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静力学解题方法浅议


静力学解题方法浅议,理论力学教学研究,谢建华,2010.02.14

静力学解题方法浅议 静力学解题方法浅议 解题方法
谢建华 1)
(西南交通大学力学与工程学院,成都 610031)

摘要: 摘要:结合一些常见的例子,讨论了静力学若干解题方法和原理。有些方法和原理,如逻辑方 法、组合方法和分解方法、对称性和叠加原理在自然科学很多分支中具有普遍性。了解和掌握 这些方法和原理对提高分析和解决问题能力是很有价值的。 关键词:静力学;解题;方法 关键词: 笔者在教学实践中发觉到, 普遍使用的理论力学教材上的习题都有习题解答之类的参考书, 同一本教材往往很多种这类参考书,但大部分都是相互参照、解题思路大同小异。不少同学就 是模仿这类参考书完成习题作业的,这对培养独立思考能力和创造性非常不利。 理论力学是一种公理化的知识体系,其所有的命题和定理都可依据静力学公理,通过逻辑 演绎而获得。正因为如此,静力学问题分析过程逻辑性严密,解题方法变化多端,技巧性很强。 本文通过静力学中几个常见的例子,来说明如果在解题过程中能紧扣静力学公理,就能发现比 较巧妙和简洁的解题技巧,同时能加深对力系简化和平衡本质的认识。更重要的是,如能从这 些具体例子中归纳出一些基本方法和原理,如逻辑方法、组合方法和分解方法、对称性和叠加 原理等,就会逐步地体会它们在力学、数学和自然科学很多分支中具有普遍适用性,这对提高 分析和解决问题能力是所裨益的。
[1] 例 1 构件 I 、 II 和 III 两两分别在 B 、 C 和 E 点处铰接,组成图 1 所示结构,试确定各铰链

约束反力的作用线。 解:图 1 中的 6 条直线 1、2、3、4、5 和 6 分别是铰链 D 约束反力、力 F 、铰链 A 约束 反力、铰链 B 约束反力、铰链 E 约束反力和铰链 C 约束反力的作用线。它们可根据三力平衡汇 交定理,通过逻辑推理确定:(1) 以整体为研究对象,就可确定作用在 D, G, A 点的三力作用线 1、2 和 3,它们汇交于 O 点; (2) 虽然构件 I , II , III 都是三力构件,在步骤(1)完成之后,构件

II 或 III 上仅有一个作用力的作用线已知;(3)如果本例能通过三力汇交定理来确定所有作用线 的话,希望在于构件 I ;(4) 作用在 I ? D 点(表示构件 I 上 D 点,下类同)和 I ? C 点的两个力
因此作用在 I ? B 点的力作用线 4 过 C 点( O1 ); 作用线 3 和 4 的交点 O2 作用线交于 C 点( O1 ), 是作用在构件 II 三力作用线的汇交,作用于 II ? E 点的力作用线 5 过 O2 点;直线 2 和 5 交点 是构件 III 三力作用线的汇交点 O3 ,作用于 I ? C 点力的作用线 6 过 O3 点。这就完全确定出各 力作用线。根据各力作用线确定过程,容易说明可进一步判定出各力的方向,用几何法确定出 各力的大小。

1)谢建华,教授,研究方向:非线性动力学,电子邮箱:jhxie2000@126.com

1

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O3

6
2

D

A
E
3 5

C
( O1 )

G

F
III

I

O2

II

B
O
4

1

图 1 各约束反力的作用线 在一个完备的逻辑理论体系中,其任意一个命题都可由一些基本命题或公理,通过逻辑演 绎而获得。静力学就是一种逻辑理论体系,静力学问题都可以直接由静力学公理给出解答。这 一方面可以加深对公理体系的理解,同时也可加强了逻辑推理能力。 例 2 [1],[ 2 ] 如图 2 (a ) 所示,在液压夹紧机构中, D 为固定铰链, B, C , E 为活动铰链。已知力 为 F ,机构平衡时各角度如图,各构件自重不计,求此时工件 H 所受的压紧力。 解: 考虑节点 B, C 和 E 的受力(图 2 (b) ),相应的力三角形如图 2 (c ) 所示。如果此三个力 三角形沿其共公边两两粘贴在一起,作出以 F , N B , N H , N E 和 FDC 为边的多边形,它即为整体

