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2016届高考数学应用题最新信息题_图文

2016 届高考数学应用题最新信息题
1.右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在圆的圆心 为 O.为了调节仓库内的湿度和温度, 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E, F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP⊥AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10 m,MP=6.5 m, 2 记通风窗 EFGH 的面积为 S m . (1)按下列要求建立函数关系式: ①设∠POF=θ(rad),将 S 表示成θ的函数; ②设 MN=x(m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大? 【解析】 :(1) 由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. ①在 Rt△ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ. 在矩形 EFGH 中,EF=2NF=20sinθ, FG=ON-OM=10cosθ-3.5,故 S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).即所 7 求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中 cosθ0= ,θ0 为锐角. 20 ② 因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 351 2 2 2 2 -7x-x . 在 Rt△ONF 中,NF= OF -ON = 100-(x+3.5) = 4 2 在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x ,FG=MN=x, 2 故 S=EF×FG=x 351-28x-4x . 2 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x ,0<x<6.5. (2) (方法 1)选择①中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ-7), 2 即 f′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos θ-7cosθ-20. 4 5 2 由 f′(θ)=40cos θ-7cosθ-20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=- . 5 8 4 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 5 4 设 cosα= ,且α为锐角,则当θ∈(0,α)时,f′(θ)>0,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时, 5 4 f′(θ)<0,f(θ)是减函数,所以当θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值.即 5 MN=10cosθ-3.5=4.5 m 时,通风窗的面积最大. (方法 2)选择②中的函数模型: 2 2 2 2 因为 S= x (351-28x-4x ),令 f(x)=x (351-28x-4x ),则 f′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). 9 9 13 因为当 0<x< 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 2 2 2 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值.即 MN=x=4.5 m 时,通风窗的面积最大. 2

2.如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD,其中 AB、CD、DA 都是线段,曲线段 BC 是抛物线的一部分, 且点 B 是该抛物线的顶点,BA 所在直线是该抛物线的对称轴,经测量,AB=2 米,AD=3 米,AB⊥AD, 点 C 到 AD、AB 的距离 CH、CR 的长均为 1 米,现要用这块边角料截一个矩形 AEFG(其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上,点 E 在线段 AD 上,点 G 在线段 AB 上).设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时,S 取得最大值,最大值是多少?

【解析】 :(1)以点 B 为坐标原点,BA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 设曲线段 BC 所在抛物线方程为 y2=2px(p>0). 将点 C(1,1)代入,得 2p=1.所以曲线段 BC 的方程为 y= (0≤x≤1). 又由点 C(1,1),D(2,3)得线段 CD 的方程为 y=2x﹣1(1≤x≤2), 而 GA=2﹣x,所以 (2)①当 0<x≤1 时,因为 所以 当 所以当 时, ,令 S′=0 得 . 时,S′<0,所以此时 S 递减, , ,

时,S′>0,所以此时 S 递增;当 .

②当 1<x<2 时,因为 所以当 x= 时, .综上,因为 ,所以当 . 米时,

. .

答:当 x 取值为 米时,矩形 AEFG 的面积最大为

3.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为 10cm 的圆形包装纸包装. 要求如下: 正三棱锥的底面中心与包装 纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好 达到三棱锥的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 xcm, 3 体积为 Vcm .在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中, V 的最大值是多少?并求此时 x 的值. 【解析】 :正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h ,高为 h . 0 由题意得: 3 x+h =10, 0 6 (10- 3 解得 h =10- x. 0 6 3 2 x x) - = 6 12
2

2分

则 h=

x2 h 2- = 0 12

10 3 100- x ,x∈(0,10 3) 5 分 3 100- 10 3 3x x= 3 12
2

1 1 3 2 所以,正三棱锥体积 V= Sh= × x × 3 3 4
5 4 10x x4 10 3 100x 设 y=V = (100- x)= - , 48 3 48 48 3 2

100-
4

10 3 x. 3

…8 分

3 50x 100x 求导得 y′= - 12 48 3

令 y′=0,得 x=8 3,…10 分

当 x∈(0,8 3)时,y′>0,y 随着 x 的增加而增大,

当 x∈(8 3,10 3)时,y′<0,y 随着 x 的增加而减小,
3 所以,当 x=8 3 cm 时,y 取得极大值也是最大值.…12 分,此时 y=15360,所以 Vmax=32 15 cm . 3 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm .

…14 分

4.如图,海岸线 MAN,∠A=2θ,现用长为 l 的拦网围成一养殖场,其中 B∈MA,C∈NA. (1)若 BC=l,求养殖场面积最大值; (2)若 B、C 为定点,BC<l,在折线 MBCN 内选点 D,使 BD+DC=l,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积; 【解析】:设 AB=x,AC=y,x>0,y>0. ,



, 所以,△ABC 面积的最大值为 ,当且仅当 x=y 时取到. (2)设 AB=m,AC=n(m,n 为定值). BC=2c(定值), 由 DB+DC=l=2a,a= l,知点 D 在以 B、C 为焦点的椭圆上, 只需△DBC 面积最大,需此时点 D 到 BC 的距离最大,即 D 必为椭圆短轴顶 点. 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 面积的最大值为 . 为定值.



5. (常州市 2016 届高三上期末)如图,直线 l 是湖岸线,O 是 l 上一点,弧 AB 是以 O 为圆心的半圆形 栈桥,C 为湖岸线 l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛 D,同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥 上且不与点 A,B 重合)建栈桥.考虑到美观需要,设计方案为 DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部, 已知 BC=2OB=2(km) , 没湖岸 BC 与直线栈桥 CD, DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区域 (图 2 中阴影部分)的面积为 S(km ) ,∠BOP= ? . ? (1)求 S 关于 的函数关系式; (2)试判断 S 是否存在最大值,若存在,求出对应的 cos ? 的值,若不存在,说明理由.

6. (泰州市 2016 届高三第一次模拟) 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, AB ? 1 米,如图所示. 小球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后, 经弹射器以 6v 的 速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内, 落点记为 F . 设 ?AOE ? ? 弧度, 小球从 A 到 F 所需时间为 T . (1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.

【解析】 : (1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,

OF ?

OG 1 1 , EF ? 1 ? , AE ? ? , ? sin ? sin ? sin ?

所以 T (? ) ?

AE EF ? 1 1 π 3π ? ? ? ? ,? ?[ , ] .…7 分 5v 6v 5v 6v sin ? 6v 4 4

(写错定义域扣 1 分)

? 1 1 ? ? , 5v 6v sin ? 6v 1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2 cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ,…………9 分 T ?(? ) ? ? ? ?? 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ? 2 π 3π ], 记 cos ? 0 ? , ? 0 ? [ , 3 4 4
(2) T (? ) ?

?
T ?(? ) T (? )
故当 cos ? ?

( ,?0 ) 4
-

?

?0
0

(? 0 ,

3? ) 4

+

2 时,时间 T 最短. 3

…………14 分

7.(本小题满分 14 分) 某市近郊有一块大约 500m ? 500m 的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场, 首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为 3000 平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度 为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同) ,塑胶运动 场地占地面积为 S 平方米.

x米

a a

y米

(1)分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式,并给出定义域; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值. 【解析】 : (1)由已知 xy ? 3000 ,? y ?

S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6)a ? (2 x ? 10)a, 3000 ?6 y?6 1500 又? y ? 2a ? 6 ,? a ? ? x ? ?3, 2 2 x 1500 15000 S ? (2 x ? 10)( ? 3) ? 3030 ? ( ? 6 x ) ,其定义域是 (6,500) . x x 15000 15000 (2) S ? 3030 ? ( ? 6 x ) ? 3030 ? 2 6 x ? ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 , x x

3000 ,其定义域是 (6,500) . x

15000 ? 6 x ,即 x ? 50 ? (6,500) 时,上述不等式等号成立, x 此时, x ? 50 , y ? 60 , S max ? 2430 . 答:设计 x ? 50 m , y ? 60m 时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米.
当且仅当 考点:1.基本不等式; 8. (本题满分 16 分)如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等 按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两个顶点 A、B 在半圆 上, AB / / CD / / PQ ,且 AB、CD 间的距离为 1km.设四边形 ABCD 的周长为 c km.

腰直角三角形 ?PRQ 构成,其中 O 为 PQ 的中点. 现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD ,

(1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长;[来源:学_科_网] (2)求周长 c 的最大值. 【解析】 : (1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M 、N ,连结 OB , ∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,∴ CD ?

? ?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,? RO ? NO ? 1 1 1 RO ? .∵ MN ? 1 ,∴ MO ? . 2 2 2

1 PQ ? 1 , 2
4分

1 PQ ? 1 , 2

在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? ∴ AB ? 2 BM ? 3 .

BO 2 ? OM 2 ?

3 , 2
8分

? (2)解法1 设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ? . 2 在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos ? . ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1 ? ON ? OM ? cos ? ,
∴ ∴

BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ,

10 分 12 分

c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 )

? 2 2 (sin ? ? cos ? ) 2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , (当 ? ?

? 5? 或 时,周长 c 的最大值为 2 6 km . 16分 12 12 解法2 以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系.
∴当 ? ?

? 5? 或 时取等号) 12 12

设 B (m, n), m, n ? 0, m ? n ? 1, C (m ? 1, m) ,

2

2

BC ? AD ? 1 ? (m ? n) ∴ AB ? 2 n , CD ? 2m , .


