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2007年高考文科数学试题及参考答案(安徽卷)


2007 年普通高等学招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科)
一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)若 A ? x x ? 1?, B ? ?x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ,则 A ? B =
2 2

?

(A) ?3? (2)椭圆 x ? 4 y
2 2

(B) ?1?
? 1 的离心率为

(C) ?

(D) ?? 1?

(A)

3 2

(B)

3 4

(C)

2 2

(D)

2 3

(3)等差数列 ?a x ? 的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a 3 ? 3 , 则 S 4= (A)12 (B)10 (4)下列函数中,反函数是其自身的函数为 (A) f ( x ) ? x , x ? [ 0 , ?? )
2

(C)8

(D)6

(B) f ( x ) ? x , x ? ( ?? , ?? )
3

(C) f ( x ) ? e , x ? ( ?? , ?? )
3

(D) f ( x ) ?

1 x

, x ? ( 0 , ?? )

(5)若圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为
2 2

2 2

,则 a 的值为

(A)-2 或 2

(B)

1 2



3 2

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

(6)设 l , m , n 均为直线,其中 m , n 在平面 a 内 , 则 “ l ? ? ” 是 “ l ? ? ” 是 “ l ? m 且 l ? n ” 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)图中的图象所表示的函数的解析式为 (A) y ? (B) y ? (C) y ?
3 2 3 2 3 2 ? 3 2 ? | x ? 1 | (0≤x≤2) | x ?1| | x ?1|

(0≤x≤2) (0≤x≤2)

(D) y ? 1 ? | x ? 1 |

(0≤x≤2)
2

(8)设 a>1,且 m ? log a ( a ? 1) n ? log a ( a ? 1), p ? log a ( 2 a ) ,则 m , n , p 的大小关系为 (A) n>m>p (B) m>p>n (C) m>n>p (D) p>m>n

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 (9)如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 O 在曲线 x ? ( y ? 2 ) ? 1上 , 那么 | PQ | 的 ? 2y ?1? 0 ?

最小值为 (A)
3 2

(B)

4 5

?1

(C) 2 2 ? 1

(D) 2 ? 1

(10)把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四 点所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为 (A) 2 ?
2

(B) ?

(C)

?
2

(D)

?
3

(11)定义在 R 上的函数 f (x)既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程 f (x)=0 在闭区[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)已知 (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x ,则( a 0 ? a 2 ? a 4 )( a 1 ? a 3 ? a 5 )
2 2 3
4

5

的值等于

.

(13) 在四面体 O-ABC 中, AB ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则
OE =

(用 a,b,c 表示) . (写出所有
?
3

(14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 (15)函数 f ( x ) ? 3 sin( 2 x ? 正确结论的编号). ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (
2? 3
11 12 ) 的图象为 C,如下结论中正确的是

? 对称;

, 0 ) 对称;

③函数 f ( x ) 在区间 ( ?

?
12

,

5? 12

)内是增函数;
?
3

④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

个单位长度可以得到图象 C.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 10 分) 解不等式 (| 3 x ? 1 | ? )(sin x ? 2 ) >0.

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在六面体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,四边形 ABCD 是边 长为 2 的正方形,四边形 A1 B 1 C 1 D 1 是边长为 1 的正方 形, DD 1 ? 平面 A1 B 1 C 1 D 1 , DD 1 ? 平面 ABCD,
DD 1 ? 2 .

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证:平面 A1 ACC
1

? 平面 B 1 BDD 1 ;

(Ⅲ)求二面角 A ? BB 1 ? C 的大小(用反三角函数值表示). 第(17)题图

(18) (本小题满分 14 分) 2 设 F 是抛物线 G:x =4y 的焦点. (Ⅰ)过点 P(0,-4)作抛物线 G 的切线,求切线方程:
FB (Ⅱ)设 A、B 为势物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA · ? 0

,延长 AF、BF 分别交

抛物线 G 于点 C,D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

(19)(本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混 入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个 小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔. (Ⅰ)求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率; .... (Ⅱ)求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率. ....

(20)(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=-cos x-4tsin
2

x 2

cos

x 2

+4t +t -3t+4,x∈R,

2

2

其中 t ≤1,将 f(x)的最小值记为 g(t). (Ⅰ)求 g(t)的表达式; (Ⅱ)诗论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

(21) (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后 第年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目 a1,a2,?是 一个公差为 d 的等差数列, 与此同时, 国家给予优惠的计息政策, 不仅采用固定利率, 而且计算复利,这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么,在第 n 年末,第一年 n-1 n-2 所交纳的储备金就变为 n(1+r) ,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r) ,??,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中 ? A n ? 是一个等比数列, ?B n ? 是一个等差数列.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文史)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识的基本运算.每小题 5 分,满分 55 分. 1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C 11.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 12. ? 2 5 6 13.
1 2 a? 1 4 b? 1 4 c

14.

