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06-07高数A(二)试卷C评分标准


试卷类型:

C

2007 年 6 月 9 日

苏州科技学院试题标准答案及评分标准

课程名称:
使用专业 相关
一.填空题(每小题 2 分,共 10 分) 1. x 2 ? y 2 ? 2z , 3.

高等数学 A(二)
命题教师 范增明 课程所在教研室 大学数学

2. 1 ? 2 3 ,
3 1

?

1 0

dy? y f ( x, y )dx ? ? dy? y f ( x, y )dx ,
3 1 3

y

4. [ ?2, 4) ,

5. 8?

二.选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1(D) 2(A) 3(A) 4(B) 三.计算题(每小题 6 分,共 60 分) 1.民办学生做第(1)题,公办学生做第(2)题。

5(D)

2 z 2 2 (1)设函数 z ? z( x , y ) 由方程 z ? e ? x ? y ? 2 所确定,求 z x 、 z y 。

解:令 F ? e z ? z 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 (1 分)

Fx ? 2x, Fy ? 2 y, Fz ? e z ? 2z (3 分)
zx ? ? Fy Fx 2x 2y (2 分) ? , z ? ? ? y z Fz 2 z ? e Fz 2 z ? e z

(2)设函数 z ? z ( x , y ) 由方程 sin z ? f ( x, x ? y, x ? y ? z ) 所确定,其中 f 具有连续的一 阶偏导数,求 dz 。 解:令 F ? f ( x, x ? y, x ? y ? z ) ? sin z

Fx ? f1 ? f 2 ? f 3 , Fy ? f 2 ? f 3 , Fz ? f 3 ? cos z

(3 分)

zx ? ?

Fy Fx f ? f 2 ? f3 f ? f3 ? 1 , zy ? ? ? 2 Fz cos z ? f 3 Fz cos z ? f 3
f1 ? f 2 ? f 3 f ? f3 dx ? 2 dy cos z ? f 3 cos z ? f 3

(2 分)

dz ? z x dx ? z y dy ?

(1 分)

第 1 页

共 5 页

2.设 z ? f ( x ? y, xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 z x , z xy 。 解: z x ? f1 ? yf 2 (3 分) (3 分)

z xy ? f 2 ? f11 ? ( x ? y) f12 ? xyf22

3.民办学生做第(1)题,公办学生做第(2)题。

(1)已知一直线的一般式方程为 ? 解:直线上一点 (1,0,0) (1 分)

? x ? y ? z ?1 ? 0 ,求其对称式方程。 ?2 x ? y ? z ? 2 ? 0
? n ?? 1,1,?1?? ?2,1,?1? ? ?0,?1,?1?
(3 分)

x ?1 y z ? ? 0 1 1
(2)求过直线L ?

(2 分)

?x ? y ? z ? 2 ? 0 且过原点的平面方程。 x ? 2 y ? 3 z ? 1 ? 0 ?
(2 分)

解:设所求直线方程为 x ? y ? z ? 2 ? ? ( x ? 2 y ? 3z ? 1) ? 0 代入 O(0,0,0) ,得到 ? ? ?2 所求平面方程为 x ? 5 y ? 7 z ? 0 4.计算二重积分 I ? (2 分) (2 分)
1
2

?

1 0

dy?

1 y

e ? x dx ? ? e ? x dx? dy (3 分)=
2

x

0

0

1 ? e ?2 2

(3 分)

5.民办学生做第(1)题,公办学生做第(2)题。 (1)计算二重积分 I ? 在第一象限的区域。 解: I ?

??
D

x 2 ? y 2 dxdy ,其中 D 是由 x 2 ? y 2 ? 1 与 x 2 ? y 2 ? 4 所围成的

?

?
2 0

d? ?

2 1

? 2 d ? (3 分)= ? (3 分)

7 6

(2)计算二重积分 I ?

?

a ?a

dx ?

a2 ? x2 0

( x 2 ? y 2 )2 dy = ? d? ?
0

?

a 0

? 5d ?(3 分)=

a6 ? (3 分) 6

6.民办学生做第(1)题,公办学生做第(2)题。

第 2 页

共 5 页

(1)求坐标原点到曲面 xyz ? 1( x ? 0, y ? 0, z ? 0) 的最短距离。 解:曲面上一点 ?x, y, z ?( x ? 0, y ? 0, z ? 0) 到原点的距离为 d ? 作 L ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? ( xyz ? 1) 解 Lx ? 0, Ly ? 0, Lz ? 0, L? ? 0 (2)计算曲线积分 I ? 弧。 解: I ? (2 分) 得到 x ? y ? z ? 1 (2 分)

x2 ? y2 ? z2

(1 分)

d? 3

(1 分)

?