2

9分 10 分

c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(m ? n ? 1 ? (m ? n) 2 )

? 2 2 ( m ? n) 2 ? ( 1 ? ( m ? n) 2 ) 2 ? 2 6 , 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时取等号) 4 4 4 4 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ∴当 m ? ,n ? 或m ? ,n ? 时, 4 4 4 4 周长 c 的最大值为 2 6 km .16 分
(当 m ? 考点:直线与圆位置关系,基本不等式求最值 13 分

9.某地要建一座八边形(不一定为正八边形)的展馆区(如图) ,它的主体造型的平面图是由二个相 2 同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型地域,计划在正方形 MNPQ 上建一座“观
2 2

(1)用 x 表示矩形 ABCD 的边 AB 的长 (2)试建立 S 与 x 的函数关系 S ( x ) (3)当 x 为何值时, S ( x ) 最小?并求这个最小值

景花坛” ,造价为 4200 元/m ,在四个矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为 210 元/m ,再 2 在四个空角(如 ?DQH 等)上铺草坪,造价为 80 元/m . 设总造价为 S 元, AD 长为 x m.

【解析】 : (1)由 S矩形ABCD ? S矩形EFGH ? S正方形MNPQ ? 200 得:

AB ? x ? EH ? x ? x 2 ? 200 200 ? x 2 100 x ? AB ? ? ? . 2x x 2
(2) S ?AME ? S ?BNF ? S ?CPG ? S ?HQD ?

1 ? [ AM ? ME ? BN ? ME ? CP ? HQ ? DQ ? QH ] 2 1 ? [( AM ? BN ) ? ME ? (CP ? DQ ) ? QH ] 2 1 ? ( AM ? BN ) ? ( ME ? QH ) 2 1 1 ? ( AB ? x) ? ( EH ? x) ? ( AB ? x) 2 2 2

1 ( AM ? ME ? BN ? NF ? CP ? PG ? DQ ? QH ) 2

1 100 x 1 100 x 2 ( ? ? x)2 ? ( ? ) 2 x 2 2 x 2 2 S ( x ) ? 4200 x ? 210(200 ? x 2 ) ? 80 ? ( S?AME ? S?BNF ? S?CPG ? S?HQD ) ? ? 1 100 x 2 ? 4200 x 2 ? 210(200 ? x 2 ) ? 80 ? ( ? ) 2 x 2 400000 ? 4000 x 2 ? ? 38000 x2 400000 100 ? 38000 ? 4000( x 2 ? 2 ) ? 38000 ? S ( x ) ? 4000 x 2 ? 2 x x 100 2 (3) S ( x) ? 4000( x ? 2 ) ? 38000≥38000 ? 2 ? 4000 100 ? 118000 x
100 ,即 x ? 10 时, S ( x ) min ? 118000 x2 所以当 x ? 10 米时, S ( x) 有最小值为 118000 元.
当且仅当 x 2 ?

10. (本小题满分 14 分)为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经 测算,处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为: y ? x ? 40 x ? 900 , (1)当处理量为多少吨时, 每吨的平均处理成本最少? (2)若每处理一吨废弃物可得价值为 20 万元的某种产品, 同时获得国家补贴 10 万元.当 x ? ? 20, 25?
2

时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少 万元,该工厂才不 会亏损? 【解析】 : (1)设平均处理成本为 Q ? 当且仅当 x ?

900 时等号成立,由 x ? 0 得 x ? 30 . x 因此,当处理量为 30 吨时,每吨的处理成本最少为 20 万元. (2)根据题意得,利润 P 和处理量 x 之间的关系:
? ? ? x ? 35 ? ? 325
2

y 900 900 ? x? ? 40 ? 2 x ? ? 40 ? 20 , x x x

4分

6 分. 8分

P ? (20 ?10) x ? y ? 30 x ? x 2 ? 40 x ? 900 ? ? x 2 ? 70 x ? 900


x ? ? 20, 25?

.
2

∵ x ? 35 ? [20, 25] , P ? ? ? x ? 35 ? ? 325 在 [20, 25] 上为增函数, 可求得 P ? [100, 225] . ∴能获利,当处理量为 25 吨时,最大利润为 225 万元. 考点:基本不等式求最值,二次函数求最值

10 分 12 分 14 分

11.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不低于原收入, 该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略 1 2 改革, 并提高定价到 x 元. 公司拟投入 (x -600)万元作为技改费用, 投入 50 万元作为固定宣传费用, 6

1 投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使 5 明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. x-25 8- ×0.2 【解析】 :(1) 设每件定价为 x 元,依题意,有 1 x≥25×8,整理得 x2-65x+1 000≤ 0,解得 25≤x≤40.∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 2 1 150 1 (2) 依题意,x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解, 等价于 x>25 时,a≥ + x 6 5 x 6 1 150 1 150 1 + 有解,∵ + x≥2 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴ a≥10.2.∴ 当该商品 5 x 6 x 6 明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此 时该商品的每件定价为 30 元. 12.如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 3 米的扇形区域 OCD,河的另一侧是一段 笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离) ,且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直,设 OB 与 圆弧 CD 的交点为 E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45? , 30? 和 60? . (1)求烟囱 AB 的高度; (2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长.

l

(第 12 题) 【解析】 : (1)设 AB 的高度为 h , 在△CAB 中,因为 ?ACB ? 45? ,所以 CB ? h , ………………………………1 分 在△OAB 中,因为 ?AOB ? 30? , ?AEB ? 60? , ………………………………2 分 3 所以 OB ? 3h , EB ? h , ………………………………………………………4 分 3 3h 由题意得 3h ? ………………………………………6 分 ? 10 3 ,解得 h ? 15 . 3 答:烟囱的高度为 15 米. ……………………………………………………………7 分 OC 2 ? OB 2 ? BC 2 300 ? 225 ? 3 ? 225 5 ? ? ,………10 分 (2)在△OBC 中, cos ?COB ? 6 2OC ? OB 2 ? 10 3 ? 15 3 5 所以在△OCE 中, CE 2 ? OC 2 ? OE 2 ? 2OC ? OE cos ?COE ? 300 ? 300 ? 600 ? ? 100 .……13 分 6 答:CE 的长为 10 米. ……………………………………………………………14 分

13.为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本 y(万 2 元)与处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y=x -40x+900, (1) 当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?

(2) 若每处理一吨废弃物可得价值为 20 万元的某种产品, 同时获得国家补贴 10 万元. 当 x∈[20,25] 时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少 万元,该工厂才不会亏损? y 900 900 900 【解析】 :(1) 设平均处理成本为 Q= =x+ -40≥2 x· -40=20,当且仅当 x= 时等号 x x x x 成立,由 x>0 得 x=30. 因此,当处理量为 30 吨时,每吨的处理成本最少为 20 万元. (2) 根据题意得,利润 P 和处理量 x 之间的关系: 2 2 2 P=(20+10)x-y=30x-x +40x-900=-x +70x-900=-(x-35) +325,x∈[20,25]. 2 ∵ x=35 [20,25],P=-(x-35) +325 在[20,25]上为增函数,可求得 P∈[100,225]. ∴ 能获利,当处理量为 25 吨时,最大利润为 225 万元.

14.如图,一条河流的两侧各有一个水泵站 M、N,负责向两岸引水浇灌.已知河流的宽度(两条河岸 线之间的距离)为 100 米,MA 垂直河岸线(河岸线看作是两条平行直线),A 为垂足,AN 的长度为 500 米.水利部门欲在 MN 两点之间用电缆连接,其中 MB、NC 在河岸线上,用地下电缆,BC 之间用水下电 缆,地下电缆和水下电缆的造价分别为每米 1 百元和 2 百元.设 BC 与 MA 的夹角为θ,工程总造价为 θ的函数 f(θ). (1) 求 f(θ)的表达式,并写出θ的取值范围; (2) 求 f(θ)的最小值以及相应的θ的值.

【解析】 :(1) 如图,过 B 作 BD⊥AC,垂足为 D,

由题意得∠DBC=θ(0≤tanθ≤5),故有 DC=100tanθ,BC= MB+NC=500-100tanθ,

100 , cosθ

100 100sinθ 200 sinθ-2 所以 f(θ)=(500-100tanθ)×1+ ×2=500- + =500-100· , cosθ cosθ cosθ cosθ π 其中 0≤θ≤θ0< ,tanθ0=5. 2 sinθ-2 π (2) 设 g(θ)= (其中 0≤θ≤θ0< ,tanθ0=5), cosθ 2 cosθcosθ-(-sinθ) (sinθ-2) 1-2sinθ 则 g′(θ)= = . 2 2 cos θ cos θ 1 π 令 g′(θ)=0 得 1-2sinθ=0,即 sinθ= ,得θ= . 2 6 列表 θ g′(θ) g(θ) 所以当θ= π 0, 6 + 单调递增 π 6 0 极大值 π ,θ0 6 - 单调递减

π 时有 g(θ)max=- 3,此时有 f(θ)min=500+100 3. 6

答:工程总造价最小为 500+100 3百元,相应的角θ=

π . 6

15.某风景区在一个直径 AB 为 100 m 的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点 A 与圆弧 上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点 C 到点 B 设计为沿弧 BC 的弧 形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.(注:小路及绿化带的宽度忽略不计) (1) 设∠BAC=θ(rad),将绿化带总长度表示为θ的函数 s(θ); (2) 试确定θ的值,使得绿化带总长度最大.

【解析】 :(1) 如图,连结 BC,设圆心为 O,连结 CO. 在 Rt△ABC 中,AB=100,∠BAC=θ,所以 AC=100cosθ. 由于∠BOC=2∠BAC=2θ,所以弧 BC 的长为 50×2θ=100θ. 所以 s(θ)=2×100cosθ+100θ,即 s(θ)=200cosθ+100θ,θ∈ π (2) s′(θ)=100(-2sinθ+1),令 s′(θ)=0,则θ= ,列表如下: 6 π π π π 0, , θ 6 6 6 2 s′(θ) + 0 - s(θ) 极大值 π 所以,当θ= 时,s(θ)取极大值,即为最大值. 6 π 答:当θ= 时,绿化带总长度最大. 6 0, π 2 .