3 11

15.①②③

三、解答题 16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本 小题满分 10 分. 解:因为对任意 x ? R , sin x ? 2 ? 0 ,所以原不等式等价于 3 x ? 1 ? 1 ? 0 . 即 3 x ? 1 ? 1 , ? 1 ? 3 x ? 1 ? 1 , 0 ? 3 x ? 2 ,故解为 0 ? x ?
? ? 2? ?. 3?

2 3



所以原不等式的解集为 ? x 0 ? x ?

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角 等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本 小题满分 14 分. 解法 1(向量法) : 以 D 为原点,以 D A, D C, D D 1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系
D ? xyz 如图,

D1

z

C1 B1

A1

D

C
y

A
x

B

0 0 2 0 2 0 0 2 1, 1, 0 2 则有 A ( 2,, ), B ( 2,, ), C (0,, ), A1 (1,, ), B1 (1, 2 ), C 1 (0, 2 ), D 1 (0,, ) .

1, A 2 0 D 1, D 2 0 (Ⅰ)证明:∵ A1 C 1 ? ( ? 1, 0 ), C ? ( ? 2,, ), 1 B1 ? (1, 0 ), B ? ( 2,, ) . ???? ????? ???? ????? ∴ A C ? 2 A1 C 1, B ? 2 D 1 B 1 . D ????? ???? ????? ???? ∴ A C 与 A1 C 1 平行, D B 与 D 1 B 1 平行,

?????

????

?????

????

于是 A1 C 1 与 A C 共面, B 1 D 1 与 B D 共面.
0 2) 2 0 · 2 0) 2 0 (Ⅱ)证明: D D · A C ? (0,, · ( ? 2,, ) ? 0 , D B A C ? ( 2,, · ( ? 2,, ) ? 0 , 1 ???? ? ???? ???? ???? ∴ D D1 ? A C , D B ? A C .
D D 1 与 D B 是平面 B1 B D D 1 内的两条相交直线.
∴ A C ? 平面 B1 B D D 1 .

???? ???? ?

???? ????

又平面 A1 A C C 1 过 A C .
∴ 平面 A1 A C C 1 ? 平面 B1 B D D 1 .

0 2 B ? 2 C ? 2 (Ⅲ)解: A A1 ? ( ? 1,, ), B1 ? ( ? 1, 1, ), C 1 ? (0, 1, ) .

????

????

???? ?

设 n ? ( x1, y 1, z 1 ) 为平面 A1 A B B 1 的法向量,
???? ???? n A A1 ? ? x1 ? 2 z 1 ? 0 , n B B1 ? ? x1 ? y 1 ? 2 z 1 ? 0 . · ·
0 1) 于是 y 1 ? 0 ,取 z 1 ? 1 ,则 x1 ? 2 , n ? ( 2,, .

设 m ? ( x 2, y 2, z 2 ) 为平面 B1 B C C 1 的法向量,
???? ???? ? m B B1 ? ? x 2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 , m C C 1 ? ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 . · ·
2 1) 于是 x 2 ? 0 ,取 z 2 ? 1 ,则 y 2 ? 2 , m ? (0,, .

c o s m, n ?

m· n m n

?

1 5


1 5

D1

∴ 二面角 A ? B B1 ? C 的大小为 π ? a rc c o s


A1

C1 B1

解法 2(综合法) : (Ⅰ)证明:∵ D 1 D ? 平面 A1 B1C 1 D 1 , D 1 D ? 平面 A B C D .
∴ D 1 D ? D A , D 1 D ? D C ,平面 A1 B1 C 1 D 1 ∥ 平面 A B C D .

D
E
O

F

M

C

于是 C 1 D 1 ∥ C D , D 1 A1 ∥ D A . A 设 E, F 分别为 D A, D C 的中点,连结 E F , A1 E, C 1 F , 有 A1 E ∥ D 1 D, C 1 F ∥ D 1 D, D E ? 1, D F ? 1 .

