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高中数学北师大版选修1-1 第2章 单元综合检测(2) 含解析

第二章 单元综合检测(二) 满分 150 分) (时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 和 5 时,点 P 的轨 迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:当 2a<|AB|时,表示双曲线的一支;当 2a=|AB|时表示一条射线,故 选 D. 答案:D x2 y2 2.以双曲线 - =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 x2 y2 A. + =1 16 12 C. x2 y2 + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 16 x2 y2 D. + =1 4 16 ) 解析:双曲线焦点(± 4,0),顶点(± 2,0),故椭圆的焦点为(± 2,0),顶点 (± 4,0),故选 A. 答案:A x2 y2 1 3.已知椭圆与双曲线 - =1 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标 3 2 5 准方程为( A. C. ) B. x2 y2 + =1 25 20 x2 y2 + =1 20 25 x2 y2 + =1 25 5 x2 y2 D. + =1 5 25 x2 y2 2 2 解析:双曲线 - =1 中 a2 a2 5,故焦点坐标 1=3,b1=2,则 c1= 1+b1= 3 2 x2 y2 为(- 5,0),( 5,0),故所求椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的 c= 5,又椭圆的离 a b c 1 x2 y2 2 2 2 2 心率 e= = ,则 a=5,a =25,b =a -c =20,故椭圆的标准方程为 + a 25 20 5 =1. 答案:B 4.若 P(x0,y0)是抛物线 y2=-32x 上一点,点 F 为抛物线的焦点,则|PF| =( ) A.x0+8 C.8-x0 B.x0-8 D.x0+16 32 =16,因此抛物线的准线方程 2 解析:由题意可知抛物线开口向左,且 p= 为 x=8,因此|PF|=8-x0. 答案:C x2 y2 5.[2014· 贵州遵义一模]椭圆 + =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在 16 9 的直线斜率为( A. C. 9 16 9 64 ) B. 9 32 9 32 D. - 解析:设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), x y ? ?16+ 9 =1, 则? x y ? 16 ? + 9 =1, 2 1 2 1 2 2 2 2 ① ② ①-②得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, 16 9 又∵弦中点为 M(-1,2), ∴x1+x2=-2,y1+y2=4, ∴ -2?x1-x2? 4?y1-y2? + =0, 16 9 y1-y2 9 = . x1-x2 32 ∴k= 答案:B 6.椭圆 y2 x2 x2 + =1 与双曲线 y2- =1 有公共点 P,则 P 与双曲线两焦点连 49 24 24 ) B. 24 D. 12 3 线构成三角形的面积为( A. 48 C. 24 3 解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0,-5),又由 椭圆与双曲线的定义可得 ?|PF1|+|PF2|=14, ? ?||PF1|-|PF2||=2, ?|PF1|=8, 所以? ?|PF2|=6, 又|F1F2|=10, ∴△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90° . 1 1 所以△PF1F2 的面积 S= |PF1||PF2|= ×6×8=24. 2 2 答案:B 7.[2014· 清华附中月考]如图,南北方向的公路 L,A 地在 公路正东 2 km 处,B 地在 A 北偏东 60° 方向 2 3 km 处,河流 沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L 和到 A 地距离相等.现要在 曲线 PQ 上某处建一座码头,向 A,B 两地运货物,经测算,从 M 到 A,B 修建公路的费用都为 a 万元/km,那么,修建这两条 公路的总费用最低是( A. (2+ 3)a 万元 C. 5a 万元 ) B. (2 3+1)a 万元 D. 6a 万元 ?|PF1|=6, 或? ?|PF2|=8. 解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、L 为准线的抛物线,根据抛物线的定义知:欲求从 M 到 A,B 修建公路的费用最低, 只需求出 B 到直线 L 的距离即可.∵B 地在 A 地北偏东 60° 方向 2 3 km 处,∴B 到点 A 的水平距离为 3 km,∴B 到直线 L 的距离为 3+2=5(km),那么,修建这 两条公路的总费用最低为 5a 万元,故选 C. 答案:C x2 y2 8.[2014· 湖北省黄冈中学月考]已知 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦 a b 点,E 是双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点, 若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A. (1,2) C. (1,3) B. (1, 2) D. (1, 3) ) 解析:本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用.∵△ABE 为等 b2 腰三角形, 可知只需∠AEF<45° 即可, 即|AF|<|EF|? <a+c, 化简得 e2-e-2<0, a 又 e>1,∴1<e<2,∴该双曲线的离心率 e 的取值范围为(1,2),故选 A. 答案:A 9.[2014· 山东省济南一中月考]线段 CD 的两端点分别在射线 OA,OB 上,若 OA,OB 的方程分别为 y= 3x(x≥0)和 y=- 3x(x≥0)且|CD|=4 3,则 CD 的 中点 P 的轨迹方程是( y2 A. 3x2+ =12 3 y2 B. 3x2- =12 3 y2

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