tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 理学 >>

函数模型及其应用复习课件


考 纲 要 求

热 点 提 示

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增 长特征,知道直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型)的广泛应用 1. 1.本节内容主要出现在高考卷的解答题部 分,难度为中、高档,在选择、填空题中 偶尔出现. 2.几类不同增长的函数模型的应用、分析 及解决实际问题的能力的考查是命题的热 点. 3.函数易与不等式、数列、解析几何、导 数等知识结合,考查综合运用知识的能 力.

1.三种增长型函数模型的图象与性质 函数 y=ax y=logax y=xn (a>1) (a>1) (n>0) 性质 在(0,+ ∞)上的 增减性 增函数 增函数 增函数 相对平 增长速度 稳 越来越快 越来越慢 随x增大 随x增大 随n值变 图象的变 逐渐表 y轴 逐渐表 x轴 化而 现为与 现为与 化 不同 平行 平行

2.三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞),无论n比a大多 少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度 y=xn的增长 速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有 .

快于 ax>xn

(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n 值的大小如何总会 y=xn的增长速度,因而在 定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有 慢于 logax<xn .由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均 为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同 一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一 个x0,使x>x0时有 ax>xn>logax .

3.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 4.函数建模的基本程序

1.下列函数中,随x的增大而增大速度最快 的是( ) A.y= B.y=100lnx C.y=x100 D.y=100·2x

解析:∵在(0,+∞)上,总存在一个 x0,使 x>x0 时,有 1 x a >x >logax.∴排除 B、C,又∵e>2,∴100e 的增长速度大于
x n

100·2x 的增长速度.

答案:A

2.在一定范围内,某种产品的购买量y t与单价 x元之间满足一次函数关系,如果购买1000 t, 每吨为800元;购买2000 t,每吨为700元;一 客户购买400 t,单价应该是 ( ) A.820元 B.840元 C.860元 D.880元

解析:依题意,可设y与x的函数关系式为 y=kx+b,由x=800,y=1000及x=700,y= 2000, 可得k=-10,b=9000, 即y=-10x+9000,将y=400代入得x=860. 答案:C

3.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的 优惠,商场规定: ①如一次购物不超过200元,不予以折扣; ②如一次购物超过200元,但不超过500元,按 标价予以九折优惠; ③如一次购物超过500元的,其中500元给予九 折优惠,超过500元的给予八五折优惠;某人两 次去购物,分别付款176元和432元,如果他只 去一次购买同样的商品,则应付款 ( )

A.570.3元 C.590.5元

B.582.6元 D.600元

解析:由题意得付款 432 元时, 10 实际标价为 432× 9 =480 元, 如果一次购买标价 176+480=656(元)的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6(元).

答案:B

4.某种商品降价10%后,欲恢复原价, 则应提价________.
解析:设商品原价为 a,应提价为 x, 则有 a(1-10%)(1+x)=a, 1 10 1 ∴x= -1= 9 -1=9≈11.11%. 1-10%

答案:11.11%

5.某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时,换 装分时电价后,峰时段(早上8点至晚上21点)的 电价为0.55元/千瓦时,谷时段(晚上21时至次 日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时,对于一个 平均每月用电量为200千瓦时的家庭,要使节省 的电费不少于原来电费的10%,求这个家庭每 月峰时段的平均用电量至多为多少?

解:设每月峰时段用电量为 x 千瓦时,则有 (0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x) ≥200×0.52×10%, 解得 x≤118. 所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为 118 千瓦 时.

【例1】 国际上钻石的重量计量单位为 克拉.已知某种钻石的价值v(美元)与其 重量ω(克拉)的平方成正比,且一颗重为3 克拉的该种钻石的价值为54000美元. (1)写出v关于ω的函数关系式; (2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的 两颗钻石,求价值损失的百分率;

(3)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的 重量分别为m克拉和n克拉,试用你所学的数学 知识证明:当m=n时,价值损失的百分率最 大.
原有价值-现有价值 (注:价值损失的百分率= ×100%, 原有价值 钻石的切割过程中的重量损耗忽略不计)

解:(1)依题意设v=kω2, 又当ω=3时,v=54000,所以k=6000, 故v=6000ω2.
(2)设这颗钻石的重量为 a 克拉. 由(1)可知,按重量比为 1∶3 切割后的价值为 1 2 3 2 6000( a) +6000( a) . 4 4 价值损失为 1 2 3 2 6000a -[6000(4a) +6000(4a) ].
2

价值损失的百分率为

1 2 3 2 6000a -[6000( a) +6000( a) ] 4 4 ×100% 6000a2
2

=37.5%. 答:价值损失的百分率为 37.5%. (3)价值损失的百分率应为 6000(m+n)2-(6000m2+6000n2) ×100% 2 6000(m+n) m+n 2 2·( ) 2 2mn 1 = 2≤ 2 = . 2 (m+n) (m+n)

当且仅当m=n时等号成立. 即把一颗钻石切割成两颗钻石,当两颗钻 石的重量相等时,价值损失的百分率最 大.

