)在实验中首次发现了中微子, 莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔(M.L.Perl)分享了 1995 年诺贝尔物理学奖。 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。 若实验中测得锂核 ( Li ) 反冲能量 (即
7
7

Li 的动能)的最大值 E R ? 56.6ev , ? 光子的能量 h? ? 0.48 Mev 。已知有关原子核和电
2 2 2

子静止能量的数据为 m Li c ? 6533 .84 Mev ; m Be c ? 6534 .19 Mev ; me c ? 0.51Mev 。 设在第一个过程中, Be 核是静止的,K 层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据,算出 的中微子的动能 P? 和静止质量 m? 各为多少?
7


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