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高中全程复习方略配套课件:7.4垂直关系


第四节

垂直关系

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三年20考

高考指数:★★★★

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间

中线、面垂直的有关性质与判定定理;
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直 关系的简单命题.

1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中,主要考查对概

念、公理、定理、性质、结论的理解及运用,往往与命题及平
行关系综合在一起考查,难度较小;

2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现,
且常与平行关系综合命题,难度中等; 3.通过二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力, 常以解答题的形式出现,难度中等.

1.直线与平面垂直 任何 (1)定义:如果一条直线和一个平面内的______一条直线都垂 直,那么称这条直线和这个平面垂直.

(2)定理
文字语言 判 定 定 理 如果一条直线和 一个平面内的两 条相交直线都垂 直,那么该直线 与此平面垂直. 图形语言
l

符号语言

α

A

a
b

性 质 定 理

如果两条直线 同垂直于一个 平面,那么这 两条直线平行.

a α

b

a⊥α b⊥α
?a∥b

【即时应用】 (1)思考:能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线” 改为“无数条直线”? 提示:不可以.当这无数条直线平行时,直线l有可能在平面α 内,或者l与平面α相交但不垂直.

(2)直线a⊥平面α ,b∥α ,则a与b的位置关系是_______. 【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线,设为b′.因为 a⊥α,所以a⊥b′,从而a⊥b,但a与b可能相交,也可能异 面. 答案:垂直

(3)判断下列命题的真假.(在括号内填“真”,“假”) ①如果直线l与平面α 内的一条直线垂直,则l⊥α . ( )

②如果直线l不垂直于α ,则α 内没有与l垂直的直线.

(

)

③如果直线l不垂直于α ,则α 内也可以有无数条直线与l垂直.

(

)

【解析】当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与α垂直, 故①不对;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直, 故②不对;③正确. 答案:①假 ②假 ③真

2.二面角

二面角的定义

从一条直线出发的___________所组成的图形 两个半平面 叫作二面角.这条直线叫作二面角的____,这 棱 两个半平面叫作二面角的____. 面

二面角的度

以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平

垂直于 量——二面角 面内分别作________棱的两条射线,这两条 的平面角 射线所成的角叫作二面角的平面角. 直角 平面角是_____的二面角叫作直二面角.

【即时应用】

思考:二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置
有关吗?

提示:如图,用两个垂直于棱的平面γ1,γ2
去截一个二面角α—a—β,由等角定理知, 所截得的两个角θ1和θ2相等,这说明二面 角的平面角与在二面角的棱上选的点的位置无关.

3.平面与平面垂直 直二面角 (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是__________, 就说这两个平面互相垂直.

(2)定理 文字语言 如果一个平 判 定 定 理 面经过另一 个平面的一 垂线 条_____,那 么这两个平 面互相垂直. B Aβ 图形语言 符号语言

AB

β

AB⊥α ?β ⊥α

α

文字语言 如果两个平面 性 质 定 理

图形语言

符号语言
α ⊥β

互相垂直,那
么在一个平面 内垂直于它们 交线 _____的直线 垂直于另一个 平面.

Aβ N α M B

α ∩β =MN
AB β

AB⊥MN于点B

? AB⊥α

【即时应用】 (1)思考:垂直于同一平面的两平面是否平行? 提示:不一定.两平面可能平行,也可能相交.

(2)已知α ,β 表示两个不同的平面,m为平面α 内的一条直线,
则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的________条件.(填“充分不必 要”、“必要不充分”、“充要”) 【解析】由条件知,当m⊥β时,一定有α⊥β;但反之不一 定成立.故填必要不充分. 答案:必要不充分

(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB=_______.
【解析】如图,取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC, BO⊥AC,故∠DOB为二面角的平面角,从而∠DOB=90°.设正方 形边长为1,则 DO ? BO ? 2 , 所以DB=1,
2

故△ADB为等边三角形,所以∠DAB=60°. 答案:60°

直线与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.证明线面垂直的常用方法 方法一 利用线面垂直的判定定理

方法二

利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条 也与这个平面垂直”. 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则

方法三

与另一个也垂直”.

方法四 利用面面垂直的性质

2.线面垂直性质的应用 当直线和平面垂直时,则直线与平面内的所有直线都垂直,体 现了“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化. 【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程. 如用判定定理证明线面垂直时,一定要体现出“平面中的两条

相交直线”这一条件.

【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底
面是正六边形,PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( (A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (D)CF⊥平面PAD )

(2)(2012·南昌模拟)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC, AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC、PC于D、E两点,又 PB=BC,PA=AB.

