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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案


沈阳二中 2014——2015 学年度上学期期中考试 高一(17 届)数学试题
命题人:高一数学组 审校人:高一数学组

说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷

(60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A={x|x-1>0},B={y|y=2x},则 A∩B=( A.{x|x>1} C.{x|x<-1} 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.y=1,y=x0 C.y=|x|,y=( x)2 3.已知 x,y 为正实数,则( A. 2 C. 2
lgx+lgy

)

B.{x|x>0} D.? ) B.y=lgx2,y=2lgx D.y=x,y= 3 x3 ) B. 2 D. 2 的定义域是( ) B.(0,+∞) D.(0,1] )
lg(x+y)

=2lgx+2lgy =2lgx+2lgy

=2lgx·2lgy

lgx·lgy

lg(xy)

=2lgx·2lgy

4.函数 y= A.[1,+∞) C.[0,1]

5.函数 y=x2 与函数 y=|lg x|的图象的交点个数为( A.0 B.1 C .2 D.3

2 6.函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是(

x

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,e) D.(3,4) )

7.a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立的是( A. 过 A 有且只有一个平面平行于 a、b B. 过 A 至少有一个平面平行于 a、b C. 过 A 有无数个平面平行于 a、b D. 过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在
8.幂函数 f ( x) ? x ,若 0 ? x1 ? x2 ,则 f (
4 5

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ), 大小关系是( ) 2 2

A. f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

B. f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

C. f (

D.无法确定

1 9.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=ln x,则 f(f( 2))的值为( e A. 1 ln 2 B.- 1 ln2

)

C.-ln 2

D.ln 2 )

10.f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3)
11.定义在 R 上的函数 f ( x)的反函数为 f
?1

B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)

( x),且对于任意 x ? R ,都有
( D. 2 x ? 4 ,若关于 x 的方程 ( ) )

f (? x) ? f ( x) ? 3, 则f ?1 ( x ? 1) ? f ?1 (4 ? x) ?
A.0 B.-2 C.2

12.设定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ?

? ? x ?1 ?2 ? 1 ? x ? 1? ? ? a

?x ? 1?

2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的实数解,则 a 的取值范围是
A. (0,1) B. (0, 3 )
2

C. (1,2)

D. (1, 3 )∪( 3 ,2)
2 2

第Ⅱ卷

(90 分)

二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 , 把 答 案 填 在 题 中 横 线

1 32 4 上.13. lg ? lg 8 ? lg 45 =_____________ 2 9 3

14. 若幂函数 y=(m2-3m+3)x m -m-1 的图象不过原点, 则实数 m 的值是________. 15.知 a= 0.3 , b= log 2 0.3 , c= 20.3, 则 a, b, c 三个数的大小关系是________ (按从小到大的顺序排列)
1 16. f ( x) ? x 2 ? e x ? ( x ? 0), g ( x) ? x 2 ? ln(x ? a)的图像上存在关于 y轴对称的点, 2 则a的取值范围是__________ .
2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 17.(满分 10 分)已知集合 A={x|8≤2x+1≤16},B={x|m+1≤x≤3m-1}. (1)求集合 A; (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围.

18.(满分 12 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中, D 、 E 、 F 分别是棱 AC 、 BC 、 SC 上的点, 且 CD ? 2 DA , CE ? 2 ES , CF ? 2 FB , G 是 AB 的中点. 求证: SG ∥平面 DEF

19.(满分 12 分)已知函数 f(x)=loga(ax- x)(a>0,a≠1 为常数). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a=2,x∈[1,9],求函数 f(x)的值域.

20.(满分 12 分)已知函数 f(x)=2a· 4x-2x-1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的零点; (2)若 f(x)有零点,求 a 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; (3)设 h( x) ? log9 a ? 3x ? 4 a ,若函数 f ( x) 与 h ( x ) 的图象有且只有一个公共点,
3

?

?

1 2

求实数 a 的取值范围.

22.已知 f1 ( x) ?| 3x ?1|, f2 ( x) ?| a ? 3x ? 9 | (a ? 0), x ? R ,且

? f ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)
(1)当 a=1 时,求 f ( x) 的解析式; (2)在(1)的条件下,若方程 f ( x) ? m ? 0 有 4 个不等的实根,求实数 m 的范 围; (3)当 2 ? a ? 9 时,设 f ( x) ? f 2 ( x) 所对应的自变量取值区间的长度为 l(闭区 间[m,n]的长度定义为 n ? m ) ,试求 l 的最大值.

沈阳二中 2014——2015 学年度上学期期中考试 高一( 17
1.A. 2 .D 13. 17.
1 2

届)数学答案
7.D 8.A 9.C . 10.D 11. A 12. D

3.D. 4.D 5.B 14.1 15.b<a<c

6.B

(- ?,e) 16.