B

∴ A1 E ∥ C 1 F ,

于是 A1 C 1 ∥ E F . 由 D E ? D F ? 1 ,得 E F ∥ A C , 故 A1 C 1 ∥ A C , A1 C 1 与 A C 共面. 过点 B 1 作 B1 O ? 平面 A B C D 于点 O , 则 B1O


A1 E, B 1 O
∥B

∥C

1

F ,连结 O E, O F , C 1 ,∴ O E ? O F .

于是 O E

1

A1 , O F

∥B

1

∵ B 1 A1 ? A1 D 1 ,∴ O E ? A D .

∵ B 1 C 1 ? C 1 D 1 ,∴ O F ? C D .

所以点 O 在 B D 上,故 D 1 B 1 与 D B 共面. (Ⅱ)证明:∵ D 1 D ? 平面 A B C D ,∴ D 1 D ? A C , 又 B D ? A C (正方形的对角线互相垂直) ,
D 1 D 与 B D 是平面 B1 B D D 1 内的两条相交直线,
∴ A C ? 平面 B1 B D D 1 .

又平面 A1 A C C 1 过 A C ,∴ 平面 A1 A C C 1 ? 平面 B1 B D D 1 . (Ⅲ)解:∵ 直线 D B 是直线 B 1 B 在平面 A B C D 上的射影, A C ? D B , 根据三垂线定理,有 A C ? B1 B . 过点 A 在平面 A B B1 A 内作 A M ? B1 B 于 M ,连结 M C, M O , 则 B1 B ? 平面 A M C , 于是 B1 B ? M C, B1 B ? M O , 所以, ? A M C 是二面角 A ? B1 B ? C 的一个平面角. 根据勾股定理,有 A1 A ?
∵ O M ? B1 B ,有 O M ?

5, C 1 C ?
B1O O B · B1 B

5, B1 B ?
2 3

6 .
2 3 10 3 10 3

?

, BM ?

, AM ?

,CM ?



cos ? A M C ?

AM

2

? CM

2

? AC

2

2 A M· C M

? ?

1 5

, ? A M C ? π ? a rc c o s

1 5



二面角 A ? B B1 ? C 的大小为 π ? a rc c o s

1 5



18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与 抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小 题满分 14 分. 解: (I)设切点 Q ? x 0, 0 ? .由 y ? ?
? 4 ? ? x ?
2

x 2

,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为

x0 2

,故所求切线

方程为 y ?

x0 4

2

?

x0 2

( x ? x0 ) .

即y ?

x0 2

x?

x4 4

2



? 因为点 P (0, ? ) 在切线上.
2

所以 ? 4 ? ?

x0 4

, x0 ? 1 6 , x0 ? ? 4 .
2

所求切线方程为 y ? ? 2 x ? 4 . (II)设 A ( x1, y 1 ) , C ( x 2, y 2 ) . 由题意知,直线 A C 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 .
1) 因直线 A C 过焦点 F (0, ,所以直线 A C 的方程为 y ? kx ? 1 .

点 A, C 的坐标满足方程组 ?

? y ? k x ? 1, ? x ? 4 y,
2

得 x ? 4 kx ? 4 ? 0 ,
2

由根与系数的关系知 ?

? x1 ? x 2 ? 4 k , ? x1 x 2 ? ? 4 .
2

AC ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

?

1? k
1 k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 4 (1 ? k ) .
2 2

因为 A C ? B D ,所以 B D 的斜率为 ?
? ? 1 ? 同理可求得 B D ? 4 ? 1 ? ? ? ? ? ? k ? ?
2

,从而 B D 的方程为 y ? ?

1 k

x ?1.

? 4 (1 ? k 2 ) . ?? 2 ? k ?

S ABCD ?

1 2

AC BD ?

8 (1 ? k )
2

2

k

2

? 8(k ? 2 ?
2

1 k
2

) ≥ 32 .

当 k ? 1 时,等号成立.所以,四边形 A B C D 面积的最小值为 3 2 . 19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识 分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分. 解:以 A k 表示恰剩下 k 只果蝇的事件 ( k ? 0, ? ,) . 1, 6 以 B m 表示至少剩下 m 只果蝇的事件 ( m ? 0, ? ,) . 1, 6 可以有多种不同的计算 P ( A k ) 的方法. 方法 1(组合模式) :当事件 A k 发生时,第 8 ? k 只飞出的蝇子是苍蝇,且在前 7 ? k 只飞出 的蝇子中有 1 只是苍蝇,所以 P ( A k ) ?
C 7?k C8
2 1

?