16.如图 1,有一块形状为等腰直角三角形的薄板,腰 AC 的长为 a 米(a 为常数),现在斜边 AB 上选 一点 D,将△ACD 沿 CD 折起,翻扣在地面上,做成一个遮阳棚,如图 2.设△BCD 的面积为 S,点 A 到 直线 CD 的距离为 d. 实践证明,遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比,比例系数为 k(k 为常数,且 k>0). (1) 设∠ACD=θ,试将 S 表示为θ的函数; (2) 当点 D 在何处时,遮阳效果最佳(即 y 取得最大值)?

BC CD 【解析】 :(1) 在△BCD 中, = , sin∠CDB sin∠B a a CD ∴ = ,∴ CD= sin(θ+45°) sin45° 2sin(θ+45°) 2 1 2a cosθ ∴ S= BC·CD·sin∠BCD= ,0<θ<90°. 2 4sin(θ+45°) 3 3 2ka sinθcosθ ka sinθcosθ (2) d=asinθ,y=kSd= = 4sin(θ+45°) 2(sinθ+cosθ)

令 sinθ+cosθ=t,则 t∈(1, 2], sinθcosθ=

t -1 , 2

2

1 3 2 3 ka (t -1) ka t- t 在区间(1, 2]上单调递增, ∴ y= = 4t 4 π ∴ 当 t= 2时 y 取得最大值,此时θ= ,即 D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳. 4

17.如图,在 P 地正西方向 8 km 的 A 处和正东方向 1 km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD, 现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F. 为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路 π 0<α< 2 . PE 和 PF.设∠EPA=α (1) 为减少对周边区域的影响,试确定 E、F 的位置,使△PAE 与△PFB 的面积之和最小; (2) 为节省建设成本,试确定 E、F 的位置,使 PE+PF 的值最小.

【解析】 :(1) 在 Rt△PAE 中,由题意可知∠APE=α,AP=8,则 AE=8tanα. 1 所以 S△PAE= PA×AE=32tanα. 2 1 1 1 同理在 Rt△PBF 中,∠PFB=α,PB=1,则 BF= , 所以 S△PBF= PB×BF= . tanα 2 2tanα 1 1 故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32tanα+ ≥2 32tanα× =8, 2tanα 2tanα 1 1 当且仅当 32tanα= ,即 tanα= 时取“=” , 2tanα 8 故当 AE=1 km, BF=8 km 时,△PAE 与△PFB 的面积之和最小. 8 (2) 在 Rt△PAE 中,由题意可知∠APE=α,则 PE= . cosα 1 同理在 Rt△PBF 中,∠PFB=α,则 PF= . sinα 8 1 π 令 f(α)=PE+PF= + ,0<α< , cosα sinα 2 3 3 8sinα cosα 8sin α-cos α 则 f′(α)= - = , 2 2 2 2 cos α sin α sin αcos α 1 1 π 令 f′(α)=0,得 tanα= ,记 tanα0= ,0<α0< , 2 2 2 当α∈(0,α0)时,f′(α)<0,f(α)单调减; π α0, 当α∈ 2 时,f′(α)>0,f(α)单调增. 1 所以 tanα= 时,f(α)取得最小值, 2 1 BP 此时 AE=AP·tanα=8× =4,BF= =2. 2 tanα 所以当 AE 为 4 km,且 BF 为 2 km 时,PE+PF 的值最小.

18.(2015·南京一模)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,设计方案中,体育馆侧面的外轮廓线为 如图乙所示的封闭曲线 ABCD.曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t)(0<t≤25,单位: 2 m),曲线 BC 是抛物线 y=-ax +50(a>0)的一部分,CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建 体育馆的高 OB=50 m.

(1) 若要求 CD=30 m,AD=24 5 m,求实数 t 与 a 的值; (2) 若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 m,求实数 a 的取值范围; 1 (3) 若 a= ,求 AD 的最大值. 25 1 参考公式:若 f(x)= a-x,则 f′(x)=- 2 a-x 【解析】 :(1) 因为 CD=50-t=30,解得 t=20. 2 2 2 此时圆 E:x +(y-20) =30 ,令 y=0,得 AO=10 5,所以 OD=AD-AO=24 5-10 5=14 5. 1 2 将点 C(14 5,30)代入 y=-ax +50(a>0)中,解得 a= . 49 t 2 (2) 因为圆 E 的半径为 50-t,所以 CD=50-t,在 y=-ax +50 中令 y=50-t,得 OD= ,则由 a t 题意知 FD=50-t+ ≤75 对 t∈(0,25]恒成立, a 25 25 25 1 所以 ≤ t+ 恒成立,而当 t= ,即 t=25 时, t+ 取最小值 10, a t t t 1 1 故 ≤10,解得 a≥ . a 100 1 2 2 2 (3) 当 a= 时,OD=5 t,又圆 E 的方程为 x +(y-t) =(50-t) ,令 y=0,得 x=±10 25-t, 25 所以 AO=10 25-t.从而 AD=f(t)=10 25-t+5 t(0<t≤25). 1 1 - + 5( 25-t-2 t) 因为 f′(t)=5 25-t 2 t = , 2 25-t· t 令 f′(t)=0,得 t=5, 当 t∈(0,5)时,f′(t)>0,f(t)单调递增;当 t∈(5,25)时,f′(t)<0,f(t)单调递减,从而当 t =5 时,f(t)取最大值为 25 5. 答:当 t=5 m 时,AD 的最大值为 25 5 m.

19.如下图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园,种植桃树,已知角 A 为 120°, AB、AC 的长度均大于 200 m.现在边界 AP、AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1) 若围墙 AP、AQ 总长为 200 m,如何围可使三角形地块 APQ 的面积最大? (2) 已知 AP 段围墙高 1 m,AQ 段围墙高 1.5 m,造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了 20 000 元, 问如何围可使竹篱笆用料最省?

【解析】 :设 AP=x m,AQ=y m. x+y 2 1 3 3 (1) x+y=200,△APQ 的面积 S= xysin120°= xy.∴ S≤ 2 =2 500 3.当且仅当 x=y= 2 4 4 100 时取“=” . (2) 由题意得 100×(1·x+1.5·y)=20 000,即 x+1.5y=200. 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以 2 2 2 2 2 PQ =x +y -2xycos120°=x +y +xy 400 0<y< 2 2 2 3 . =(200-1.5y) +y +(200-1.5y)y=1.75y -400y+40 000 800 200 21 200 当 y= 时,PQ 有最小值 ,此时 x= . 7 7 7 2 答:(1) 当 AP=AQ=100 m 时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2 500 3 m ; 200 800 (2) 当 AP= m,AQ= m 时,可使竹篱笆用料最省. 7 7

20.某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛 O 附近.现派出四艘搜救船 A,B,C,D,为方便联 络,船 A,B 始终在以小岛 O 为圆心,100 海里为半径的圆周上,船 A,B,C,D 构成正方形编队展开 搜索,小岛 O 在正方形编队外(如图).设小岛 O 到 AB 的距离为 x,∠OAB=α,D 船到小岛 O 的距离 为 d. (1) 请分别求 d 关于 x,α的函数关系式 d=g(x),d=f(α),并分别写出定义域; (2) 当 A、B 两艘船之间的距离是多少时?搜救范围最大(即 d 最大).

【解析】 :设 x 的单位为百海里. (1) 由∠OAB=α,AB=2OAcosα=2cosα,AD=AB=2cosα. π α+ 2 2 2 在△AOD 中,OD=f(α)= OA +AB -2×OA×ABcos 2 = 1+4cos α+4cosαsinα, π 0, 2 . α∈ 2 2 若小岛 O 到 AB 的距离为 x,AB=2 1 -x , 2 AB 2 (x+AD) + 2 = -4x2+4x 1-x2+5,x∈(0,1). OD=g(x)= 2 2 (2) OD =4cos α+1+4cosαsinα 1+cos2α sin2α =4× +1+4× =2(sin2α+cos2α)+3 2 2 π π 2α+ 0, =2 2sin 4 +3,α∈ 2 .

π 5π , π π π π π 当 2α+ ∈ 4 4 ,则 2α+ = ,即α= 时,OD 取得最大值,此时 AB=2cos =2× 4 4 2 8 8 π 1+cos 4 = 2+ 2(百海里). 2 答:当 AB 间距离为 100 2+ 2海里时,搜救范围最大.

21.两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处 理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影 响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计 调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比, 比例系数为 k, 当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时, 对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1) 将 y 表示成 x 的函数; (2) 讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由. 4 k 2 2 【解析】 :(1) 如图,由题意知:AC⊥BC,BC =400-x ,y= 2+ (0<x<20),当垃圾处理厂 2 x 400-x 建在弧 AB 的中点时,垃圾处理厂到 A、B 的距离都相等,且为 10 2 km, 4 k 所以有 0.065= + ,解得 k=9, 2 2 (10 2) (10 2) 4 9 所以 y= 2+ (0<x<20). 2 x 400-x

4 9 4 2 + 8 18x 10x +6 400x -1 280 000 2 2 4 (2)因为 y′= x 400-x ′=- 3+ = ,令 y′>0,得 x + 2 2 3 2 2 x (400-x ) x (400-x ) 4 9 2 2 640x -128 000>0, 解得 x >160, 即 x>4 10.又 0<x<20, 所以函数 y= 2+ 在 x∈(0, 4 10) 2 x 400-x 上是减函数,在 x∈(4 10,20)上是增函数,所以当 x=4 10时,y 取得最小值,所以在弧 AB 上存在 一点,且此点到城市 A 的距离为 4 10 km,使建在此处的垃圾处理厂对城市 A、B 的总影响度最小.