变式迁移 1 某市现有从事第二产业人员100万 人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数), 现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流 后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创 造产值可增加2x%(0<x<100),而分流出的从 事第三产业的人员,平均每人每年可创造产值 1.2a万元.在保证第二产业的产值不减少的情 况下,分流出多少人,才能使该市第二、三产 业的总产值增加最多?

解:设分流出x万人,为保证第二产业的产值不 减少,必须满足(100-x)·a·(1+2x%)≥100a, 因为a>0,x>0,可解得0<x≤50. 设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元 则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a =-0.02a(x2-110x) 0.02 110 =-0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50],∴f(x)在(0,50]上单调递增, ∴当x=50时,f(x)max=60a,

因此在保证第二产业的产值不减少的情况 下,分流出50万人,才能使该市第二、三 产业的总产值增加最多.

【例 2】

(2009·湖北卷)围建一个面积为 360 m2 的矩形场

地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他 三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙 上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如 右图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用 的旧墙长度为 x(单位:m),维修此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元).

(1)将y表示为x的函数; (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总 费用最小,并求出最小总费用. 思路分析:(1)先由辅助未知数,即设矩 形的另一边长为a m,可以建立y,x,a 的关系,再根据条件用x表示a即可.(2) 利用基本不等式求解函数的最值.

解:(1)如右图所示,设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180·2a =225x+360a-360, 360 由已知 xa=360,得 a= x . 3602 所以 y=225x+ -360(x>0). x

(2)∵x>0, 3602 ∴225x+ x ≥2 225×3602=10800. 3602 -360≥10440. ∴y=225x+ x 3602 当且仅当 225x= 时,等号成立. x 最小总费用是 即当 x=24 m 时, 维修围墙的总费用最小, 10440 元.

本题主要考查函数、不等式的应用问题.考题 的命制,借助具体的情境,即修建矩形的场地 围墙的实际问题,将总费用与旧墙的长度这两 个量联系起来,建立起一个函数关系,这就和 第(2)问的利用均值不等式求函数最值密切联系 到一起了.可以说这个问题的命制是环环相扣 的,考查考生利用所学知识解决实际应用问题 的能力,同时也考查了考生的阅读理解能力.

变式迁移 2 某村计划建造一个室内面积 为800 m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿 左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通 道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩 形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面 积最大?最大面积是多少?

800 解:设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m. x ∴蔬菜种植面积 800 1600 y=(x-4)( x -2)=808-2(x+ x )(4<x<400), 1600 ∵x+ ≥2 x 1600 x· =80, x

∴y≤808-2×80=648(m2). 1600 当且仅当 x= x ,即 x=40 800 此时 x =20(m),y 最大=648 m2.

∴当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为 20 m时,蔬菜的种植面积最大,为648 m2.

【例 3】 (2009·江苏模拟)有一个受到污染的湖泊,其湖 水的容积为 V m3, 每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量, 都为 r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能 很好地混合.用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物 质的克数,我们称其为在时刻 t 时的湖水污染质量分数.已知 目前污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水,湖水污染质量 p? p ? r 分数满足关系式 g(t)= r +?g(0)- r ?e-Vt(p≥0), 其中 g(0)是湖 ? ? 水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质 量分数; p (2)求证:当 g(0)< 时,湖泊的污染程度将越来越严重; r (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止, 那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即 污染停时)污染水平的 5%?

解:仔细审题,透彻理解题意,其中(1)中即 g(t)为常数函 数;(2)中即证明 g(t)递增;(3)中转化为解方程即可. (1)设 0≤t1<t2, ∴g(t)为常数,∴g(t1)=g(t2),

r (3)污染源停止,即 p=0,此时 g(t)=g(0)·e- t. V 设要经过 t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水 平的 5%. r 即 g(t) 5%·g(0) g(t)=5%·g(0),即有 5%·g(0) g(0)·e 5%·g(0)=g(0)·e- t. V 1 r 由实际意义知 g(0)≠0,∴ =e- t. 20 V V V ∴t= ln20,即需要 ln20 天时间. r r

变式迁移 3 1999年10月12日“世界60 亿人口日”,提出了“人类对生育的选择 将决定世界未来”的主题,控制人口急剧 增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番,问 每年人口平均增长率是多少? (2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若 将人口平均增长率控制在1%以内,我国 人口在2008年底至多有多少亿?