7?k 28



方法 2(排列模式) :当事件 A k 发生时,共飞走 8 ? k 只蝇子,其中第 8 ? k 只飞出的蝇子是 苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前 7 ? k 只飞出的蝇子中有 6 ? k 只是果蝇,有 C 8
6?k



不 同 的 选 择 可 能 , 还 需 考 虑 这 7?k 只 蝇 子 的 排 列 顺 序 . 所 以
P ( Ak ) ? C 2 ?C 6
1 6?k

(7 ? k ) !

A8

8?k

?

7?k 28



由上式立得 P ( A1 ) ?

6 28

?

3 14


3 28

P ( B 3 ) ? P ( A5 ? A 6 ) ? P ( A5 ) ? P ( A 6 ) ?



20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项 式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最 值等问题的综合能力.本小题满分 14 分. 解: (I)我们有
f ( x ) ? ? c o s x ? 4 t s in
2
2

x 2

cos
2

x 2

? 4 t ? t ? 3t ? 4
3 2
2

? sin x ? 1 ? 2 t sin ? 4 t ? t ? 3 t ? 4 ? sin x ? 2 t sin x ? t ? 4 t ? 3 t ? 3
2 2 3

? (sin x ? t ) ? 4 t ? 3 t ? 3 .
2 3 2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤ 1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g ( t ) ,即

g (t ) ? 4 t ? 3t ? 3 .
3

? (II)我们有 g ? ( t ) ? 1 2 t ? 3 ? 3( 2 t ? 1)( 2 t ? 1), ? ? t ? 1 .
2

列表如下:
t
?? ? ? ? ? 1, ? 2? ?
? 1 2
0

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?

1 2
0

?1 ? 1 ? ,? ?2 ?

g ?( t )

?

?
? ? 1? ? 2?

?
?1? ? ?2?

g (t )

?

极大值 g ? ?
? ?

?

极小值 g ?

?

? 由此可见, g ( t ) 在区间 ? ? 1,

1? ?1 ? ? 1 1? 1 ? 和 ? ,? 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 2? ?2 ? ? 2 2?

?1? ? ?? g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 . ?2? ? 2?

21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满 分 14 分. 解: (Ⅰ)我们有 T n ? T n ? 1 (1 ? r ) ? a n ( n ≥ 2 ) . (Ⅱ) T1 ? a 1 ,对 n ≥ 2 反复使用上述关系式,得
T n ? T n ? 1 (1 ? r ) ? a n ? T n ? 2 (1 ? r ) ? a n ? 1 (1 ? r ) ? a n ? ?
2

? a 1 (1 ? r )

n ?1

? a 2 (1 ? r )

n?2

? ? ? a n ? 1 (1 ? r ) ? a n ,



在①式两端同乘 1 ? r ,得
(1 ? r )T n ? a 1 (1 ? r ) ? a 2 (1 ? r )
n n n ?1

? ? ? a n ? 1 (1 ? r ) ? a n (1 ? r )
2 n ?1



② ? ①,得 rT n ? a 1 (1 ? r ) ? d [(1 ? r )
? d r
n

? (1 ? r )
n

n?2

? ? ? (1 ? r )] ? a n

[(1 ? r ) ? 1 ? r ] ? a 1 (1 ? r ) ? a n .
n

即 Tn ?

a1 r ? d r
2

(1 ? r ) ?

d r

n?
n

a1 r ? d r
2


a1 r ? d r
2

如果记 A n ?

a1 r ? d r
2

(1 ? r ) , B n ? ?

?

d r

n ,

则 Tn ? An ? B n . 其 中 ? An ? 是 以
a1 r ? d r
2

( 1 ? r ) 为 首 项 , 以 1 ? r (r ? 0 )为 公 比 的 等 比 数 列 ; ? B n ? 是 以

?

a1 r ? d r
2

?

d r

为首项, ?

d r

为公差的等差数列.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无 ..... ........ 效。 . 4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=PA.+PB. 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=PA.+PB. 1+2+?+n
n ( n ? 1) 2

球的表面积公式 S=4л R2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=
4 3 ?R
3

12+22+?+n2=

n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 6

其中 R 表示球的半径

13+23++n3=

n ( n ? 1)
2

2

4

第Ⅰ卷(选择题

共 55 分)

一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中,反函数是其自身的函数为
3 A. f ( x ) ? x , x ? ?0 , ?? ?