22.某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园 区.已知 AB⊥BC,OA∥BC 且 AB=BC=2AO=4 km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的 一段. (1) 建立适当的坐标系,求曲线段的方程; (2) 如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一个顶点落在曲线段 OC 上,问:如何规划才能 2 使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积.(精确到 0.1 km )

【解析】 :(1) 以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系.如图,依题意可设抛物线方程为 y 1 2 2 =2px(p>0),且 C(4,2)在抛物线上.∵ 2 =2p·4,∴ p= .故曲线段 OC 的方程为 y =x(0≤x≤4, 2 y≥0).

2

(2) 设 P(y ,y)(0≤y≤2)是曲线段 OC 上的任意一点,则在矩形 PQBN 中,|PQ|=2+y,|PN|=4-y . 2 3 2 ∴ 工业区面积 S=|PQ|·|PN|+(2+y)(4-y )=-y -2y +4y+8. 2 2 S′=-3y -4y+4,令 S′=0,得 y1= ,y2=-2. 3 2 ∵ 0<y<2,∴ y= . 3 2 0, 3 时,S′>0,S 是 y 的增函数; 当 y∈ 2 ,2 当 y∈ 3 时,S′<0,S 是 y 的减函数. 2 8 32 2 ∴ 当 y= 时,S 取到极大值,此时|PQ|=2+y= ,|PN|=4-y = . 3 3 9 8 32 256 故 S= × = ≈9.5. 3 9 27 2 ∵ 当 y=0 时,S=8,∴ Smax=9.5(km ). 32 8 答:当矩形的长为 km,宽为 km 时,工业园区的面积最大,约为 9.5 km2. 9 3

2

2

23.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 km(忽略内、外环线长度差异). (1) 当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 min,求内环线列车的最 小平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 km/h,外环线列车平均速度为 30 km/h.现内、外环 线共有 18 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 min,问:内、外 环线应各投入几列列车运行? 30 【解析】 :(1) 设内环线列车运行的平均速度为 v km/h,由题意可知 ×60≤10 v≥20.所以,要使 9v 内环线乘客最长候车时间为 10 min,列车的最小平均速度是 20 km/h. (2) 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间 72 60 - 30 72 30 60 分别为 t1、 t2 min, 则 t1= ×60= , t2= ×60= .于是有|t1-t2|= x 18-x 25x x 30(18-x) 18-x 2 x -150x+1 296≤0, 150- 17 316 -114+ 18 180 ≤1 ≤x≤ . 2 2 2 x +114x-1 296≤0 又 x∈N*,所以 x=10,所以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长 候车时间之差不超过 1 min.

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24. 在路边安装路灯, 灯柱 AB 与地面垂直, 灯杆 BC 和灯柱 AB 所在平面与道路垂直, 且∠ABC=120°, 路灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知∠ACD=60°,路宽 AD=24 m.设灯柱 高 AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°). (1) 求灯柱的高 h(用θ表示); (2) 若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S,求 S 关于θ的函数表达式,并求出 S 的最小值.

【解析】 :(1) ∵ ∠ABC=120°,∠ACB=θ,∴ ∠BAC=60°-θ. ∵ ∠BAD=90°,∴ ∠CAD=30°+θ. ∵ ∠ACD=60°,∴ ∠ADC=90°-θ. AD AC 24cosθ 在△ACD 中,∵ = ,∴ AC= =16 3cosθ. sin∠ACD sin∠ADC sin60° AB AC ACsinθ 在△ABC 中,∵ = ,∴ AB= =16sin2θ,即 h=16sin2θ. sin∠ACB sinB sin120° BC AC (2) 在△ABC 中,∵ = , sin∠BAC sinB ACsin(60°-θ) ∴ BC= =32cosθsin(60°-θ)=8 3+8 3cos2θ-8sin2θ. sin120° 则 S=AB+BC=8 3+8 3cos2θ+8sin2θ=8 3+16sin(2θ+60°). ∵ 30°≤θ≤45°, ∴ 120°≤2θ+60°≤150°. ∴ 当θ=45°时,S 取得最小值为(8 3+8)m.

25.为解决突发紧急情况时人群疏散的需要,现要对一矩形广场 ABMN 进行改造,其中 AB 的长 60 米, AN 的长 120 米.现设计从边 BM 上一点 C 处,沿着直线 CE(E 点在边 AB 上)设计两个完全相同的直角三 角形 CBE 和 CEF(F 点在边 AD 上),其中,三角形区域 CEF 建在地上,三角形 CBE 区域则往下开挖并和 其他区域相通,分地上地下用于疏散人群,令∠BCE=θ. (1) 若 CE 最小时,疏散效果最佳,求此时 CE 的长; (2) 若△CBE 面积最小时,建设成本最低,求此时△CBE 的面积.

【解析】 :(1) 设 CE=l,则由题意∠FEA=2θ,BE=lsinθ,AE=lsinθ·cos2θ, 于是 lsinθ+lsinθ·cos2θ=60, π 0, 60 60 30 得 l= = = ,θ∈ 2 . 2 3 sinθ(1+cos2θ) sin(2-2sin θ) sinθ-sin θ 30 令 sinθ=t,t∈(0,1),则 l= ,t∈(0,1). 3 t-t 设 g(t)=t-t3,t∈(0,1),于是 g′(t)=(t-t3)′=-3t2+1,

3 3 ,1 当 t∈ 3 时,g′(t)>0;当 t∈ 3 时,g′(t)<0. 1 3 30×9 3 3 1- 2 3 3= 故当 t= 时,0<g(t)≤g 3 = · ,因此 lmin= =45 3. 3 3 9 2 3 π 0, 30 2 , (2) 由 l= ,θ∈ 3 sinθ-sin θ 30 1 30cosθ 60 2 BE=lsinθ= ≤60 sin θ≤ ,BC=lcosθ= = ≤120, 2 2 1-sin θ 2 sinθcos θ sin2θ π 0, π π π π 2 ,所以θ≤ ,2θ≥ ,即 ≤θ≤ . 因为θ∈ 4 6 12 4 π π ≤θ≤ 1 450 12 4 , 于是 S△CBE= BE·BC= 3 2 sinθ·cos θ 2 6 研究函数 g(θ)=sin θ·cos θ, π π ≤θ≤ 1 2+ 3 2 设 t=cos θ 12 4 ,则 ≤t≤ . 2 4 记 f(t)=t3(1-t)=t3-t4,则 f′(t)=3t2-4t3. 3 令 f′(t)=0,得 t= , 4 1 3 3 2+ 3 , , 则 f(t)在 2 4 上单调递增,在 4 4 上单调递减, 3 π 2 所以当 t= ,即θ= 时,S 取最小值 800 3 m . 4 6 0,

26.将 52 名志愿者分成 A、B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 棵白杨树苗,B 组种植 200 棵沙 棘树苗.假定 A、B 两组同时开始种植. 2 1 (1) 根据历年统计,每名志愿者种植一棵白杨树苗用 h,种植一棵沙棘树苗用 h.应如何分配 A、B 5 2 两组的人数,使植树活动持续时间最短; 2 (2) 在按(1)分配的人数种植 1 h 后发现,每名志愿者种植一棵白杨树苗用时仍为 h,而每名志愿者 5 2 种植一棵沙棘树苗实际用时 h,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继续种植,求植树活动所持续 3 的时间. 2 150× * 5=60; 【解析】 :(1) 设 A 组人数为 x,且 0<x<52,x∈N ,则 A 组活动所需时间 f(x)= x x 1 200× 2= 100 . B 组活动所需时间 g(x)= 52-x 52-x 60 100 39 令 f(x)=g(x),即 = ,解得 x= . x 52-x 2

60 * ,x≤19,x∈N , x 所以两组同时开始的植树活动所需时间 F(x)= 100 * ,x≥20,x∈N , 52-x 60 25 而 F(19)= ,F(20)= ,故 F(19)>F(20). 19 8 所以当 A、B 两组人数分别为 20、32 时,植树活动持续时间最短. 2 2 150× -20×1 200× -32×1 6 2 5 3 (2) A 组所需时间为 1+ =3 (h),B 组所需时间为 1+ =3 (h), 7 3 20-6 32+6 6 所以植树活动所持续的时间为 3 h. 7

27.如图,ABCD 是边长为 1 百米的正方形区域,现规划建造一块景观带△ECF,其中动点 E、F 分别在 CD、BC 上,且△ECF 的周长为常数 a(单位:百米). (1) 求景观带面积的最大值; (2) 当 a=2 时,请计算出从 A 点欣赏此景观带的视角(即∠EAF).

