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高二数学(人教A版)选修1-1,2-1《2.1.1椭圆的简单几何性质》导学案3


§2.1.1 椭圆的简单几何性质(第 3 课时) [自学目标]: 掌握直线与椭圆的位置关系,并能利用椭圆的 有关性质解决实际问题. [重点]: 直线与椭圆实际问题 [难点]: 直线和椭圆的位置关系,相关弦长、中点等问题. [教材助读]:
1、若设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入椭圆 的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式 子,可以大大减少运算量 。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。 2、若直线 l : y ? kx ? b 与椭圆相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 弦长 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( kx 1 ? kx 2 ) 2

? 1 ? k 2 x1 ? x 2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
[预习自测] 1、过椭圆 方程。

x2 y2 ? ? 1 内一 点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线的 16 4

1 x2 ? y 2 ? 1 与直线方程 l : y ? x ? 相交于 A、B 两点,求 AB 的弦长. 2、已知椭圆方 程为 2 2

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师 和同学探究 解决。
1

[合作探究 展示点评]
探究一:点差法 例 1、 已知椭圆

y2 x2 1 ? ? 1 的一条 弦的斜率为 3, 它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中 75 25 2

点 M ,求点 M 的坐标。

探究二:弦长问题 例 2、斜率为 2 的直线 l 被椭圆

x2 y 2 30 ? ? 1 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程。 7 3 2

[当堂检测] x2 y2 1.过椭圆 + =1 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为( 25 9 A.5
2

)

B.6
2

90 C. 17
0

D.7

2、过椭圆 x ? 2 y ? 4 的左焦点作倾斜角为 30 的直线, 则弦长 |AB|= ______ _ x2 y2 1、求以椭圆 + =1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在的直线方程。 16 4

2

4、已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长. 4

[拓展提升] ★1.已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的 横坐标为

1 ,求椭圆的方程。 2

★★2、如图所示,点 A 、 B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的 36 20

右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴的上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设点 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。

y

P

A

O M F

B

x

3


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