以下数据供计算时使用:1.31 2.00 1.01 1.01 1.01
数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 0 5 7 0 0 0.00 0.00 0.00 0.11 0.30 43 65 73 73 10 3.00 5.00 12.4 13.1 13.7 0 0 8 1 8 0.47 0.69 1.09 1.11 1.13 71 90 62 76 92

解:(1)设每年人口平均增长率为 x,n 年前的人口数为 y, 则 y·(1+x)n=60,则当 n=40 时,y=30, 即 30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2, lg2 则 lg(1+x)= =0.007525, 40 ∴1+x≈1.017,得 x=1.7%.

(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392, ∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. 答:每年人口平均增长率为1.7%,2008年 人口至多有13.78亿.

【例4】 某地区的一种特色水果上市时 间能持续5个月,预测上市初期和后期会 因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中 期又将出现供大于求使价格连续下跌,现 有三种价格模拟函数: ①f(x)=p·qx; ②f(x)=logqx+p; ③f(x)=(x-1)·(x-q)2+p (以上三式中p、q均为常数,且q>2).

(1)为准确研究其价格走势,应选择哪种价格模 拟函数,为什么? (2)若f(1)=4,f(3)=6,求出所选函数f(x)的解 析式(注:函数的定义域是[1,6].其中x=1表示 4月1日,x=2表示5月1日,…,以此类推); (3)为保证果农的收益,打算在价格下跌期间积 极拓宽外销,请你预测该水果在哪几个月内价 格下跌.

解:(1)因为①f(x)=p·qx 是单调函数, ②f(x)=logqx+p 是单调函数, ③f(x)=(x-1)(x-q)2+p 中 f′(x)=3x2-(4q+2)x+q2+2q. q+2 令 f (x) 0 f′(x)=0,得 x q x x=q,x= , 3 所以 f(x)有两个极值点, 则可以出现两个递增区间和一个递减区间, 所以应选 f(x)=(x-1)(x-q)2+p 为其模拟函数,

(2)由 f(1)=4,f(3)=6
?p=4 ? 解之得? ?q=4 ?

?p=4 ? 得? ?2·(3-q)2+p=6 ?



(其中 q=2 舍去).

∴f(x)=(x-1)(x-4)2+4 =x3-9x2+24x-12(1≤x≤6). (3)由 f′(x)=3x2-18x+24<0, 解得 2<x<4. ∴函数 f(x)=x3-9x+24x-12 在区间(2,4)上单调递减. ∴这种水果在 5、6、7 月份价格下跌.

本题为开放性的探究题,函数模型是不确定的, 需要我们去探索尝试,主要是从题目给出的信 息中,确定函数的重要性质,例如函数的单调 性、奇偶性等,然后借助性质,对照函数的解 析式,选出符合要求的函数模型.同时注意检 验,然后再利用所求出的函数模型解决问题.

变式迁移 4 (2009·山东模拟)某个体经 营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐 月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品 金额(万元) ( ) 获纯利润(万元) 投资B种商品 金额(万元) 获纯利润(万元) 1 2 3 4 5 6

0.6 1.3 1.8 2 5 9 5 1 2 3 4

1.8 1.4 4 0 5 6

0.2 0.4 0.7 1 5 9 6

1.2 1.5 6 1

该经营者决定下月投入12万元经营这两种 产品,但不知投入A、B两种商品各多少才 最合算.请你帮助制定一个资金投入方案, 使得该经营者能获得最大利润,并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利 润(结果保留两个有效数字).

解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标, 在直角坐标系中画出散点图(如下图).

据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数 据之间的对应关系:y=-a(x-4)2+2(a>0)①, y=bx②, 把x=1,y=0.65代入①式,得0.65=-a(1- 4)2+2,解得a=0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资于A种商品的 金额的函数关系式可近似的用y=-0.15(x-4)2 +2表示. 再把x=4,y=1代入②式,得b=0.25,故前六 个月所获纯利润关于月投资于B种商品的金额的 函数关系可近似的用y=0.25x表示.

设下月投资于A种商品x万元,则投资于B 种商品为(12-x)万元,可获纯利润: y=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x) =-0.15x2+0.95x+2.6.
-0.95 当 x= ≈3.2 时, 2×(-0.15)

故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和 8.8万元,可获最大利润4.1万元.

4×(-0.15)×2.6-0.952 ymax= ≈4.1. 4×(-0.15)

解函数应用题的步骤 解应用题就是在阅读材料,理解题意的基础上, 把实际问题抽象转化为数学问题,然后再用相 应的数学知识去解决.基本程序如下:

解题步骤如下: ①阅读、审题:要做到简缩问题,删掉次 要语句,深入理解关键字句;为便于数据 处理,最后运用表格(或图形)处理数据, 便于寻找数量关系; ②建模:将问题简单化、符号化,尽量借 鉴标准形式,建立数学关系式; ③合理求解纯数学问题; ④解释并回答实际问题.