【解析】 :(1) 设 EC=x,CF=y,则 x+y+ x +y =a (*). 2 2 由基本不等式,x+y+ x +y ≥2 xy+ 2xy=(2+ 2) xy, a 2 3-2 2 1 1 2- 2 2 所以△ECF 的面积 S= xy≤ 2+ 2 = a ,当且仅当 x=y= a 时等号成立. 2 2 4 2 3-2 2 2 故景观带面积的最大值为 a. 4 π π 0, 0, (2) 记∠EAD=α,∠FAB=β,α,β∈ 2 ,α+β∈ 2 , 则 tanα=1-x,tanβ=1-y, 2-x-y 2-(x+y) 故 tan(α+β)= = . 1-(1-x) (1-y) x+y-xy 2 a 由(*)可得 xy=a(x+y)- ,即 xy=2(x+y)-2, 2 2-(x+y) π π 代入上式可得 tan(α+β)= =1,所以∠EAF= -(α+β)= . 2-(x+y) 2 4 π 故当 a=2 时,视角∠EAF 为定值 . 4

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28.一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形,底面直径为 0.8 m,高 1.2 m,体积约为 0.6 m .为 保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩,保护罩底面边长不少于 1.2 m,高是底 面边长的 2 倍.保护罩内充满保护文物的无色气体,气体每立方米 500 元.为防止文物发生意外,展 2 览馆向保险公司进行了投保,保险费用与保护罩的占地面积成反比例,当占地面积为 1 m 时,保险费 用为 48 000 元. (1) 若保护罩的底面边长为 2.5 m,求气体费用与保险费用的和;

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(2) 为使气体费用与保险费用的和最低,保护罩应如何设计? 48 000 2 【解析】 :(1) 500(2.5 ×5-0.6)+ =23 005.(4 分) 2 2.5 2 3 (2) 设保护罩的底面边长为 x m,底面积为 S m ,体积为 V m ,总费用为 y 元,则 48 000 48 000 48 000 2 3 y=500(V-0.6)+ =500(2x·x -0.6)+ =1 000x + -300(x≥1.2),(9 分) 2 2 S x x 5 96 000 x -32 2 y′=3 000x - =3 000 ,令 y′=0 得 x=2,当 1.2≤x<2 时 y′<0,y 递减;当 x>2 时 3 3 x x y′>0,y 递增,∴ 当 x=2 时,y 有极小值即最小值. 答:为了使这两项总费用最低,保护罩的底面边长应设计为 2 m.(14 分)

29.某公司为了加大产品的宣传力度,准备立一块广告牌,在其背面制作一个形如△ABC 的支架,要 求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 m,且 AC 比 AB 长 0.5 m.为节省材料,要求 AC 的长度越短越好. (1) 设 BC=x m,AC=y m,将 y 写成关于 x 的函数,并写出定义域; (2) 当 BC 的长度为多少时,AC 最短,求出最短长度.

1 y- 2 1 2 【解析】 :(1) 由题设知 BC=x m(x>1),AC=y m,则 AB=y- .在△ABC 中,由余弦定理,得 2 1 2 x- 2 2 4,定义域为{x|x>1}. =y +x -2xycos60°.所以 y= x-1 1 2 x- 3 3 3 4=(x-1)+ (2) (解法 1)y= +2≥2+ 3, 当且仅当 x-1= , 即 x=1+ 时, 4(x-1) 4(x-1) 2 x-1 y 有最小值 2+ 3. 1 1 2 x2- 2x(x-1)- 4 x -2x+4 (解法 2)y′= = . 2 2 (x-1) (x-1) 由 y′=0,得 x=1+ 因为当 1<x<1+ 3 . 2

3 3 3 时,y′<0;当 x>1+ 时,y′>0,所以当 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3. 2 2 2 3 1+ 2 m. 故 AC 的最短长度为(2+ 3) m,此时 BC 的长度为

30.某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每件产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1) 求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2) 当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值.

k k 10e 40 【解析】 :(1) 设日销售量为 x,则 40=10,∴ k=10e ,则日销售量为 x 件,售价为 x 元时,每件 e e e 40 10e x-30-a 40 利润为(x-30-a)元,则日利润 L(x)=(x-30-a) x =10e · (35≤x≤41). x e e 31+a-x (2) L′(x)=10e40· . 2x e ① 当 2≤a≤4 时,33≤31+a≤35,而 35≤x≤41, ∴ L′(x)≤0,L(x)在[35,41]上是单调递减函数,则当 x=35 时,L(x)取得最大值为 10(5-a)e5. ② 当 4<a≤5 时,35<31+a≤36,令 L′(x)=0,得 x=a+31.当 x∈[35,a+31)时,L′(x)>0,L(x) 在[35,a+31)上是单调递增函数;当 x∈(a+31,41]时,L′(x)<0,L(x)在(a+31,41]上是单调递 9-a 减函数.∴ 当 x=a+31 时,L(x)取得最大值为 10e . 5 9-a 综上,当 2≤a≤4 时,L(x)max=10(5-a)e ;当 4<a≤5 时,L(x)max=10e .

40

31.如图所示的是自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB=1 m,高 0.5 m,CD=2a 1 a> 2 .上部 CmD 是个半圆, m 固定点 E 为 CD 的中点. △EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴 影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆. 2 (1) 设 MN 与 AB 之间的距离为 x m, 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(m )表示成关于 x 的函数 S=f(x); (2) 当 MN 与 AB 之间的距离为多少时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?求出这个最大面积.

1 MN-1 x 【解析】 :(1) ① 0≤x< 时,由平面几何知识,得 = .∴ MN=2(2a-1)x+1,则 S=f(x)=- 2 2a-1 1 2 1 2 (2a-1)x +(a-1)x+ ; 4 1 1 ② <x<a+ 时, 2 2 1 1 x- 2 x- 1 2 a- 2 · 2 则 S=f(x)= ·2 2 1 1 x- 2 x- 2 a- 2 · 2. = 综上,S=f(x) 1 0, 1 2 -(2a-1)x +(a-1)x+ ,x∈ 2 , 4 = 1 1 1 1 x- 2 x- ,a+ 2 2 · 2 ,x∈ 2 2 . a- 1 1 1 a-1 1 -a 2 (2) ① 0≤x< 时, S=f(x)=-(2a-1)x +(a-1)x+ .∵ a> , ∴ - = < 2 4 2 2(2a-1) 2 2(2a-1) 0, a-1 1 ∴ < . 2(2a-1) 2

1 1 <a≤1,当 x=0 时,f(x)max=f(0)= . 2 4 a-1 (ii) a>1,当 x= 时, 2(2a-1) a-1 2 a f(x)max=f 2(2a-1) = . 4(2a-1) 1 1 ② <x<a+ 时, 2 2 1 1 x- 2 x- 2 a- 2 · 2 S=f(x)= 12 12 x- x- 2 2 a- 2 = 1 1 x- 2 x- 2 2 2 + a- 2 1 2 ≤ = a, 2 2 12 1 1 1 x- x- 2 ,a+ 1 2 2 =a - 2 2, 等号成立 x= ( 2a+1)∈ 2 2 2 1 a ∴ 当 x= ( 2a+1)时,f(x)max= . 2 2 2 2 2 a- 1 a 1 1 a+ (i) <a≤1 时,∵ - = 2 2 , 2 2 4 2 1 2 1 ∴ <a≤ 时,当 x=0,f(x)max=f(0)= ; 2 2 4 2 2 1 a <a≤1 时,当 x= ( 2a+1),f(x)max= . 2 2 2 2 1 2 a 4a-3 2 (ii) a>1 时, a - = a >0, 2 4(2a-1) 4(2a-1) 2 1 a 当 x= ( 2a+1)时,f(x)max= . 2 2 1 2 1 综上, <a≤ 时,当 x=0 时,f(x)max=f(0)= ,即 MN 与 AB 之间的距离为 0 时,三角通风窗 EMN 2 2 4 2 1 2 2 1 a 的通风面积最大,最大面积为 m .a> 时,当 x= ( 2a+1) m 时,f(x)max= , 即 MN 与 AB 之间的 4 2 2 2 1 1 2 2 距离为 ( 2a+1) m 时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 a m . 2 2 (i)

32.(2015·南通模拟)在长为 20 m,宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点 C),展 厅入口位于长方形的长边的中间. 在展厅一角 B 点处安装监控摄像头, 使点 B 与圆 C 在同一水平面上, 且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示). (1) 若圆盘半径为 2 5 m,求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值; (2) 若监控摄像头最大水平摄像视角为 60°,求圆盘半径的最大值. (注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角)

【解析】 :(1) (解法 1)如图 1,过 B 作圆 C 的切线 BE,切点为 E,设圆 C 所在平面上入口中点为 A, 连结 CA,CE,CB,则 CE⊥BE,CA⊥AB,则摄像水平视角为∠ABE 时,水平摄像视角最小,在 Rt△ABC 4 中,AB=10,AC=8,tan∠ABC= .(2 分) 5

图1

在 Rt△BCE 中,CE=2 5,BE= CB -CE =12, 5 tan∠CBE= ,(4 分) 6 4 5 + 3 5 3 5 5 6 所以 tan∠ABE=tan(∠ABC+∠CBE)= =1+ ,所以最小摄像视角的正切值为 1+ .(8 10 10 4 5 1- × 5 6 分) (解法 2)如图 2,过 B 作圆 C 的切线 BE,切点为 E,设圆 C 所在平面上入口中点为 A,连结 CA,CE, CB,则 CE⊥BE,CA⊥AB,则摄像视角为∠ABE 时,摄像视角最小.

2

2

图2

在平面 ABC 内,以 B 为原点,BA 为 x 轴建立直角坐标系,则 C(10,8),设直线 BE 的方程为 y=kx, |10k-8| 由圆 C 与直线 BE 相切,得 2 5= ,(4 分) 2 k +1 3 5 3 5 解得 k=1± (其中 k=1- 不合题意,舍去). 10 10 3 5 答:所以最小摄像视角的正切值为 1+ .(8 分) 10 (2) (解法 1)当∠ABE=60°时,若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大. 在平面 ABC 内,以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴建立平面直角坐标系,所以直线 BE 的方程为 y= 3x,(12 分) |10 3-8| 所以 CE= =5 3-4,则圆 C 的最大半径为 5 3-4 (m).(16 分) 2 ( 3) +1 (解法 2)设圆盘的最大半径为 r,当∠ABE=60°时,若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大.

4 在 Rt△ABC 中,AB=10,AC=8,tan∠ABC= . 5 2 2 2 在 Rt△BCE 中,CE=r,BE= CB -CE = 164-r , r tan∠CBE= .(10 分) 2 164-r r 4 + 2 5 164-r 由 tan∠ABE=tan(∠ABC+∠CBE),得 = 3,(12 分) r 4 1- × 2 5 164-r 2 2 即 4 164-r +5r= 3(5 164-r -4r), 2 所以(5 3-4) 164-r =(5+4 3)r, 2 2 即 r =91-40 3=(5 3-4) ,所以 r=5 3-4.(15 分) 答:圆 C 的最大半径为 5 3-4 (m).(16 分)

33.如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2 km,C、D 两点在半圆弧上,满足 BC=CD. 设∠COB=θ. (1) 现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当θ为何值时,观光道路的 总长 l 最长,并求 l 的最大值; (2) 若要在景区内种植鲜花,其中在△AOD 和△BOC 内种满鲜花,在扇形 COD 内种一半面积的鲜花, 则当θ为何值时,鲜花种植面积 S 最大.

