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2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题-第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。

参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? 棱锥的体积公式: V ?

1 n 1 n ? ( xi ? x )2 ,其中 x ? n ? xi 。 n i ?1 i ?1

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为高。 3 棱柱的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 为高。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。 ......... 1、函数 y ? 3sin(2 x ?

?
4

) 的最小正周期为





答案: ? 2、设 z ? (2 ? i) 答案:5
2

( i 为虚数单位),则复数 z 的模为





x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 3、双曲线 16 9
答案: y ? ?





3 x 4
▲ 个子集。

4、集合{-1,0,1}共有 答案:8

5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是





1

答案:3 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 ▲ 第5次 93 92 。

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 答案:2

7、现有某类病毒记作为 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概率 为 ▲ 。

答案:

20 63

8、如图,在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中,D、E、F 分别为 AB、AC、A A1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 = ▲ 。

答案:1:24 9、抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。若点 P(x,y)
2

是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 答案: [ ?2, ]





1 2

10、 D、 分别是△ABC 的边 AB、 上的点, AD ? 设 E BC 且

??? ? ??? ? ??? ? 1 2 AB, BE ? BC 。 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 、 若 2 3

?2 均为实数),则 ?1 + ?2 的值为
答案:





1 2

2 11、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间

表示为





答案: (?5, 0) ? (5, ??)
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F,右准线为 l ,短轴 a 2 b2 的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 d1 ,F 到 l 的距离为 d2 。若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率
12、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的方程为 为 ▲ 。

答案:

3 3
1 ( x ? 0) 图象上的一动点。若点 P、A 之间 x


13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y ? 的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为= 答案: ?1, 10 14、在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ? 的值为 答案:12 ▲ 。



1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演 ....... 算步骤. 15、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ),0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。 (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力。满分 14 分。 (1)证明: (方法一)由 | a ? b |? 2 ,得: | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? 2 ,即 a ? 2a ? b ? b ? 2 。

?

?

? ?

?

?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?2

? ? ?2

a 又 a ? b ? a2 ? | b | ?,所以 2 ? 2 ? b ? 2 a ? b ? 0 ,故 a ? b 。 , | | 1
(方法二) a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ), 由 | a ? b |? 2 ,得: | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? 2 ,即: (cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? 2 ,
2 2

?2

?2

?

? ?? 2

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

3

化简,得: 2(cos ? cos ? ? sin ? ? sin ? ) ? 0 ,

? ? ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,所以 a ? b 。
(2) a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ),

? ?

可得: ?

?cos ? ? cos ? ? 0??(1) ?sin ? ? sin ? ? 1??(2)

(方法一)由(1)得: cos ? ? cos(? ? ? ) ,又 0 ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? (0, ? ) ,故 ? ? ? ? ? 。 代入(2) ,得: sin ? ? sin ? ?

1 5? ? ,? ? 。 ,又 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 6 6 1 , 2

(方法二) (1)2 ? (2)2 ,得: 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1, cos(? ? ? ) ? ?

又 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) 。故有: ? ? ? ?

2? , 3

? ???

2? 2? ) ? cos ? ? 0, 代入(1)式: cos( ? ? 3 3 5? 1 3 3 ? . cos ? ? sin ? ? 0, tan ? ? , ? ? . 从而 ? ? 6 2 2 3 6

化简,得:

? ?? ? ?? ? 2 cos cos ? 0?? (3) ? ? ?? ? 2 2 ? 0, (方法三)两式和差化积,得: ? 可得: cos ? ?? ? ?? 2 ?2sin cos ? 1?? (4) ? ? 2 2
又0 ? ? ?? ?? ,

? ??
2

? (0, ? ) ,所以

? ??
2

?

?
2



代入(4)式,可得: cos

? ??
2

?

1 ? ?? ? ? ?? ? ? (0, ) , ? 。 ,又 2 2 2 2 3

以上联立,解得: ? ?

5? ? ,? ? . 6 6

16、 (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC, AB ? BC , AS=AB。过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F,点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。

4

求证: (1)平面 EFG//平面 ABC; (2) BC ? SA 。 [解析] 本小题主要考查直线与直线、 直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论 证能力。满分 14 分。 证明: (1)因为 AS=AB,AF⊥SB 于 F,所以 F 是 SB 的中点。 又 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB。 因为 EF ? 平面 ABC,AB ? 平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC。 同理可证 EG∥平面 ABC。又 EF∩EG=E,所以平面 EFG//平面 ABC。 (2)因为平面 SAB ? 平面 SBC 于 SB,又 AF ? 平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC。 因为 BC ? 平面 SBC,所以 AF⊥BC。 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF、AB ? 平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB。 又因为 SA ? 平面 SAB,所以 BC⊥SA。

17、 (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置 关系等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决问题的能 力。满分 14 分。

18、 (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先 从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C。 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘坐缆车到 B,在 B 处 停留 1 分钟后,再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为 130 米/
5

分钟,山路 AC 的长为 1260 米,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? 。 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? [解析] 本小题主要考查正弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识, 考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力。满分 16 分。

19、 (本小题满分 16 分) 设 { a n } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 为其前 n 项和。记 bn ? 实数。 (1)若 c=0,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: S nk ? n 2 S k (n, k ? N ? ) (2)若 { b n } 为等差数列,证明:c=0。 [解析] 本小题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项、求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论 证能力。满分 16 分。

nSn , n ? N ? ,其中 c 为 2 n ?c

6

20、 (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数。
x

(1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。 [解析] 本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数、方程及不等式的相互转化,考 查综合运用数学思想方法分析与解决问题能力及推理论证能力。满分 16 分。

7

8

绝密★启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按 .................... 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC。 求证:AC=2AD。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的基础知识,考查推理论证能力。满分 10 分。

B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? ?1 0? ?1 2 ? ?1 已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 0 6 ? ,求矩阵 A B . 0 2? ? ? ?
[解析] 本题主要考查矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力。满分 10 分。

?a 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? ?c

b? d? ?
9

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ?1 ( t 为参数) 曲线 C 的参数方程为 ? , (? ? y ? 2 tan ? ? y ? 2t

为参数) 。试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 [解析] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 考查转化问题 的能力。满分 10 分。 解:因为直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ( t 为参数) , ? y ? 2t

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a ≥ b >0,求证: 2a ? b ≥ 2ab ? a b 。
3 3 2 2

[解析] 本题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力。满分 10 分。

10

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ........ 明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2, A A =4,点 D 是 BC 的 1 中点。 (1)求异面直线 A B 与 C1D 所成角的余弦值; 1 (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值。 22.【必做题】本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本 运算,考查运用空间向量解决问题的能力。满分 10 分。

23. (本小题满分 10 分)

??? ???? ?k个 ? k ?1 k ?1 设数列 ?an ? :1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…, (?1) k ,? (?1) k ,…
即当

(k-1)k (k+1)k ?n? (k ? N ? ) 时, an ? (?1)k ?1 k 。记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ? ) 。 2 2
?

对于 l ? N ,定义集合 Pl =﹛ n | Sn 为 an 的整数倍, n ? N , 且 1≤ n ≤ l } (1)求 P 中元素个数; 11 (2)求集合 P 中元素个数。 2000

?

11

23.【必做题】本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学 归纳法的推理论证能力。满分 10 分。

12


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