推荐相关:

函数模型及其应用复习课件(精).ppt

函数模型及其应用复习课件(精) - 1.11 函数模型及其应用 考纲点击 1.了


数学高考第一轮复习 函数模型及其应用课件.ppt

数学高考第一轮复习 函数模型及其应用课件 - 第9节 函数模型及其应用 最新考纲


2019届高考文科数学第一轮复习课件:函数模型及其应用.ppt

2019届高考文科数学第一轮复习课件:函数模型及其应用 - 第 9节 函数模型及其应用 考纲展示 1.了解指数函数、 对数函数、 幂函数的增 长特征,结合具体实例体会...


【新版】苏教版高中数学必修一《函数模型及其应用》复....ppt

【新版】苏教版高中数学必修一《函数模型及其应用复习课件【精品】 - 3.4.2 函数模型及其应用 学习目标 1 .了解指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的...


(北师大版文)2019届高考数学复习课件:函数模型及其应用.ppt

(北师大版文)2019届高考数学复习课件:函数模型及其应用 - 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.9 函数模型及其应用 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度...


2018届高考数学一轮复习函数模型及其应用课件人教A版.ppt

2018届高考数学一轮复习函数模型及其应用课件人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届高考数学一轮复习专题课件人教A版 §2.9 函数模型及其应用 考纲展示...


高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件:函数模型及其应用.ppt

高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件:函数模型及其应用 - 第九节 函数模型及其应用 【教材基础回顾】 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模...


2012高考数学总复习精品课件13:函数模型及其应用..ppt

2012高考数学总复习精品课件13:函数模型及其应用. - 第十三讲函数模型及其应用 1.三种常见的函数模型 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)...


2018届高三高考数学复习课件:2-9函数模型及其应用.ppt

2018届高三高考数学复习课件:2-9函数模型及其应用 - §2.9 函数模型及其应用 1.几类函数模型 2.三种函数模型的性质 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在...


2018届高考数学第一轮讲义复习课件31函数模型及其应用 精品推荐_....ppt

2018届高考数学第一轮讲义复习课件31函数模型及其应用 精品推荐_高考_高中教育_教育专区。一轮复习讲义 函数模型及其应用 要点梳理 (1)几类函数模型 函数模型 一次...


高考数学(理)一轮复习课件:1-10函数模型及其应用.ppt

高考数学(理)一轮复习课件:1-10函数模型及其应用 - 第一章 集合与函数 第10课时 函数模型及其应用 考纲下载 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特 征.体会...


高考数学总复习2.9函数模型及其应用课件文新人教A版.ppt

高考数学总复习2.9函数模型及其应用课件文新人教A版 - 2 .9 函数模型及其应用 -2- 考纲要求 1.了解指数函数、 对数 函数、幂函数的增长 特征,结合具体实例体...


高考数学(理)(全国)一轮复习课件:2.9函数模型及其应用.ppt

高考数学(理)(全国)一轮复习课件:2.9函数模型及其应用 - 第九节 函数模型及其应用 【教材基础回顾】 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 f(x)=ax+...


2013高考文科数学一轮复习课件:第14讲函数模型及其应用(精).ppt

2013高考文科数学一轮复习课件:第14讲函数模型及其应用(精) - 2 了解指


新课标高考数学理一轮复习课件:2.8_函数模型及其应用.ppt

新课标高考数学理一轮复习课件:2.8_函数模型及其应用 - 1.几类函数模型 y


高考数学一轮复习 第9讲 函数模型及其应用课件 理 新人教B.ppt

高考数学一轮复习 第9讲 函数模型及其应用课件 理 新人教B_其它课程_高中教育_教育专区。高考数学一轮复习 第9讲 函数模型及其应用课件 理 新人教B ...


2014高考数学一轮复习课件2.9函数模型及其应用.ppt

2014高考数学一轮复习课件2.9函数模型及其应用 - 第九节 函数模型及其应用 1.三种函数模型之间增长速度的比较 y=logax(a> 1) y=xn(n >0) 函数 性质 在(...


2019届文科一轮复习 人教A版 2.9函数模型及其应用 课件.ppt

2019届文科一轮复习 人教A版 2.9函数模型及其应用 课件_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 章 第九节 函数、导数及其应用 函数模型及其应用 栏目 导航 双基...


...一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文.ppt

2019届高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文 - 第九节 函数模型及其应用 总纲目录 教材研读 1.几种常见的函数模型 2.三种增长型函数模型的...


2011高考数学总复习课件2.8 函数模型及其应用.ppt

2011高考数学总复习课件2.8 函数模型及其应用 - §2.8 函数模型及其应用 基础知识 要点梳理 1.三种增长型函数模型的图象与性质 性函数 y=ax (a>1) y=logax (...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com