【解析】 :(1) 由题∠COD=θ,∠AOD=π-2θ,θ∈ θ 取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM⊥BC,∠BOM= . 2 θ 所以 BC=2BM=2sin . 2

0,

π 2

θ π-2θ 同理可得 CD=2sin ,AD=2sin =2cosθ. 2 2 θ θ 所以 l=2+2sin +2sin +2cosθ 2 2 2θ 1-2sin θ 2 +4sin +2. =2 2 θ 1 π sin - 2 0, 即 l=-4 2 2 +5,θ∈ 2 . θ 1 π 所以当 sin = ,即θ= 时,有 lmax=5. 2 2 3 1 1 1 (2) S△BOC= sinθ,S△AOD= sin(π-2θ)=sinθcosθ,S 扇形 COD= θ. 2 2 2

1 1 所以 S= sinθ+sinθcosθ+ θ. 2 4 1 1 1 2 2 所以 S′= cosθ+cos θ-sin θ+ = (4cosθ+3)·(2cosθ-1). 2 4 4 π 0, π 因为θ∈ 2 ,解 S′=0 得θ= ,列表得 3 θ S′ S 所以当θ= 0, π 3 + 递增 π 3 0 极大值 π π , 3 2 - 递减

π 时,面积 S 取得最大值. 3 π 答:(1) 当θ= 时,观光道路的总长 l 最长,最长为 5 km; 3 π (2) 当θ= 时,鲜花种植面积 S 最大. 3

34. (本小题满分 14 分) 水渠是地面上人工开凿的水道,用于引江河之水灌溉农田.某果园现有的旧水渠的横断面是一段抛物 线弧 AOB ,顶点 O 为水渠最底端(如图 1) ,渠宽为 4m,渠深为 2m.现计划对现有的旧水渠进行改造. (1)为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为如图 2 所示的等腰 梯形 ABCD 的新水渠( C 、 D 在抛物线弧 AOB 上, AB / /CD ) ,问新水渠底宽为多少时,所填土的土 方量最少(即等腰梯形 ABCD 的面积最大) ; (2)考虑到果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖成横断面为如图 3 所示的抛物 线弧 AOB 的外切等腰梯形 A1 B1C1 D1 的新水渠 (点 A 、B 在线段 A1 B1 上) , 要使所挖土的土方量最少 (即 等腰梯形 ABCD 的面积最小) ,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.
A
4

B
2

A

B A1 A

B B1

(第 17 题图 1)

O

D

(第 17 题图 2)

O

C

(第 17 题图 3)

D1

O

C1

【解析】 :建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为 2 x ? 2 py ? p ? 0 ? ,由已知点 P ? 2, 2 ? 在抛物线上,得 p ? 1 ,所以抛物线的

1 2 x . ……2 分 2 (1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,如图 1,
方程为 y ?
1 2? 设点 A ? ? t , t ? ? 0 ? t ? 2 ? ,则此时梯形 APQB 的面积 ? 2 ? 1 1 ? 1 ? (图 1) S ? t ? ? ? 2t ? 4 ? ? ? 2 ? t 2 ? ? ? t 3 ? t 2 ? 2t ? 4 , ……5 分 2 2 ? 2 ? 2 3 ∴ S ' ? t ? ? ? 3 t 2 ? 2t ? 2 ,令 S ' ? t ? ? ? t 2 ? 2t ? 2=0 ,得 t ? , 3 2 2 2? ?2 ? 当 t ?? ? 0, ? 时, S ' ? t ? ? 0 , S ? t ? 单调增;当 t ? ? , 2 ? 时, S ' ? t ? ? 0 , S ? t ? 单调减. 3 ? ?3 ? ?

所以当 t ? 时, S ? t ? 有最大值 128 ,
27

4 m 时,可使填土的土方量最少. ……8 分 3 (2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图 2,
答:改挖后的水渠的底宽为
1 2? 设切点 M ? ? t, t ? ?t ? 0? , ? 2 ?

2 3

……7 分

则函数在点 M 处的切线方程为 y ? t 2 ? t ? x ? t ? ,
t ? ?t 2 分别令 y ? 0, y ? 2 得 A ? ? , 0?, B ? ? , ?2 ? ?2 t 所以此时梯形 OABC 的面积 1? 2? 2 S ?t ? ? ? t ? ? ? 2 ? t ? ≥ 2 2 , 2? t? t ? 2? , ?

1 2

………10 分

……12 分

(图 2)

当且仅当 t ? 2 时,等号成立,此时 OA ? 2 .
2

答:设计改挖后的水渠的底宽为 2 m 时,可使挖土的土方量最少. ……14 分

35.(本小题满分 16 分) 如图,河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF ,其中 AB ? BC , EF ? DF , DF ? AB , C , E , F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3km , BC ? OF ? 4km ,

9 3 km , FE ? 3km , EC ? km . 若以 OA, OD 所在直线分别为 x , y 轴建立平面直 4 2 x?b 角坐标系 xOy ,则河岸 DE 可看成是曲线 y ? (其中 a, b 为常数)的一部分,河岸 AC 可看成 x?a 是直线 y ? kx ? m (其中 k , m 为常数)的一部分. (1)求 a, b, k , m 的值; (2)现准备建一座桥 MN ,其中 M , N 分别在 DE , AC 上, 且 MN ? AC ,设点 M 的横坐标为 t . y t l ? f ( t ) ①请写出桥 MN 的长 l 关于 的函数关系式 ,并注 E C F DF ?
明定义域; ②当 t 为何值时, l 取得最小值?最小值是多少? 【解析】 : (1)将 D (0, ), E (3, 4) 两点坐标代入到 y ? M

? 7 b ? ? ? 4 a 得? , ……2 分 ?4 ? 3 ? b ? 3? a ?

7 4

x?b 中, x?a
…………3 分

D N O A
第 17 题

解得 ?

? a ? ?4 . ? b ? ?7

B

x

? 0? ? 3 9 ? 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? 2 2 ?4 ? ? ?

3 k?m 2 , 9 k?m 2

………5 分

4 ? ?k ? 解得 ? 3 . ? ?b ? ? 2
(2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ? 设点 M 的坐标分别为 M (t ,

………6 分

t ?7 ?6| 1 9 t?4 ………9 分 l? ? | 4t ? ? 9 |, 5 t ?4 42 ? 32 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 1 9 所以 l ? f (t ) ? | 4t ? ………10 分 ? 9 | , 0 ? t ? 3. 5 t?4 ②方法一:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 9 9 9 则 4t ? ………12 分 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t?4 t?4 4?t 9 9 5 ? 7 ? 2 4(4 ? t ) ? ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 ,当且仅当 4(4 ? t ) ? ,即 t ? 时取等…14 分 4?t 4?t 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . ………16 分 2 方法二:平移直线 AC 至 A1C1 ,使得 A1C1 与曲线 DE 相切, 则切点即为 l 取得最小值时的 M 点. ………12 分 3 3 4 x?7 5 由y? ,得 y ? ? ,则由 k ? ? ,且 0 ? t ? 3 ,解得 t ? , …14 分 2 2 x?4 2 ( x ? 4) (t ? 4) 3 5 故当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2 | 4t ? 3 ?
36. (本题满分 16 分) 如图,圆 O 的半径为 2 , A ,B 为圆 O 上的两个定点,且 ?AOB ? 90? , P 为优弧 AB 的中点.设 C ,D ( C 在 D 左侧)为优弧 AB (不含端点) 上的两个不同的动点,且 CD // AB . 记 ?POD ? ? ,四边形 ABCD 的面积为 S . (1)求 S 关于 ? 的函数关系; (2)求 S 的最大值及此时 ? 的大小. 【解析】 : (1)设过圆心 O 作 AB 的垂线分别与 AB , CD 交于点 E,F, 易得 AB ? 2 , OE ? 1 , ①当 0 ? ? ? π 时,如图 1,易得 CD ? 2 ? 2 sin ? , OF ? 2 cos ? , 2 1 所以 S ? ( AB ? CD ) ? (OE ? OF ) ? 1 2 ? 2 2 sin ? 1 ? 2 cos ? 2 2 ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ?2sin ? cos ? ? 1 ;(3 分)
P

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式,得 t?4

4 x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3

……7 分

O A
(第 18 题)

B

?

??

?

C

P F O

D

②当 ? ③当 π 2 OF ?

? π 时, S ? 1 ( AB ? CD ) ? EF ? 1 ? (2 ? 2 2) ? 1 ? 1 ? 2 ;(5 分) 2 2 2 ? ? ? 3 π 时,如图 2,易得 CD ? 2 ? 2 sin ? π ? ? ? ? 2 2 sin ? , 4 2 cos ? π ? ? ? ? ? 2 cos? ,

A

E
图1

B

所以 S ? 1 ( AB ? CD ) ? (OE ? OF ) ? 1 ? 2 ? 2 2 sin ? ? 1 ? 2 cos ? 2 2 ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2sin ? cos ? ? 1 ;

?

? ?

?
P O

综上得, S ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2sin ? cos ? ? 1 , 0 ? ? ? 3 π ;(9 分) 4 π (2)令 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? , 4 因为 0 ? ? ? 3 π ,所以 π ? ? ? π ? π ,从而 0 ? sin ? ? π ≤1 , 4 4 4 4

?

?

故t ? 0, 2? ? ,(12 分)

?

?

?