L

yds ,其中 L 是抛物线 x ? 2 y 2 ? 1 介于 y ? 0 与 y ? 1 之间的一段
1 (17 17 ? 1) 48
2

?

1 0

y 1 ? 16 y 2 dy

(3 分)=

(3 分)

7.计算曲面积分 I ? ( 0 ? z ? 1) 的下侧。

?? xdydz? ydzdx? ( z
?

? 2 z)dxdy , 其 中 ? 是 曲 面 z ? x 2 ? y 2

解:补 ?1 : z ? 1( x 2 ? y 2 ? 1) 取上侧

I?

? ? ?1

?? ?

? ?? (2 分)= ??? 2 zdV ? ?? dxdy(2 分)
?1

?

D

=2

2? 0

1 1 3 d? ? ? d ? ? zdz ? ? ? ? (2 分) 0 ? 2

8. 计算曲线积分 I ?

?

L

(6 xy ? 2 y 2 )dx ? (3x 2 ? 4 xy)dy ,其中 L 是从原点沿抛物线 y ? x 2 到点

A(1,1) 的定向曲线弧。
解:记 P ? 6 xy ? 2 y , Q ? 3x ? 4 xy,
2 2

?p ?Q ? ?y ?x

积分与路径无关(2 分)

I ? 0 ? ? (3 ? 4 y)dy
0

1

(3 分)=5 (1 分)

9.求幂级数

? (?1) n?1 x n (?1) n ?1 的和函数,并求级数 的和。 ? ? n n n ?1 n ?1

?

解:收敛半径 R ? 1 ,收敛域为 ?? 1,1?

(2 分)

s ( x) ? ?

(?1) n?1 x n n n ?1
?

s (0) ? 0, s ' ( x) ?

1 1 ? x) (3 分) ,得到 s( x) ? ln( 1? x

第 3 页

共 5 页

(?1) n ?1 = ln 2 (1 分) ? n n ?1
?

10.将函数 f ( x) ? ln x 展开成 x ? 2 的幂级数,并确定该幂级数的收敛域。

x?2 ) 解: f ( x) ? ln x = ln 2 ? ln(1 ? 2
收敛域 (0,4] (1 分)

(?1) n?1 ( x ? 2) n (2 分)= ln 2 ? ? (3 分) 2n n ?1
?

四.应用题(每小题 7 分,共 14 分) 1.已知一均匀物体由曲面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 0 所围成,求该物体的重心坐标。 解:由对称性得到

x ? 0, y ? 0

(1 分)

V ? ??? dV ? ?
?

2? 0

d? ? ? d ? ?
0

1

1? ? 2 0

dz ?

?
2

(2 分)

Mz ?

??? zdV ? ?
?

2? 0

d? ? ? d ? ?
0

1

1? ? 2 0

zdz ?

?
6

(2 分)

z?

1 3

(1 分)

重心坐标为 (0,0, ) 2.求曲面 z ? 解: A ?

1 3

(1 分)

4 ? x 2 ? y 2 含在柱面 x 2 ? y 2 ? 2 x 内的部分面积。
2 2 1? zz ? zy dxdy (2 分)=2 ?

??
D

?
2 0

d? ?

2cos ? 0

2? 4 ? ?2

d ? (3 分)= 4? ? 8 (2

分) 五.证明题(本题满分 6 分) 民办学生做第(1)题,公办学生做第(2)题。 (1)证明: lim

n! ?0。 n ?? n n

证明:考虑级数

?n
n ?1

?

n!
n

,用比值判别法判断收敛(4 分) ,

得到一般项趋于 0,既 lim

n! ?0 n ?? n n

(2 分)

第 4 页

共 5 页

(2)设 an ? cn ? bn (n ? 1,2,?) ,并且级数 收敛。

? an 与 ? bn 都收敛,证明:级数 ? c n 也
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

解:由条件知 0 ? cn ? an ? bn ? an , (2 分) 由级数 ? an 与 ? bn 收敛得到 ? (bn ? a n ) 收敛 (2 分)
n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ?

从而

? (cn ? an ) 收敛,得到级数 ? c n 也收敛。 (2 分)
n ?1 n ?1

?

?

第 5 页

共 5 页


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