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人教A版高中数学选修2-2学案:第一章1.2第二课时导数的运算法则Word版含解析


第二课时 导数的运算法则 预习课本 P15~18,思考并完成下列问题 (1)导数的四则运算法则是什么?在使用运算法则时的前提条件是什么? (2)复合函数的定义是什么,它的求导法则又是什么? [新知初探] 1.导数的四则运算法则 (1)条件:f(x),g(x)是可导的. (2)结论:①[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). ②[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ? ③? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 [点睛] 应用导数公式的注意事项 (1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算. (2)两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导. (3)若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. (4)对于较复杂的函数式,应先进行适当的化简变形,化为较简单的函数式后再求导, 可简化求导过程. 2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义:①一般形式是 y=f(g(x)). ②可分解为 y=f(u)与 u=g(x),其中 u 称为中间变量. (2)求导法则:复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为: yx′=yu′· ux′. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x)=2x,则 f(x)=x2.( ) ) (2)函数 f(x)=xex 的导数是 f′(x)=ex(x+1).( (3)函数 f(x)=sin(-x)的导数为 f′(x)=cos x.( 答案:(1)× (2)√ (3)× ) ) 2.函数 y=sin x· cos x 的导数是( A.y′=cos 2x+sin 2x C.y′=2cos x· sin x 答案:B B.y′=cos 2x D.y′=cos x· sin x 3.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 答案:-xsin x 4.若 f(x)=(2x+a)2,且 f′(2)=20,则 a=________. 答案:1 利用导数四则运算法则求导 [典例] 求下列函数的导数: cos x . x (1)y=x2+log3x;(2)y=x3· ex;(3)y= [解] =2x+ (1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′ 1 . xln 3 (2)y′=(x3· ex)′=(x3)′· ex+x3· (ex)′ =3x2· ex+x3· ex=ex(x3+3x2). ?cos x?′· x-cos x· ?x?′ cos x? (3)y′=? ? x ?′= x2 = -x· sin x-cos x xsin x+cos x =- . 2 x x2 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. [活学活用] 求下列函数的导数: (1)y=sin x-2x2;(2)y=cos x· ln x;(3)y= ex . sin x 解:(1)y′=(sin x-2x2)′=(sin x)′-(2x2)′=cos x-4x. (2)y′=(cos x· ln x)′=(cos x)′· ln x+cos x· (ln x)′ cos x =-sin x· ln x+ x . ?ex?′· si

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