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高中数学第二章2-1-2第二课时指数函数及其性质的应用课件新人教A版必修


第 二 章 基 本 初 等 函 数

2.1.2

2.1

指 数 函 数

(I)

指 数 函 数 及 其 性 质

第二 课时 指数 函数 及其 性质 的应 用

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[研一题] [例1] 比较下列各题中两个值的大小.

(1)1.73.5,1.73
(2)2.3-0.28,0.67-3.1

[自主解答]

(1)∵指数函数y=1.7x是增函数,而3.5>3

故而1.73.5>1.73.
(2)∵y=2.3x为增函数, ∴2.3-0.28<2.30=1. 又∵y=0.67x为减函数, ∴0.67-3.1>0.670=1.

∴0.67-3.1>1>2.3-0.28,即0.67-3.1>2.3-0.28.

[悟一法] 在进行指数式的大小比较时: (1)指数不同,底数相同,利用指数函数的单调性来解

决;
(2)底数不同,指数也不同;采用中介值法,取a0=1作 为中介来比较.

[通一类] 1.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.82.2,1.83; (2)0.7-0.3,0.7-0.4; (3)1.90.4,0.92.4.

解:(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y=1.8x的两个函数值,
∵1.8>1,∴y=1.8x在R上为增函数, ∴1.82.2<1.83. (2)∵y=0.7x在R上为减函数, 又∵-0.3>-0.4,∴0.7-0.3<0.7-0.4. (3)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1, ∴1.90.4>0.92.4.

[研一题] [例2] 如果a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
[自主解答] ①当 a>1 时,∵a 7 ∴-5x>x+7,解得 x<- . 6 >ax 7, 7 ∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 ②当 0<a<1 时,∵a
+ -5x -5x

>ax 7,


7 综上所述,当 a>1 时,x 的取值范围是:x<- ; 6 7 当 0<a<1 时,x 的取值范围是:x>- . 6

若将“a-5x>ax+7(a>0,且a≠1)”改为“(a2+a+2)-
5x>(a2+a+2)x+7”,如何求解?

12 7 解:∵a +a+2=(a+2) +4>1,
2

∴y=(a2+a+2)x 在 R 上是增函数. 7 ∴-5x>x+7,即 x<-6, 7 ∴x 的取值范围是:x<-6.

[悟一法] 解指数不等式问题,需注意三点:

(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如
果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂 的形式,再借助y=ax的单调性求解; (3)形如ax>bx的形式,利用图像求解.

[通一类]
2.解下列不等式: 1x (1)2 >8;(2)(2) > 2;(3)0.32-x2>1.
x

解:(1)∵2x>8=23 且 y=2x 为增函数,∴x>3. 1x 1 1 1 1x (2)( ) > 2=2 =( )- 且 y=( ) 为减函数, 2 2 2 2 2 1 ∴x<- . 2 (3)0.32-x2>1=0.30 且 y=0.3x 为减函数, ∴2-x2<0,x> 2或 x<- 2.

[研一题] [例3] 某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg,如果该

乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长 4%,那么x年后若人均一年占有y kg粮食,求y关于x的函 数解析式.

[自主解答]

设该乡镇现在人口数量为 M,则该乡镇现

在一年的粮食总产量为 360M kg. 1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)kg,人口数 量为 M(1+1.2%), 360M?1+4%? 则人均一年占有粮食为 kg, M?1+1.2%?

360M?1+4%?2 2 年后,人均一年占有粮食为 kg, M?1+1.2%?2 360M?1+4%?x x 年后,人均一年占有粮食为 y= kg,即 M?1+1.2%?x 1.04 所求函数解析式为 y=360(1.012)x(x∈N*).

[悟一法] 某量原值为a,通过若干次变化,每次比上一次的 增长率或减少率为r,则x次后该量的值变为a(1+r)x或 a(1-r)x.

[通一类] 3.1980年我国人均收入255美元,到2000年人民生活达到小 康水平,人均收入为817美元,则年平均增长率是多少( 精确到1%)?若以不低于此增长率的速度递增,则到 2020年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)? 解:设年平均增长率是x,由题意得y=255×(1+x)n, 因为到2000年人均收入为817美元,

即n=2 000-1 980=20时,y=817, 所以817=255×(1+x)20.

所以x≈0.06.
到2020年,即n=2 020-1 980=40. 此时y=255×(1+0.06)40≈2 623. 即年平均增长率是6%,若以不低于此增长率的速度递增, 则到2020年人均收入至少是2 623美元.

已知a>0且a≠1,讨论函数f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
[巧思] 求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义

域, 然后把函数分解成 y=f(u), u=φ(x), 通过考查 f(u)和 φ(x) 的单调性,求出 y=f(φ(x))的单调性.一般情况下,两个函数 都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;若两个 函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定要注意复 合函数的定义域.这是一道与指数函数有关的复合函数讨论

3 2 17 3 单调性的题目,指数-x +3x+2=-(x-2) + 4 ,当 x≥2时
2

3 是减函数;当 x<2时是增函数,而 f(x)的单调性又与 a 的取 值范围有关,应分类讨论.

3 2 17 [妙解] 设 u=-x +3x+2=-(x- ) + , 2 4
2

3 3 则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x< 时,u 是增函数. 2 2 又因为当 a>1 时,y=au 是增函数,当 0<a<1 时,y=au 3 是减函数,所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a-x +3x+2 在[ , 2
2

3 +∞)上是减函数,在(-∞, )上是增函数. 2 3 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a-x +3x+2 在[ ,+ ∞) 2
2

3 上是增函数,在(-∞, )上是减函数. 2


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