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浙江省杭州市萧山二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


2012 学年第二学期期中考试题卷
学科: 数学 满分: 100 分考试时间: 90 分钟 命题人: 陈维波 审核人: 瞿湖海 考生须知:1、本卷共 3 页; 2、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a12+a13=24,则 a7 为( ) A.6 B.7 C.8 D. 9 2.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示{an}的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144,则 S5 的值是( 69 A. 2 B.69 C.93 D.189 )

)

3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×4
4

B.3×4 +1 )

4

C.4

5

D.4 +1

4

4. sin 330 等于(

A.—

3 2

B.—

1 2

C.

1 2

D.

3 2
)

5.已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) 31 ,则 f ( ? ? ) 的值为( 3 cos(?? ? ? ) tan ?
B. ?

A.

1 2

1 3

C. ?

1 2

D.

1 3

6. 已知函数 y ? Asin( ? x ? ? ) ? m 的最大值为 4, 最小值为 0, 两条对称轴间的最短距离为 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( A. y ? 4 sin( 2 x ? C. y ? ?2 sin( x ? )

? ? ,直线 x ? 6 2

?

?

6

) )? 2

B. y ? ?2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( x ?

?
6

)? 2

?
3

3

)? 2
)

7. 要得到函数 y ? 3 cos( 2 x ? A.沿 x 轴向左平移

?
4

) 的图象,可以将函数 y ? 3 sin 2 x 的图象(

? 个单位 8 ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 4
cos(? ? 2? )
8.已知

? 个单位 8 ? D.沿 x 向右平移 个单位 4
B.沿 x 向右平移 )

sin(? ? ) 4

?

??

2 2 ,则 cos ? ? sin ? 等于(

1 1 7 ? 2 A. B. 2 C. 2 D. π ? π? ? π? 9.函数 f(x)=sin?x+ ?+asin?x- ?(a>0)的一条对称轴方程为 x= ,则 a 等于( 3? 6? 2 ? ?

?

7 2

)

A.1 B. 3 C.2 D.3 10.在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sinC 的值(

)

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

二、填空题:本大题有 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 11. cos13 cos133 ? sin 13 sin 47 ?
0 0 0 0



1 1 12.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n≥2),则 a2014=________ 2 an 13.函数 f(x)=cos 2x+sin x 的最小值是________ 14.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如下图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (11) 的值 等于

15.若 sin(?+?)=

3 1 tan? ,sin(?-?)= ,则 =________ 5 5 tan ?
o

16.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km, B 船在灯塔 C 北偏西 40 o 处, A 、

B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km 三、解答题:本大题有 4 小题, 共 36 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
17.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

? ?? ] 上的最小值 ? ?

18.设函数 f ( x) ? sin x sin( (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值

?
2

? x) ? cos 2 x ,在△ABC 中,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c

(Ⅱ)若 f ( A) ? 1, A ? B ?

7? , b ? 6 ,求 A 和 a 12

19.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小 (Ⅱ)若 a ? 1 , ?ABC 的周长用角 B 表示并求周长取值范围

1 c?b. 2

20.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,通项 an 满足

Sn q ( q 是常数, q ? 0 且 q ? 1 ) 。 ? an ? 1 q ? 1

(Ⅰ)求证数列 {an } 为等比数列并求通项公式 (Ⅱ)当 q ?

1 1 时,证明 S n ? 4 3
若 ? f (an ) ,

(Ⅲ) 设函数 f ( x) ? logq x, bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? 都成立,求正整数 ...m 的值

1 1 ? ? b1 b 2

1 m ? (m ? N * ) 对 n ? N * bn 3

2012 学年第二学期期中考试参考答案及评分标准
一、选择题(共 10 个小题,每小题 4 分) 题 号 答 案 二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分) 11、 ? A C A B C B A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 D 1

1 2

12、

1 2

13、

?2

14、 2 ? 2 2

15、 2

16、 6 ? 1

三、解答题
17.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? 2 2 2

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

……………………………………………2 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2 ? . 由 2k ? ?

…………………………………………4 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4

? 5? [2k ? ? , 2k ? ? ] 4 4 , k ? Z . ………………………6 分 函数 f ( x ) 单调递减区间是
( Ⅱ )由

? ?? ? ? 7? ?x? ,得 ? x ? ? . ? ? 2 4 4

则当 x ?

? 3? 5? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 4 2 4

?

2 ?1 . 2

…………………8 分

18.解: (1)因为 f ( x) ? sin x sin(

?
2

? x) ? cos 2 x

?sin x c oxs ?

2 c oxs

1 = [sin 2 x ? 1 ? cos 2 x] 2

…………1 分

?
所 以 , 当 sin( 2 x ? 值, 其最大值为

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? . 2 4 2
?

…………2 分

?
4

) ? 1 , 即 2x ?

?
4

?
2

? 2k? , x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时 , f ( x ) 取 得 最 大

…………3 分

2 ?1 . 2

…………4 分

(2)由 f ( A) ? 1得,

2 ? 1 ? 2 . ……5 分 sin(2 A ? ) ? ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2

在 ?ABC 中,因为 A ? (0, ? ) ,所以 2 A ? 又 sin(2 A ?

?

? 9? ? ( , ). 4 4 4
………6 分

?
4

)?

? ? 3? 2 ,A? . ? 0 , 所以 2 A ? ? 4 4 4 2

7? ? ,所以 B ? . 12 3 a b ? 在△ ABC 中,由 及 b ? 6 ,得 sin A sin B
又因为 A ? B ?

………7 分

b sin A a? ? sin B

6? 3 2

2 2 ? 2.

…………9 分

19.解(Ⅰ)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

…………1 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 …………2 分 ? sin C ? ? cos A sin C , sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 2? 又 0? A?? ?A? …………4 分 3
(Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 1?
A?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) …………6 分 2 3 3 2 3
2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , …………7 分 3 3 3 3 3
…………8 分

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2
故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

2 3 ? 1] . …………9 分 3

20.(Ⅰ)由题意 S n

?

q q (an ? 1) ,得 S1 ? a1 ? (a1 ? 1) 所以 a1 ? q q ?1 q ?1

当 n ≥ 2 时, an

? Sn ? Sn ?1 ?

q a (an ? an ?1 ) ,所以 n ? q q ?1 an ?1
…………3 分 …………4 分

故数列 {an } 是以 a1 所以 an

? q 为首项,公比为 q 的等比数列

? q ? qn?1 ? qn
1 1 时, an ? n 4 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 q ?

1 1 (1 ? n ) 4 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 所以 Sn ? 4 1 3 4n 3 1? 4
(Ⅲ)因为 所以 bn

…………6 分

f ( x) ? logq x
? logq an ? logq (a1a2 an )

? logq a1 ? logq a2 ?

? logq (q ? q2 ?

? qn )
?n)

? logq q(1?2?

? 1? 2 ? ? n n(n ? 1) ? 2
所以

…………7 分

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 ? ? b1 b2 1 1 2n ? 2(1 ? )? bn n ?1 n ?1
…………8 分

所以

2n m 6n 6 ? ? ≥ 对 n ? N 都成立,即 m ? ? 6? 对 n ? N 都成立 n ?1 3 n ?1 n ?1 6 ) min 须有 m ? (6 ? n ?1 6 ? 而当 n ? N 时, 6 ? 随 n 的增大而增大 n ?1 6 ?3 所以 m ? 6 ? 1?1
由 又 m 为正整数,所以 m 的值为 1,2,3

…………10 分

所以使

1 1 ? ? b1 b2

1 m ? ≥ 对 n ? N 都成立的正整数 m 的值为 1,2,3. bn 3


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