′ 以及 FCE 与 FCE ′ 上作用力的力封闭多边形。 由粘贴过程可知, 两对作用和反作用力 FBC 与 FBC ,
两两抵消。利用几何关系,由图 2 (c) 可直接求出 N H 。
F
D
F

FDC

′ FCE

B
θ

θ
NB
F BC

NE

F′ BC
FCE

E

(b )
NH

C
F BC

θ

F

FDC
π / 2 ?θ

NE
FCE ′ FCE

θ

E

NB
NE

′ F BC

θ

NH

(c )

H
(a )

FDC

NH
π / 2 ?θ

θ

F

θ
NB

(d )

图 2 液压夹紧机构的受力分析
2

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例 2 分析过程中所用的是一种简单的组合思想。组合思想和方法在数学和力学中有广泛的 应用,如多面体欧拉公式的证明;又如,可用格林或奥高公式判定一个力系是否为保守的,而 这两个公式的证明就用到组合方法
[ 3]

:将一个区域划分成很多面积或体积微元,有向积分在这

些微元边界上相互抵消,从而建立线积分与面积分、或面积分与体积分间的关系。

α′

α′
π2
A

B

β
D

C

E
N

NE

ND

π1

W

(a )

α

α
H

T

(a′)

A
B
N
β

W

β
(b )

W

T

α

α

(b′ )

NE
W1

W1

π /2?α


π /2?α

ND

(c )

(c ′)

图 3 球在槽内平衡 例 3
[4]

如图 3 (a ) 所示,一个重 W 的圆球体放在一个 V 型槽内,槽轴 BH 与水平面成 β 角,

即 ∠ABH = β ,槽的两侧面与竖直面的交线所夹的角被竖直线平分,为防止球的滚动,用一 根水平线 AB 将其拉住。不计摩擦,求绳中张力及两壁所受的压力。 解:先考虑两个简单情况:光滑斜面上的球用水平的绳 AB 拉住,斜面夹角为 β ,球重为

W (图 3 (b) );夹角为 2α 的水平槽中放一个放置一个重为 W1 的球(图 3 (c) )。这两种情况均为
平面共点力系,对应的力三角形分别如图 3 (b′) 和图 3 (c ′) 。那么平面情况图 3 (b) 和图 3 (c ) 与 空间问题图 3 (a ) 有何联系呢?图 3 ( a ′) 中的平面 π 1 和 π 2 分别为是 V 形槽的纵向对称面,以及 过球心且与槽的轴线垂直的平面。 3 ( a ′) 是图 3 ( a ) 中球所受共点力系的封闭四边形(空间的), 图 其中 N D , N E 在平面 π 2 内,而 W 和 T 在平面 π 1 内, N 是 N D 和 N E 的合力。显然如果将图 3 ( a ′) 中的力封闭四边形向平面 π 1 投影,就获得图 3 (b′) 中的力三角形;如果将平面 π 2 中的力
3

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合成的三角形(边为 N , N D 和 N E )取出,并将 N 反向,就获得图 3 (c ′) 中的力三角形。因此, 空间共点力系图 3 (a ) 的平衡问题分解成两个平面共点力系的平衡问题图 3 (b) 和图 3 (c ) 。 分解和简化是力学分析一种有效和常用的方法, 3 表明空间力系平衡问题时常可分解成为 例 若干个平面力系的平衡问题,从而降低了问题分析的难度,同时也可以比较不同力系合成和平 衡的特点。 对称性和叠加原理也是自然科学中普遍适用的基本原理。 如图 4 (a ) 中的三铰拱, 其本身和 所受荷载都关于中线 L ? L 对称的,而图 4 (b) 中的三铰拱已不具这种对称性了,但是后者可视 为由前者演变而来,它应保留前者一些基本特征。由于对称性和叠加原理,对前者受力分析的 工作量可以减少一半。 例4
[ 5]

先考虑对称三铰拱(图 4 ( a) ),单个作用力 P2 = P 作用在构件 II 上,由三力平衡汇交定

理,可确定出支座 A 、 B 的反力 A2 和 B2 ,及相应的力三角形 123 (图 4 ( a ′) );利用对称性,将 力三角形 123 关于 P2 所在铅直线反射而得力三角形 1′ 2′3′ , 它即为 P1 = P 单独作用于构件 I 上 时整体的力三角形(图 4 ( a ′) );将力三角形 1′ 2′3′ 平移,使 P1 和 P2 首尾相连,并同时调换 A1 和