P
①求证:PC⊥平面BDE; ②若点Q是线段PA上任一点,判断BD、 Q· DQ的位置关系,并证明你的结论; ③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积. A
· ·

E
C

D

B

【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断. (2)①利用线面垂直的判定定理证明;②证明BD⊥平面PAC即可;

③根据VB-CED=VC-BDE,转化为求S△BDE及CE的长度.
【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF,CF∥AB,

故A、C正确;因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥AF,
PA∩AF=A,故DF⊥平面PAF,即B正确.故选D.

(2)①由等腰三角形PBC,得BE⊥PC, ∵DE垂直平分PC,∴DE⊥PC, 又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE. ②由①得,PC⊥BD,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD. 又PC∩PA=P,∴BD⊥平面PAC.

∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.

③∵PA=AB=2,∴PB=BC= 2 2. ∵AB⊥BC,∴ AC ? 2 3, ∴PC=4,CE=2, 且 BD ? AB?BC ? 2 ? 2 2 ? 2 6 ,
AC 2 3 3

∵△CDE∽△CPA,∴

CE DE ? , CA PA

∴ DE ? CE?PA ? 2 ? 2 ? 2 3 .
CA 2 3 3

由②知:BD⊥DE.

∴ VB?CED ? VC?BDE ? 1 S△BDE ?CE ? 1 ? ( 1 ? 2 6 ? 2 3 ) ? 2 ? 4 2 .
3 3 2 3 3 9

【反思·感悟】1.在证明垂直关系时,要注意线面垂直与面面

垂直间的相互转化,同时要注意通过作辅助线进行这种转化.
2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析,从中 找到线线垂直往往是解题的关键,因为所有的垂直问题都可转 化为线线垂直来处理.

平面与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】 1.证明面面垂直的方法 面面垂直的证明综合性强,可通过转化使问题得以解决,“线 线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如下图, 线面垂直

线线垂直

判定 性质

面面垂直

其中线线垂直是基础,线面垂直是核心.解决这类问题时要善 于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件. 2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依 据,运用时要注意“平面内的直线”.

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直
于第三个平面.

【例2】如图,在△BCD中,∠BCD=90°,
BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,

E、F分别是AC、AD上的动点,且
AE AF ? ? ?(0 ? ? ? 1). AC AD

(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明;
(2)是否存在λ ,使得平面BEF⊥平面ACD,如果存在,求出λ 的值,如果不存在,说明理由.

【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由

AE AF = AC AD

知EF∥CD,由∠BCD=90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由CD⊥平面ABC得出BE⊥CD,可知,要想平面BEF⊥平面ACD,

只需BE⊥AC,即寻求此时满足条件的λ的值是否存在.

【规范解答】(1)EF⊥平面ABC. 证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD, 在△BCD中,∠BCD=90°,∴BC⊥CD, 又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC, 在△ACD中
AE AF =λ(0<λ<1), ? AC AD

∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.

(2)∵CD⊥平面ABC,BE

平面ABC,∴BE⊥CD,

故要使平面BEF⊥平面ACD,只需证BE⊥AC. 在Rt△ABD中,∠ADB=60°,∴AB=BDtan60°= 6, 则 AC ? AB2 ? BC2 ? 7, 当BE⊥AC时,BE= AB ? BC = 6 ,
AC 7

AE ? AB2 ? BE 2 ?

36 , 7

36 则 AE = 7 = 6 ,即?= AE = 6 时,BE⊥AC, AC 7 AC 7 7

又BE⊥CD,AC∩CD=C,∴BE⊥平面ACD, ∵BE 平面BEF,∴平面BEF⊥平面ACD.

所以存在 ?= 6 时,平面BEF⊥平面ACD.
7

【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直,确定这条

直线时可从图中现有的直线中去寻找,若图中不存在这样的直
线,则应通过添加辅助线来构造.

垂直关系的综合问题

【方法点睛】垂直关系综合题的解题思路
(1)对于三种垂直的综合问题,要注意通过作辅助线进行线线、 线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行结合的问题,应注意平行、垂直的性质及 判定的综合应用.

(3)对于垂直与体积结合的问题,在求棱锥的体积时,可根据
线面垂直得到表示棱锥高的线段,进而求得体积.

【例3】(2012·唐山模拟)如图,已知三棱锥A-BPC中, AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正 三角形. (1)求证:DM∥平面APC; (2)求证:平面ABC⊥平面APC; (3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP;(2)证 BC⊥平面APC;(3)通过VD-BCM=VM-BCD求体积. 【规范解答】(1)∵M为AB中点,D为PB中点, ∴DM∥AP, 又DM ? 平面APC,AP ∴DM∥平面APC. 平面APC.

(2)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点,
∴MD⊥PB,又由(1)知MD∥AP,∴AP⊥PB

又AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面PBC,
∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC,AP∩AC=A, ∴BC⊥平面APC. 又BC 平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.

