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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:选修2-1第二章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第 1 课时 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 A级 一、选择题 基础巩固 x 2 y2 1.已知点(3,2)在椭圆 + =1 上,则( a2 b2 A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 ) D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭圆上. 答案:C 2.椭圆 C1: ( ) A.等长的长轴 C.相等的离心率 B.相等的焦距 D.等长的短轴 x 2 y2 x2 y2 + =1 和椭圆 C2: + =1(0<k<9)有 25 9 9-k 25-k 解析:依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距= 2 25-9=8,对于椭圆 C2:焦距=2 25-k-(9-k)=8. 答案:B 3.若焦点在 y 轴上的椭圆 ( ) A.1 3 B. 2 C. 3 8 D. 3 x 2 y2 1 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为 m 2 2 解析:由题意得 a2=2,b2=m, c 1 所以 c2=2-m,又 = , a 2 所以 2-m 2 1 3 = ,所以 m= . 2 2 答案:B x 2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右顶点为 A,点 a b → → B 在椭圆上, 且 BF1⊥x 轴, 直线 AB 与 y 轴交于点 P, 其中AP=2PB, 则椭圆的离心率为( A. 3 2 ) B. 2 2 1 C. 3 1 D. 2 解析:如图,△ABF1∽△APO, |AP| |AO| 2 a 则 = ,即 = . |AB| |AF1| 3 a+c c 1 所以 a=2c.,所以 e= = . a 2 答案:D x2 2 5.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 4 直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|的值为( A. 3 2 B. 3 D.4 ) 7 C. 2 答案:C 二、填空题 6.已知椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等 于 5,则此椭圆的标准方程是________. 解析:设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,焦距为 2c,则 b =1, a2+b2=( 5)2,即 a2=4. x2 2 y2 所以椭圆的标准方程是 +y =1 或 +x2=1. 4 4 x2 2 y2 答案: +y =1 或 +x2=1 4 4 x2 y2 1 7.已知椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 2 k+8 9 c2 k+8-9 1 解析:当 k+8>9 时,e = 2= = ,k=4; a 4 k+8 2 c2 9-k-8 1 5 当 k+8<9 时,e = 2= = ,k=- . a 9 4 4 2 5 答案:4 或- 4 8.若椭圆 ? 1? x 2 y2 + =1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作圆 x2+y2 a2 b2 ? ? =1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和 上顶点,则椭圆方程是________. 解析:因为 x=1 是圆 x2+y2=1 的一条切线.所以椭圆的右焦 点为(1,0),即 c=1. ? 1? 1 设 P?1,2?,则 kOP= ,因为 OP⊥AB,所以 kAB=-2,则直 2 ? ? 线 AB 的方程为 y=-2(x-1),它与 y 轴的交点为(0,2).所以 b=2, a2=b2+c2=5, x 2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 5 4 答案: x 2 y2 + =1 5 4 三、解答题 9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. 2 (1)离心率是 ,长轴长是 6; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦 距为 6. x 2 y2 y2 x 2 解:(1)设椭圆的方程为 + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0). a2 b2 a2 b2 c 2 由已知得 2a=6,e= = ,所以 a=3,c=2. a 3 所以 b2=a2-c2=9-4=5. x 2 y2 x 2 y2 所以椭圆方程为 + =1 或 + =1. 9 5 5 9 x 2 y2 (2)设椭圆方程为 + =1(a>b>0). a2 b2 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 上 的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b, 所以 c=b=3,所以 a2=b2+c2=18, 故所求椭圆的方程为 x 2 y2 + =1. 18 9 x 2 y2 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1(-c,0),A(-a, a b 0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若 F1 到直线 AB 的距离为 圆的离心率. x y 解:依题意,直线 AB 的方程为 + =1, -a b 即 bx-ay+ab=0. |-bc+ab| 所以焦点 F1 到 AB 的距离 d= , 2 2 a +b 所以 b|a-c| = 7 b. 7 b ,求椭 7 a2+b2 两边平方,整理得 8c2-14ac+5a2=0. 两边同除以 a2,得 8e2-14e+5=0, 1 5 1 所以 e= 或 e= (舍去).因此离心率为 . 2 4 2 B级 能力提升 x 2 y2 + =1(a>b>0)两个焦 a2 b2 2π 时,△F1PF2 的面 3 1.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆 点,点 P 在椭圆上,∠F1PF2=α,且当 α= 积最大,则椭圆的标准方程为( x 2 y2 A. + =1 12 3 x 2 y2 C. + =1 15 6 ) x 2 y2 B. + =1 14 5 x 2 y2 D. + =1 16 7 解析:因为当点 P 在短轴端点时,S

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