C
A

F E
图2

D
B

此时 S ? 2t ? t 2 ? 1 ? 1 ? t 2 ? 2t ? t ? 所以当 t ? 2 时, Smax

2 ? 1 ,t ? 0, 2? , ? 2 2 ? 4 ,此时 ? ? π .(16 分) 4

?

?

2

?

37. (本题满分 14 分) 某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈 由两条平行线段(图中的 AB,DC) .. 和两个半圆构成,设 AB (1)若内圈周长为 400

x m,且 x ≥ 80 . m,则 x 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?
22 500 π

(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为

m ,则 x 取何值时,内圈周长最小? B

2

【解析】 :设题中半圆形半径为 r(m) , 2 A 矩形 ABCD 的面积为 S(m ) , 内圈周长为 c(m) . (1)由题意知: S ? 2rx ,且 2 x ? 2πr ? 400 ,即 x ? πr ? 200 , D 2 20 000 2 于是 S ? 2rx ? 2 ? x ? (πr ) ≤ 2 x ? πr ? (m ) π π 2 π 当且仅当 x ? πr ? 100 (m)时,等号成立. 答:当 x 100(m)时,矩形 ABCD 的面积最大. (6 分) 22 500 22 500 ? π ?r , (2)由题意知: 2rx ? πr 2 ? ,于是 x ? π 2πr 2 22 500 π 22 500 从而 c ? 2 x ? 2πr ? 2 (8 分) ? ? r ? 2πr ? ? πr . 2πr 2 πr 22 500 π 2 ? ? r ≥ 80 ,即 ? πr ? ? 160 ? πr ? 22 500 ≤ 0 , 因为 x ≥ 80 ,所以 2πr 2 解得 ?250 ≤ πr ≤ 90 ,所以 0 ? r ≤ 90 , (10 分) π 2 故 12 ≥ π . 8100 r 22 500 1 22 500 π 2 因为 c? ? ? (12 分) ? 2 ? π≤? ? ? π ? ? 16 π < 0 , π π 8 100 9 r 22 500 ? πr 在 0 ,90 ? 上是单调减函数. 所以关于 r 的函数 c ? π? πr ? 22 500 故当 r ? 90 即 x ? ? π ? 90 ? 80 (m)时,内圈周长 c 取得最小值, π 2 ? 90 2 π 22 500 ? 90 ? 340 (m) 且最小值为 . (14 分) 90

?

?

C

?

?

?

38. (本题满分 14 分)

如图,缉私船在 A 处测出某走私船在方位角为 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得走私船正沿 方位角 165°的方向以 9 海里/时的速度沿直线方向航行.我缉私船立 即以 v 海里/时的速度沿直 北 线方向前去截获. (1)若 v ? 21 ,求缉私船的航向和截获走私船所需的时间; (参考结 165° C 论: sin 22° ? 3 3 ) 14 (2)若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船,求 v 的取值范 北 围. B 【解析】 : (1)设缉私船截获走私船所需的时间为 t h, 45° 依题意,得 ?ACB ? 60 °, 在△ABC 中,由正弦定理, A (第 18 题) 得, 所以 ?CAB ? 22°, sin ?CAB ? BC sin ?ACB ? 9t sin 60 ° ? 3 3 , AB 21t 14 从而方位角为 45° ?22 ° ? 67 °,(3 分) 在△ ABC 中,由余弦定理得, ( vt ) 2 ? (9t ) 2 ? 10 2 ? 2 ? 9t ?10 ? cos 60 °, 当 v ? 21 时, 36t 2 ? 9t ? 10 ? 0 ,解得 t ? 5 (负值已舍) , 12 答:缉私船的航向约为方位角 67 °,截获走私船所需时间为 5 h.(7 分) 12 2 2 2 2 ? 90 , (2)由(1)知, ( vt ) ? (9t ) ? 10 ? 2 ? 9t ?10 ? cos 60 °, 即 v ? 81 ? 100 t t2 1 令 x ? ? 0 ,因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船, t 所以关于 x 的方程 100 x 2 ? 90 x ? 81 ? v 2 ? 0 必有两不同的正实根,(11 分) 2 ? ?81 ? v ? 0 , 所以 ? 2 解得 9 3 ? v ? 9 .(14 分) 2 2 ? ?90 ? 400 ?81 ? v ? ? 0 ,

39. (本题满分 14 分) 某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为 E ? cv nT ,其中 v 为行进时相对于水的速 度, T 为行进时的时间(单位:小时) , c 为常数, n 为能量次级数.如果水的速度为 4 km/h, 该生物探测器在水中逆流行进 200 km. (1)求 T 关于 v 的函数关系式; (2)(i)当能量次级数为 2 时,求该探测器消耗的最少能量; (ii)当能量次级数为 3 时,试确定 v 的大小,使该探测器消耗的能量最少. 【解析】 : (1)由题意得,该探测器相对于河岸的速度为 200 , T 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小 4 km/h,即 v ? 4 , 所以 200 ? v ? 4 ,即 T ? 200 , v ? 4 ; (4 分) v?4 T 2 (2)(ⅰ) 当能量次级数为 2 时,由(1)知 E ? 200c ? v , v ? 4 , v?4
? 200c ?

?(v ? 4) ? 4 ?
v?4

2

? 200c ? ?(v ? 4) ? 16 ? 8 ? ? v?4 ? ? ? ? ? ≥200c ? ?2 (v ? 4) ? 16 ? 8 ? v?4 ? ? (9 分) =3200c (当且仅当 v ? 4 ? 16 即 v ? 8 km/h 时,取等号) v?4

3 (ⅱ) 当能量次级数为 3 时,由(1)知 E ? 200c ? v , v ? 4 , v?4 2 2v (v ? 6) ? 0 得v ? 6, 所以 E ? ? 200c ? (v ? 4) 2 当 v ? 6 时, E ? ? 0 ;当 v ? 6 时, E ? ? 0 , 所以当 v ? 6 时, Emin = 21600c . 答:(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为 3200c ; (ⅱ) v ? 6 km/h 时,该探测器消耗的能量最少. (14 分)

40. 如图: 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? ABCD ? 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt?FHE ,

H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别落在线段 BC , AD 上.已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)若 sin ? ? cos ? ? 2 ,求此时管道的长度 L ;
(3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

【解析】 : (1)

EH ?

10 10 FH ? cos ? , sin ? AF ? 10 ? 10 3 tan ?


EF ?

10 sin ? cos ?

由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 ,

3 ? ? 10 10 10 ? tan ? ? 3 ? ?[ , ] L ? ? ? 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ? 3 ,

? ? ? ?[ , ] 6 3 .
(2) sin ? ? cos ? ? 2 时, (3)

sin ? cos ? ??

1 2 , L ? 20( 2 ? 1) ;

L?

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 10( ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?


设 sin ? ? cos ? ? t

sin ? ? cos ? ?

t 2 ?1 ? ? ? ?[ , ] 2 由于 6 3 , 3 ?1 , 2] 2

t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ 4 所以 L?

?

3 ?1 20 [ , 2] t ?1 在 2 内单调递减, 3 ?1 ? ? t? ? ? ,? ? 6 3 时 , L 的最大值 20( 3 ? 1) 米. 2 时 于是当 ? ? ?? ?? 6或 3 时所铺设的管道最短,为 20( 3 ? 1) 米. 答:当

41.某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC= 25 3 米,为了便于居民平时休闲散步, 该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到小区整体规划, 要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90°,如图所示.

(1)设∠BOE= ? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低? 并求出最低总费用. D 【解析】 :(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE= ? ,∴OE= 在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO= ? ,∴OF=

C E

25 .………………4 分 F sin ? 25 2 25 2 25 又∠EOF=90°,∴EF= ? OE 2 ? OF 2 ? ( , ) ?( ) = cos ? sin ? cos ? sin ? A 25 25 25 ∴ l ? OE ? OF ? EF ? ? ? cos ? sin ? cos ? sin ? 25(sin ? ? cos ? ? 1) 即l ? . …………………………………………6 分 cos ? sin ? π 当点 F 在点 D 时,这时角 ? 最小,求得此时 ? = ; 6 π 当点 E 在 C 点时,这时角 ? 最大,求得此时 ? = . 3 π π 故此函数的定义域为 [ , ] .……………………………………………………………8 分 6 3 (2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可. 25(sin ? ? cos ? ? 1) π π 由(1)得, l ? , ? ?[ , ] cos? sin ? 6 3 t2 ?1 设 sin ? ? cos? ? t ,则 sin ? ? cos? ? , 2 25(sin ? ? cos ? ? 1) 25( t ? 1) 50 ? 2 ? ∴l ? ……………………………………………12 分 t ?1 cos ? sin ? t ?1 2 5π π 7π 3 ?1 3 ?1 由, ,得 ?? ? ? ? t ? 2 ,∴ ? t ?1? 2 ?1 , 12 4 12 2 2 1 从而 2 ? 1 ? ? 3 ? 1 ,……………………………………………………………15 分 t ?1 π 当 ? ? ,即 BE=25 时, lmin ? 25( 2 ? 1) , 4 所以当 BE=AE=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 10000( 2 ? 1) 元.…………16 分

25 .2 分 cos ?

?
O B

42.如图,ABCD 是块边长为 100 m 的正方形地皮,其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都 是平地,一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P 在 弧 ST 上,相邻两边 CQ、 CR 落在正方形的边 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. D R C 【解析】 :设 ?PAB ? ? (0? ? ? ? 90?), 延长 RT 交 AB 于 M S

? S 矩形 PQRC ? PQ ? PR ? (100 ? 90 cos ? )(100 ? 90 sin ? )

AM ? 90 cos? , MP ? 90 sin ? ? PQ ? MB ? 100 ? 90 cos? . PR ? MR ? MP ? 100 ? 90 sin ?