1 (1)A={x| ≤2x+1≤16},有 2-3≤2x+1≤24, 8

于是-3≤x+1≤4,-4≤x≤3, 则 A={x|-4≤x≤3}. -----------5

(2)若 B=?, 即 m+1>3m-1, 即 m<1 时, 满足题意, ----------------------7 若 B≠?,即 m+1≤3m-1,即 m≥1 时, ?m+1≥-4 ? ?3m-1≤3 4 4 得-5≤m≤ ,即 1≤m≤ , 3 3

4 综上, 实数 m 的取值范围为(-∞, ]. -------------------------------10 3 18.略 ------------------------12

19.解:(1)ax- x>0? x(a x-1)>0,∵ x>0, 1 ∴a x-1>0,∵a>0,∴ x> .

a

1 1 ∴x> 2, 所以定义域为( 2, +∞). ----------------------------------6

a

a

(2)a=2 时,f(x)=log2(2x- x),令 2x- x=t 则

t=2x- x=2( x- )2

1 4

1 ---------------------------------8 8

因为 x∈[1,9], 所以 t∈[1,15], ----------------------------------10

所以 log21≤log2(2x- x)≤log215,即 0≤f(x)≤log215 所以函数 f(x)的值域为[0,log215].--------------------------12

20.解:(1)当 a=1 时,f(x)=2·4x-2x-1. 1 令 f(x)=0,即 2·(2x)2-2x-1=0,解得 2x=1 或 2x=- (舍去). 2 ∴x=0,∴函数 f(x)的零点为 x=0. --------------------------4

(2)解法一: 若 f(x)有零点, 则方程 2a· 4x-2x-1=0 有解----------------6 2x+1 于是 2a= x 4 1 1 =( )x+( )x 2 4 1 1 1 ∵( )x>0,∴2a> - =0,即 2 4 4
----------------------------------------------------------

10

a>0.------------------------------12

解法二:令 t=2x,∵x∈R,∴t>0, 则方程 2at2-t-1=0 在(0,+∞)上有解. ------------------------6 ①当 a=0 时,方程为 t+1=0,即 t=-1<0, 此时方程在(0, +∞)无解. -----------------------------------------8 ②当 a≠0 时,令 g(t)=2at2-t-1, 若方程 g(t)=0 在(0,+∞)上有一解,则 ag(0)<0,即-a<0,解得 a>0. 若方程 g(t)=0 在(0,+∞)上有两解,则

ag 0 >0, ? ?Δ =1+8a≥0, ?1 ? ?4a>0,

无解

-------------------------------------------10 综上所述,所求实数 a 的范围是(0,+∞). --------------------------12

21.(1) 因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.

x 1 ? log (9x ? 1) ? ? x 恒成立, 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 9 x

9

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 .
2

------------------------------------4
2 2

(2) 由题意知方程 log9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9x ? 1) ? x ? b 无解. 令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 1 ? log ?1 ? 1 ? g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. 因为 g ( x) ? log9 9 ? 9? x x ?

9

?

9 ?

1? 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ? ?1 ? x ? ? 0 .所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?.
9

?

9 ?

---------------8 (3) 由题意知方程 3x ? 1x ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根.
3 3

令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根.
3

-----------10 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去;
4

若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ;
4 4 2 2

方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是
{?3} (1 , ? ?) .

-----------------------------------------------------

--------------12 22.解: (1)当 a ? 1 时, f2 ( x) ?| 3x ? 9 | .
x ? ?3 ? 1, x ? 0 故 f1 ( x) ? ? x ? ?1 ? 3 , x ? 0 x ? ?3 ? 9, x ? 2 f 2 ( x) ? ? x ? ?9 ? 3 , x ? 2

易知当 x ? log3 5 时 f1 ( x) ? f 2 ( x)

?3 x ? 9, x ? 2 ? x ?9 ? 3 , log3 5 ? x ? 2 所以 f ( x) ? ? x -------------------------------------3 3 ? 1 , 0 ? x ? log 5 ? 3 ?1 ? 3 x , x ? 0 ?

(2) f ( x) ? m ,可画出 y ? f ( x) 和 y ? m 的图像, 由数形结合可知,当 m ? (0,1) 时方程 f ( x) ? m ? 0 有 4 个不等的实根 -----6 (3)当 x ? log 3
9 时,因为 a ? 3x ? 9 ? 0 , 3x ? 1 ? 0 , a

所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (a ? 3x ? 9) ? (3x ?1) ? (a ?1)3x ? 8 ? 0 ,解得 x ? log 3
9 8 ? x ? log 3 时, f ( x) ? f 2 ( x) a a ?1 9 当 0 ? x ? log 3 时,因为 a ? 3x ? 9 ? 0 , 3x ? 1 ? 0 , a

8 , a ?1

从而当 log 3

所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (3x ?1) ? 10 ? (a ?1)3x ? 0 ,解得 x ? log 3 从而当 log 3
10 9 ? x ? log 3 时, f ( x) ? f 2 ( x) a ?1 a

10 , a ?1

当 x ? 0 时,因为 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (1 ? 3x ) ? 8 ? (a ?1)3x ? 0 , 从而 f ( x) ? f 2 ( x) 一定不成立
10 8 , log 3 ] 时, f ( x) ? f 2 ( x) , a ?1 a ?1 8 10 4 2 ? log 3 ? log 3[ (1 ? )] 故 l ? log 3 a ?1 a ?1 5 a ?1 12 从而当 a ? 2 时, l 取得最大值为 log 3 -------------------------------12 5

综上得,当且仅当 x ? [log 3


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