B1 的位置,而形成三角形 1′ 3′2′′ (图 4 (a ′′) ),分别再将 B1 和 A2 平移至相应虚线所示的位置,

L
P1 = P

P2 = P

C

P 1

L′
C

P2

(I )
I II

(II )

A

L

B
B1

A

A2 A1

L′
(b)

(a )

B2

B

3′
RA A1

3 3′
A2

B1

2′′

P 1

B1

2
B2

P2

P 1 A1

2′ D

A2 B1

2

1′ 3
A2

RA

A1

P 1

A2
B1

B1

1 1′

RB

B2

P2
RB

A2
B2

P2

(a′)

1 (a ′′)

(b′)

图 4 由对称性与叠加原理

形成力三角形 1D3′ 就是整体在 P1 和 P2 将首尾相连的 B1 和 B2 、A1 和 A2 分别合成为 R B 和 R A ,

4

静力学解题方法浅议,理论力学教学研究,谢建华,2010.02.14

作用下的力三角形(将 P1 和 P2 合成作用于 C 点的合力 2 P )。现考虑非对称情况图 4 (b) ,整体 平衡形成一个由 P1 、 P2 、 R B 和 R A 为边的封闭四边形,它可由对称情况变形而来的。如果另 有一个三铰拱,其结构和所受荷载都与图 4 (b) 中三铰拱关于对称轴 L ′ ? L ′ 对称,那么其受力 图就可以将图 4 (b) 关于此轴反射即可获得,这样我们就有了一个由对称走向反对称的过程。 对称性和叠加原理是自然科学中两个重要的原理。例如,若一个方程组或由微分方程定义 的向量场对某些变换是不变的,而这些变换的集合按照某种运算规则形成一个群,这个群称为 方程组或微分方程的对称群,利用对称群可简化对方程组或微分方程的研究,比如,若能找到 方程组的一个解,那么此解在对称群任一元作用下仍然为此方程组的解;满足叠加原理的系统 称为线性系统,静力学中静定问题都表示成方程组 [ 6 ] Ax = b 的形式(其中 A 是一实方阵, b 为 已知向量, x 为未知向量),其是满足叠加原理的线性系统。在力学研究中,一开始总是作微小 变形假设,导出一个线性系统,如线性振动系统、描述弹性体微小静变形或微振动的线性偏微 分系统等等。 静力学理论分析主要采用矢量代数方法(包含矢量的加减法、 点乘、 叉乘和混合积等运算), 而解题时则往往根据力系简化和平衡理论利用投影法。笔者认为,有时直接根据静力学公理, 采用矢量法解题,一方面可以加深对力系简化和平衡理论的理解,另一方面可以加强应用数学 工具的能力。
[2] 如图 5 (a ) 所示,无重曲杆 ABCD 有两个直角,且平面 ABC 与 BCD 垂直。杆的 D 端 例5

为球支座, A 端受轴承支撑。在曲杆的 AB 、 BC 与 CD 上各作用一个力偶,力偶所在平面分 别垂直 AB 、 BC 与 CD 三线段。已知力偶 M 2 和 M 3 ,求力偶 M 1 及支座 A 和 D 的约束反力。
z
R Az

z
R

A
R Ay

E
y
M3

M

4

A

a
B

M1

y
M
1

C
M
2

M

2

x

b
R Dy

M3

c

x

D
R Dz

R

(a )

(b )

图 5 力偶系的平衡 解:支座 A 和 D 的约束反力形成力偶 M 4 = ( R,? R ) ,将 M i (i = 1, L ,4) 首尾相连,就形

5

静力学解题方法浅议,理论力学教学研究,谢建华,2010.02.14

成了一个空间封闭四边形,如图 5 (b) 。 M 4 垂直于矢量 AD 和 R 所在的平面,从而点

E = ( M 1 ,? M 2 , M 3 ) 在平面 ax + by ? cz = 0
上,从而 (1)

aM 1 + b(? M 2 ) ? cM 3 = 0
由上式解出

(2)