(3)∵AB=20,∴MP=10,PB=10 又BC=4,PC= 100- =2 21, 16 ∴ S△BDC= 1 S△PBC= 1 PC?BC= 1 ? 2 21 ? 4 ? 2 21,
2 4 4

又 MD= 1 AP= 1 400-100=5 3.
2 2

∴VD-BCM=VM-BCD= 1 S△BDC ?DM=1 ? 2 21 ? 5 3=10 7.
3 3

【反思·感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应 用,解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化. 2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现,以做到规范解题.

【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答 【典例】(12分)(2011·辽宁高考)如图,四边形ABCD为正 方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA, QA ? AB ? 1 PD.
2

(1)证明:PQ⊥平面DCQ; (2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值.

【解题指南】(1)证明PQ⊥DC,PQ⊥QD,进而可得PQ⊥平面DCQ;
(2)设出正方形的边长为a,分别计算两个棱锥的体积,再求体积 的比值.

【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形. 因为QA⊥平面ABCD,QA 平面PDAQ,

所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD, 所以DC⊥平面PDAQ,????????????????2分 又PQ 平面PDAQ,所以PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得 DQ ? PQ ? 2 PD,
2

则PQ⊥QD.????????????????????5分 又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ.???????????6分 (2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高, 所以棱锥Q-ABCD的体积 V1 ? 1 a 3 . ??????????8分
3

由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高, 而PQ= △DCQ的面积为 2a,
3

2 2 a, 2

所以棱锥P-DCQ的体积 V2 ? 1 a 3 . ??????????11分
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.??12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以
得到以下失分警示和备考建议:

失 分 警 示

在解答本题时有两点容易造成失分: (1)解题时忽视各种垂直间的转化,从而造成思路受

阻;
(2)答题过程书写不规范,如在证明线面垂直时忽视 了对“平面内两条相交直线”的叙述.

解决垂直问题时,还有以下几点容易造成失分,在备 考时要高度关注: 备 (1)缺乏空间想象能力,找不出应该垂直的线和面; 考 (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确;

建 (3)不善于挖掘图形中存在的关系,缺乏通过添加辅
议 助线解题的能力. 另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范,并

且要善于使用数学符号进行表达.

1.(2012·泉州模拟)已知两条不同的直线m,n,两个不同的平 面α ,β ,则下列命题中的真命题是( )

(A)若m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则m⊥n
(B)若m∥α ,n∥β ,α ∥β ,则m∥n

(C)若m⊥α ,n∥β ,α ⊥β ,则m⊥n
(D)若m∥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则m∥n

【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m

β,又n⊥β,

故m⊥n,即A正确;如图(1),m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n,
故C错;如图(2)知B错;如图(3)正方体中,m∥α,n⊥β, α⊥β,但m,n相交,故D错.

2.(2012·沈阳模拟)已知直线l、m,平面α 、β ,且l⊥α , m β ,则“α ∥β ”是“l⊥m”的( )

(A)充要条件 (C)必要不充分条件

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选B.当α∥β,l⊥α时,有l⊥β,
又m β,故l⊥m.

反之,当l⊥m,m

β时,不一定有l⊥β,

故α∥β不一定成立. 因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.

3.(2012·珠海模拟)设α 、β 是空间中两个不同的平面,m,

n是平面α 及β 外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α ⊥β ;
③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作为结论 组成命题,其中为真命题的个数是( (A)4 (B)3 (C)2 ) (D)1

【解析】选C.由题设根据线面、面面垂直的定义、判定定理和 性质可知:②③④?①正确;①③④?②正确,①②④?③不 正确,①②③?④不正确,故选C.

4.(2012·桂林模拟)设l,m,n为三条不同的直线,α 为一个平

面,给出下列命题
①若l⊥α ,则l与α 相交

②若m

α ,n

α ,l⊥m,l⊥n,则l⊥α

③若l∥m,m∥n,l⊥α ,则n⊥α ④若l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则l∥n 其中正确命题的序号为_________.(注:把你认为正确的命题 的序号都填上)

【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况,故①正确; 由于m、n不一定相交,故②不正确;根据平行线的传递性,故

l∥n,又l⊥α,故n⊥α,从而③正确;由m⊥α,n⊥α知m∥n,
故l∥n,故④正确.

答案:①③④

5.(2012·咸阳模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正 方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为

侧棱SC上一点.
(1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平面BDE;

(2)求证:平面BDE⊥平面SAC.

【证明】(1)连接OE,由条件可得SA∥OE. 因为SA 平面BDE,OE 平面BDE,所以SA∥平面BDE.

(2)由已知可得,SB=SD,O是BD的中点,所以BD⊥SO,
又因为四边形ABCD是正方形, S
·E

所以BD⊥AC.
因为AC∩SO=O,所以BD⊥平面SAC. 又因为BD 平面BDE,所以 A D O
·

C B

平面BDE⊥平面SAC.


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