P A T

Q B

? 10000 ? 9000(sin ? ? cos? ) ? 8100 sin ? cos?

(0? ? ? ? 90?),

令 t ? sin ? ? cos ? (1 ? t ?

2 ), sin ? cos ? ?

S 矩形PQRC ? 10000 ? 9000t ? 8100 ?
故当 t ?

10 2 2 时,S 的最小值为 950 m ,当 t ? 2 时 S 的 (14050 ? 9000 2 ) m 9

t 2 ?1 10 ? 4050(t ? ) 2 ? 950 -10 2 9

t 2 ?1 2

43.如图,在半径为 3 、圆心角为 60? 的扇形的弧上任取 一点 P ,作扇 形的内接矩形 PNMQ ,使 (1)①设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; 点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y ,按下列要求写出函数的关系式:

②设 ?POB ? ? ,将 y 表 示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. 【解析】 : (1)①因为 ON ? 所以 MN ?

3 ? x 2 , OM ?

3 x, 3
P

A

3 x ,… 2 分, 3 3 3 所以 y ? x ( 3 ? x 2 ? x ), x ? (0, ) .…………… 4 分 3 2 3 ? 3 sin ? ? sin ? , ②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos ? , OM ? 3 所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos ? ? sin ? ……………………… 6 分 3? x2 ?
所以 y ?

Q

B

N

M

O

3 sin ? ( 3 cos ? ? sin ? ) ,即 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? , (? ? (0, )) … 8 分 3 ? 3 (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? ? 3 sin(2? ? ) ? ,…………… 12 分 6 2 ? ? ? 5? 3 ?? ? (0, ) ? 2? ? ? ( , ) ………………… 13 分所以 ymax ? .……… 14 分 3 6 6 6 2
44.如下图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,

?

?ABC 外的地方种草,其余地方种花. 若 BC=a, ?ABC=? ,设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方形 PQRS S 的面积为 S 2 ,将比值 1 称为“规划合理度”. S2 (1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 ; (2)若 a 为定值,当 ? 为何值时,“规划合理度”最小?并求出这个最小值.

【解析】 : (1)在 Rt ?ABC 中, AB ? a cos ? , AC ? a sin ? ,

1 1 AB ? AC ? a 2 sin ? cos ? ……………3 分 2 2 x , AP ? x cos ? , 设正方形的边长为 x 则 BP ? sin ? x 由 BP ? AP ? AB ,得 ? x cos ? ? a cos ? , sin ? a sin ? cos ? 故x? 1 ? sin ? cos ? a sin ? cos ? 2 2 ) ……………6 分 所以 S 2 ? x ? ( 1 ? sin ? cos ? 1 (1 ? sin 2? ) 2 S1 1 (1 ? sin ? cos ? ) 2 1 1 2 ? ? ? ? ? sin 2? ? 1 ,…… 8 分 (2) S2 2 sin ? cos ? sin 2? sin 2? 4 S1 ?

? , 2 所以 0 ? 2? ? ? ,则 t ? sin 2? ? (0,1] ……………10 分 1 1 S 1 1 所以 1 ? ? t ? 1 ? g (t ) , g ?(t ) ? ? 2 ? ? 0 , t 4 S2 t 4 所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上递减,……………12 分 9 因此当 t ? 1 时 g (t ) 有最小值 g (t ) min ? g (1) ? , 4 ? 此时 sin 2? ? 1, ? ? ……………14 分 4 ? 9 所以当 ? ? 时, “规划合理度”最小,最小值为 .……………15 分 4 4
令 t ? sin 2? ,因为 0 ? ? ? 45.如图所示,一条直角走廊宽为 2 米.现有一转动灵活的平板车, 其平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1 米.直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; ⑴若平板车卡在直角走廊内, 且∠ CAB ? ? , 试求平板面的长 (用 ? 表示); ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? 【解析】 : (1)DM=

2m N E D 2m M F AP l C Q B

2 1 2 ,DN= ,MF= ,EN= tan ? , sin ? cos ? tan ? 2 1 2 ?EF=DM+DN-MF-EN= + - - tan ? sin ? cos ? tan ?

=

? ) ,平板车的长度不能通过,即平板车 2 t 2 ?1 的长度 ? l min ;记 sin ? ? cos ? ? t , 1 ? t ? 2 ,有 sin ? cos ? = , 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 1 4t ? 2 = = 2 sin ? cos ? t ?1 m?2 此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记 4t ? 2 ? m ,则 t ? )或直接求导,以确定函 4 数在 [1, 2 ] 上的单调性;当 t ? 2 时取得最小值 4 2 ? 2
(2) “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ? 46.如图,A,B,C 是三个汽车站,AC,BE 是直线型公路.已知 AB=120 km,∠BAC=75°,∠ABC =45°.有一辆车(称甲车)以每小时 96(km)的速度往返于车站 A,C 之间,到达车站后停留 10 分 钟;另有一辆车(称乙车)以每小时 120(km)的速度从车站 B 开往另一个城市 E,途经车站 C,并在 车站 C 也停留 10 分钟.已知早上 8 点时甲车从车站 A、乙车从车站 B 同时开出. (1)计算 A,C 两站距离,及 B,C 两站距离; (2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上,问能否在车站 C 处利用停留时间交换. (3)求 10 点时甲、乙两车的距离. (参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 , 111 ? 10.5 ) 【解析】 : (1)在△ABC 中,∠ACB=60°.∵
120sin 45 ? ∴ AC ? ? sin 60? 120 ? AB BC AC , ? ? sin 60? sin 75? sin 45?

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 sin ? cos ?

(0 ? ? ?

? ) 2

3 2 6? 2 120 ? 120sin 75 ? 4 BC ? ? ? 60 2 ? 20 6 ? 132(km) . sin 60? 3 2 96 (2)甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为 ,即 9 点到 C 站,至 9 点零 10 ? 1 (小时)=60(分钟) 96 132 分开出.乙车从车站 B 开到车站 C 约用时间为 ,即 9 点零 6 分到站,9 ? 1.1 (小时)=66(分钟) 120 点零 16 分开出.则两名旅客可在 9 点零 6 分到 10 分这段时间内交换到对方汽车上. 50 44 (3)10 点时甲车离开 C 站的距离为 ? 96 ? 80(km) ,乙车离开 C 站的距离为 ? 120 ? 88(km) , 60 60

2 2 ? 40 6 ? 96(km) ,

两车的距离等于 802 ? 882 ? 2 ? 80 ? 88 ? cos 60? ? 8 100 ? 121 ? 110

= 8 111 ? 8 ? 10.5 ? 84(km) .

47. (本小题满分 15 分) 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)求棒长 L 关于 ? 的函数关系式: L?? ? ; (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值. 【解析】 : (1)如图, AB ? 2 , BC ? 2 cos ? sin ?

?

2

2

L?? ? ? AC ? AB ? BC ?
(2) L?? ? ?

2 ?cos ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? ?? ? 令 t ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 t ? 1, 2 , 4 4? ? ?sin ? ? cos ? ?2 ? 1 ? t 2 ? 1 则 sin ? cos ? ? 2 2 1 2 2t 2 2 t ? 随着 t 的增大而增大, , 当 t ? 1, 2 时, L? 2 ? 1 t t ?1 t? t 1 ? 2? 所以 t ? ? ? 0, ? 所以 L ? ?4,?? ? A t ? 2 ? ? 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4 ……15 分 2

2 2 ? ?? ? ?0 ? ? ? ? cos ? sin ? ? 2?

?

?

C

?

?

?
B

2

48.如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有两面 墙的夹角为 60°(即 ?C ? 60 ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面墙的长均大于 6 米) , 为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可能大,记 ?ABC ? ? ,问当 ? 为多 少时,所建造的三角形露天活动室的面积最大?
?

【解析】 :在 ?ABC 中,由正弦定理:

AC AB BC ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3

化简得: AC ? 4 3 ? sin ? 所 以

S ?ABC ?

1 ? AC ? BC ? sin 2 3

BC ? 4 3 ? sin(? ? ) 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?

? 1 3 ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? 12 3 sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) 8 分 3 2 2 1 ? cos 2? 3 ? 6 3(sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ) ? 6 3( ? sin 2? ) 2 2 1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )] 2 6 ? 2? ) 12 分 即 S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? 6 3
所以当 2? ?

? ? ? ? , 即 ? ? 时, ( S ?ABC ) max = 9 3 14 分 6 2 3 ? 答:当 ? ? 60 时,所建造的三角形露天活动室的面积最大.································· 15 分 1 ? ? ? ? 另解: S ?ABC ? AC ? BC ? sin ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? ?6 3[cos(2? ? ) ? cos ] 2 3 3 3 3 ? 2? ? ?6 3 cos(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? ) (下同) 3 3

49.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假 设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速 度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 【解析】 : (1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里,则 D C
A

s= 900t +400-2×30t×cos(90°-30°) = 900t -600t+400 1 故当 t= 时,smin=10 3,此时 v=30 3. 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
30° O θ

2

2

(2)如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,故 OC>AC, 且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船 与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇. 设∠COD=θ(0<θ< π 10 3 ) ,则在 Rt△COD 中,CD=10 3tanθ,OD= , 2 cosθ 10+10 3tanθ 10 3 和 t= , 30 v cosθ

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t=

所以

15 3 10+10 3tanθ 10 3 = ,解得 v= .又 v≤30, π 30 v cosθ sin(θ+ ) 6 π 3 π π )≥ ,从而 ≤θ≤ . 6 2 6 2

故 sin(θ+

π 3 π 10+10 3tanθ 2 由于θ= 时,tanθ取得最小值 ,于是当θ= 时,t= 取得最小值 . 6 3 6 30 3 此时,在△AOB 中,OA=OD=AD=20,故可设计航行方案如下: π 航行方向为北偏东 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 6


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