M1 =
然后不难用矢量法或投影求出

1 (bM 2 + cM 3 ) a

(3)

R Dy = R Dz = ? R Ay = ? R Az = ? M 3 / a

(4)

图表示法是自然科学研究中的一种重要工具,具有简单和直观等优点,在运动学和动力学 应用很广泛,相比之下,在静力学中却使用较少。下面的例子表明,利用函数图像可清晰地表 明摩擦中自锁条件的含意。
[2] 如图 6 (a ) 所示,不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦系数均为 f s ,门高为 h ,若 例6

在门上 2h / 3 处用水平力 F 拉门而不会卡住,求门宽 b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门 宽最小值有否影响?
NA
fs N A

A F
h

A F

2h / 3
E

P

E
fs N E

b (a )

bmin

NE

b
P

(b)

( F , P, b)

bmin

P F

b min

O

F′

F

F =∞

(c )

图 6 门宽问题 解:考虑门有自重 P 的一般情况。设 F 为给定值,确定 bmin = b( F , P ) ,当 b > bmin 时,

6

静力学解题方法浅议,理论力学教学研究,谢建华,2010.02.14

用 F 能拉动门,当 b < bmin 时,用 F 拉不动门,此时 A 点和 E 点摩擦力达到临界值,门的受力 如图 6 (b) 。由平衡条件

? fs NE ? fs N A + F = 0 NE ? NA ? P = 0

(∑ Fx = 0) (∑ Fy = 0)

(1) (2) (3)

N E bmin ? f s N E h ? P (bmin / 2) + F (2h / 3) = 0 (∑ M A ( Fi ) = 0)
由(1)和(2)解出

NE =

1 F ( + P) 2 fs

(4)

由(3)解出 bmin ,再将(4)代替其中的 N E ,得

bmin = b( F , P ) = f s2 h

P fsh + F 3

(5)

bmin = b( F , P) 是 一 个 二 元 函 数 , 它 有 如 下 性 质 : 当 P = 0 时 , bmin = b min = f s h / 3 ;
F → +∞

lim bmin = b min ,此极限与 P 无关;当 P 给定时,bmin 是 F 的双曲函数,而当 F 给定时,bmin

是 P 的 线 性 函 数 , 据 此 可 作 bmin = b( F , P ) 图 像 图 6 (c) 。 曲 面 bmin = b( F , P ) 将 空 间

{( F , P, b) F ≥ 0, P ≥ 0, b ≥ 0}分成两个不连通部分,当点 ( F , P, b) 在曲面 b

min

= b( F , P) 之上

时,对给定的 P ,存在 F ′ < F ,拉动门的最小拉力为 F ′ 。当 b ≤ b min 时,无能多大力都拉不 动门,并与门自重 P 无关。因此门自锁条件为 b ≤ b min ,并与门自重 P 无关。 解题是学习一门课程的一个重要环节。提倡一题多解,从不同侧面理解相应的理论要点。 同时要关注一些重要方法所包含的基本原理,以发现不同问题之间的相似性、不同理论之间的 相似性、以及相似性之间的相似性。这样的解题过程必然充满趣味性和探索性,有利分析和解 决问题能力以及创造性的培养。 参考文献 1 哈尔滨工业大学.理论力学(上册,第五版).高等教育出版社,1997 2 哈尔滨工业大学.理论力学((I),第六版).高等教育出版社,2002 3 D.Kleppner, R.J.Kolenkow.力学引论.人民教育出版社,1980 4 朱照宣,周起钊,殷金生.周理论力学(上).北京大学出版社,1982 5 А.И.宝霍维奇内.结构力学.人民教育出版社,1954 6 刘延柱,杨海兴.理论力学.高等教育出版社,1991

7

静力学解题方法浅议,理论力学教学研究,谢建华,2010.02.14

On the method of solving problems in statics
Xie Jianhua (School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University,Chengdu,610031)

Abstract. By several ordinary examples ,we discuss the methods and principles of solving problems in statics. Some methods and principles , such as logical method, combinational method and decomposition method, symmetry and superposition principles , are widely applied in may domains of scientific research. It is great value to demand these methods and principles to enhance the ability of analyzing and solving problems. Keywords. statics , solving problem, method

8


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