B. f ( x ) ? x 3 , x ? ?? ? , ?? ?

C. f ( x ) ? e , x ? ( ?? , ?? )
x

D. f ( x ) ?

1 x

, x ? ( 0 , ?? )

2.设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 ? 内, ? ? ”是 l ? m 且“l ? n”的 “l A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若对任意 x ? R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.a<-1 B. a ≤1

C. a <1 D.a≥1 4.若 a 为实数,
2 ? ai 1? 2i

=- 2 i,则 a 等于

A. 2

B.— 2

C.2 2

D.—2 2 5.若 A ? ?x ? ? 2 ? 2 2 ? x ? 8 ? , B ? ?x ? R log 2 x ? 1 ? ,则 A ? (C A.0 B.1
B ) 的元素个数为

R

C.2 D.3 6.函数 f ( x ) ? 3 sin( 2 x ?
π 3 ) 的图象为 C,

①图象 C 关于直线 x ?

11 12

? 对称;
5π 12 π 3

②函灶 f ( x ) 在区间 ( ?

π 12

,

) 内是增函数;

③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

个单位长度可以得到图象 C .

以上三个论断中,正确论断的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 7. 如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上, Q 在曲线 x ? ( y ? 2 ) ? 1 上, 点 那么 P Q ?x ? y ? 2 ? 0 ?



最小值为 A. 5 ? 1

B.

4 5

?1

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1 8.半径为 1 的球面上的四点 A , B , C , D 是正四面体的顶点,则 A 与 B 两点间的球面距离为

A. arccos( ?

3 3

)

B. arccos( ?

6 3
1

)

C. arccos( ? )
3 1 4

D. arccos( ?

)

9.如图, F 1 和 F 2 分别是双曲线

x a

2 2

?

r b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为

圆心,以 O F 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F 2 AB 是等边三角形,则双曲 线的离心率为

A. 3

B. 5

C.

5 2

D. 1 ?

3

10.以 ? ( x ) 表示标准正态总体在区间( ? ? , x )内取值的概率,若随机变量 ? 服从正态分 布 N ( ? , ? ) ,则概率 P ( ? ? ? ? ? ) 等于
2

A. ? ( ? ? ? ) - ? ( ? ? ? )

B. ? (1) ? ? ( ? 1)
1? ?

C. ? (

?

)

D. 2 ? ( ? ? ? )

11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程
f ( x ) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为

A.0 B.1 C.3 D.5

第Ⅱ卷(非选择题 共 95 分) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. ... ...........

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 12.若(2x3+
1 x

)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于



13. 在四面体 O-ABC 中,AB ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, E 则 OE = (用 a,b,c 表示) 。

14.如图,抛物线 y=--x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右 依次记为 P1, 2, Pn-1, P ?, 过这些分点分别作 x 轴的垂线, 与抛物线的交点依次为 Q1, 2, Q ?, Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,?, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时, 这些三角形的面积之和的极限为 。

15.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几 何形体是 (写出所有正确结论的编号) .. 。 ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知 0<a<
?
4 , ? 为 f ( x ) ? cos( 2 x ?

?
8

) 的最小正周期,a ? (tan( a ?

1 4

? ), ? 1), b= (cos

a,2) ,且 a·b=m。求

2 cos

2

? ? sin 2 (? ? ? )

cos ? ? sin ?

的值。

17. (本小题满分 14 分) 如图,在六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1⊥平面 A1B1C1D1,DD1⊥平面 ABCD,DD1=2。

(Ⅰ)求证:A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面; (Ⅱ)求证:平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1; (Ⅲ)求二面角 A-BB1-C 的大小(用反三角函数值圾示) 。

18. (本小题满分 14 分) 设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0) 。 (Ⅰ)令 F(x)=xf' ,讨论 F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值; (x) (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1。

19. (本小题满分 12 分) 如图,曲线 G 的方程为 y2=2x(y≥0) 。以原点为圆心,以 t(t >0)为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B。直线 AB 与 x 轴相交于点 C。 (Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证:直线 CD 的斜率为定值。

20. (本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混 入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔, 让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔。以ξ 表示笼内还剩下的果蝇 .. ..... 的只数。 (Ⅰ)写出ξ 的分布列(不要求写出计算过程) ; (Ⅱ)求数学期望 Eξ ; (Ⅲ)求概率 P(ξ ≥Eξ ) 。

21. (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后每 年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0) ,因此,历年所交纳的储务金数目 a1,a2,?是一个 公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算 复利。这就是说,如果固定年利率为 r(r>0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金 - n-1 就变为 a1(1+r) ,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n 2,??,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额。 (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列, n}是一个等差数列。 {B


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