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高中数学3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域练习必修5

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?基础梳理 1.含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为________________. x-2y+1>0 是____________. 2.把由几个二元一次不等式组成的不等式组,称为________________.
?x-y>0, ? ? 是______________. ?x+y>0 ?

3.满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数 对(x, y)构成的集合称为____________________. 有序数对可以看成直角坐标平面内的点的 坐标,故二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标平面内点的集合. 4.在直角坐标系中,以二元一次方程 x+y-1=0 的解为坐标的点的集合是 ____________________,它的图形是________________________. 5 .在直角坐标系中,以二元一次不等式 x + y - 1 > 0 的解为坐标的点的集合是 ________________,它的图形是________________________________________________. 6.对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),代入式子 Ax+By+C 所得到的实数 的符号都相同. 所以只需在直线一侧取一特殊点代入, 由式子的正负就可以判断不等式表示 的是哪一侧的平面区域.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为特殊点. 7. 直线 Ax+By+C=0 把平面内不在直线上的点分成两部分, 我们把该直线称为这两部 分的__________.不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示的平面区域不含边界直线,此时把直线 画成________;不等式 Ax+By+C≥0(或≤0)表示的平面区域包括边界直线,此时把直线画 成________. 1.二元一次不等式 二元一次不等式 2.二元一次不等式组 二元一次不等式组 3.二元一次不等式(组)的解集 4.{(x,y)|x+y-1=0} 一条直线 5.{(x,y)|x+y-1>0} 直线 x+y-1=0 某一侧的所有点组成的平面区域(直线 x+ y-1=0 右上方部分区域) 7.边界 虚线 实线 ?自测自评 1.以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( ) A.x-y+1<0 B.2x+3y-6>0 C.2x+5y-10≥0 D.4x-3y≤12 2.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A.a<-7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.-7<a<24 D.-24<a<7 2 2 3. 在平面直角坐标系中, 满足不等式 x -y ≥0 的点(x, y)的集合是如下图所示的( )

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4.若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平 面 区 域 内 , 则 m = ________________________________________________________________________. 1.解析:将(0,0)分别代入各个不等式,只有 D 成立.故选 D. 答案:D 2.解析:∵点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,∴(3×3-2×1+a)(- 4×3-2×6+a)<0? (a+7)(a-24)<0? -7<a<24.故选 C. 答案:C 3.B 4.-3

?基础达标

1.不等式 x-2y+6>0 表示的平面区域在直线 x-2y+6=0 的( A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 1 1.解析:不等式 x-2y+6>0 即 2y<x+6,y< x+3, 2 1 它所表示的平面区域在直线 y= x+3 的右下方,故选 B. 2 答案:B 2.如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为( )

)

2

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A.3x-y+3<0 B.3x+y-3<0 C.y-3x-3<0 D.y-3x+3<0 2.C 3.直线 y=3x-1 左上侧的点(x0,y0)满足的不等式为______________. 3.解析:∵点(x0,y0)在直线 y=3x-1 的左上侧, ∴y0>3x0-1. 答案:y0>3x0-1 4.如图,下列说法中:①图(1)中表示的区域是不等式 2x-y+1≥0 的解集;②图(2) 中表示的区域是不等式 3x+2y-1>0 的解集; ③图(3)中表示的区域是不等式 Ax+By+C≥0 的解集,正确的个数有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.解析:不等式 2x-y+1≥0 表示的平面区域与原点同侧,所以①不正确;不等式 3x +2y-1>0 表示的区域与原点异侧且边界为虚线,所以②不正确;不等式 Ax+By+C≥0 表 示的平面区域与系数 A,B,C 有关,所以③不正确.故选 A. 答案:A 5.若不等式 2x+y+m<3 表示的平面区域包括点(0,0)和(1,1),则 m 的取值范围是 __________. 5.解析:将(0,0)和(1,1)分别代入不等式得
? ?m<3, ? ? m<0.故 m 的取值范围是(-∞,0). ?3+m<3 ?

答案:(-∞,0)
3

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?2x+3y-6≥0, ? 6.画不等式组? 表示的平面区域. ? ?4x-3y≤0

6.解析:不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分.

?巩固提高

x-y≥0, ? ? 7.已知 x,y∈Z,则满足不等式组?y≥0, 的点(x,y)的个数为( ? ?x+y≤5
A.9 个 B.10 个 C.11 个 D.12 个 7.解析:先画出不等式组所表示的平面区域:

)

区域内的整数点分别是:(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3, 0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(5,0).故选 D. 答案:D 8. 若点(1, 3)和(-4, 2)在直线 2x+y+m=0 的两侧, 则 m 的取值范围是______________. 8.解析:∵(1,3)和(-4,2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,∴(2×1+3+m)[2×(-4) +2+m]<0,

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即(m+5)(m-6)<0,解得:-5<m<6. 故 m 的取值范围是{m|-5<m<6}. 答案:{m|-5<m<6}

x≥1, ? ? 9.不等式组?x+y-4≤0,表示面积为 1 的三角形区域,则实数 k 的值为________. ? ?kx-y≤0
9 .解析:不等式组表示的平面区域是一个三角形,顶点分别为 (1 , 3) , (1 , k) , ? 4 , 4k ?,所以该三角形的面积为1(3-k)? 4 -1?=1.解得 k=1 或 7.经检验,当 k ?1+k 1+k? ?1+k ? 2 ? ? ? ? =7 时,不能表示三角形,只有 k=1 符合题意. 答案:1 10.某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 v 海里/时(4≤v≤20)从 A 港出发到距 50 海里的 B 港去,然后乘汽车以 w 千米/时(30≤w≤100)自 B 港向距 300 千米的 C 市驶去,应该在同一 天下午 4 至 9 点到达 C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x、y 小时.作图表示满足上 述条件 x、y 的范围. 50 300 10.解析:由题意得:v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w ≤100, y x 5 25 ∴3≤x≤10, ≤y≤ ,① 2 2 由于汽车、摩托艇所要的时间和 x+y 应在 9 至 14 小时之间,即 9≤x+y≤14,② 因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

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1.不等式 Ax+By+C>0(<0)所表示的平面区域的判定方法: (1)选特殊点(若 C≠0,选原点)代入. (2)若原不等式化为 y>kx+b,则不等式所表示的平面区域为直线的上方区域. (3)若原不等式化为 y<kx+b,则不等式所表示的平面区域为直线的下方区域. 2.用平面区域表示变量取值范围的基本步骤:①设两个变量;②列出变量满足的不等 式组;③画出不等式组表示的相应区域. 3.画出不等式组表示的相应区域时,要注意:①边界线是实线还是虚线;②变量的取 值是实数还是整数;③区域是在直线的上方还是在直线的下方. 4.所列不等式与题设条件要确保等价.

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