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单位圆与诱导公式_图文

复习回顾

1.在直角坐标系中,给定单位圆,对 于任意角 ? ,终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角 ? 的 正弦函数,记作 v ? sin ? ;点P的 P(u,v) 横坐标u叫作角 ? 余弦函数,记作 u ? cos?. 2.公式(1) M

y

?
o 1 x

sin(? ? 2k ?) ? sin ? cos(? ? 2k ?) ? cos ? (k ? Z)

13? 3? () 1 sin ;(2) cos(? ). 3.练习.求值: 4 4

§4.3 单位圆与诱导公式(一)

1.

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

? ?? 设 ? ? ? 0, 2? ? , 则以下四种情形中有且只有一种成立(? ? ? 0, ? ) ? 2?

0

2? 间角度表达式
? ? ? 0,
? ?? ? ? 2?

?

y

? ??

? ??
2? ? ?

?? ? ? ? ? ,? ? ?2 ? ? 3? ? ? ? ?? , ? 2 ? ? ? 3? ? ? ? ? , 2? ? ? 2 ?

P(u,v)

o

??

x P'(u,-v)

2.推导诱导公式 (1)角 ? 与 ??的正弦函数、 余弦函数关系: sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? 公式(2)

(2)角 ? 与 2? ? ? 的正弦函

y

数、余弦函数关系:

P(u,v) o
??

sin(2? ? ? ) ? ? sin ? 公式(3) cos(2? ? ? ) ? cos ?
(3)角 ? 与 ? ? ? 的正弦函 数、余弦函数关系:

x P'(u,-v)

2? ? ?
y

? ??
公式(4)
P'(-u,-v) o

P(u,v)

sin ?? ? ? ? ? -sin ?
cos ?? ? ? ? ? -cos?

x

(4)角 ? 与 ? ? ? 的正弦函

数、余弦函数关系:
P'(-u, v)

y

? ??
o

P(u,v)

x

sin ?? ? ? ? ? sin ?
cos ?? ? ? ? ? -cos?

公式(5)

3. 诱导公式: 公式(1)

sin(? ? 2k ?) ? sin ? cos(? ? 2k ?) ? cos ? (k ? Z)

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ?

公式(2)

sin ?? ? ? ? ? -sin ? sin(2? ? ? ) ? ? sin ? 公式(3) 公式(4) cos ?? ? ? ? ? -cos? cos(2? ? ? ) ? cos ? sin ?? ? ? ? ? sin ?
cos ?? ? ? ? ? -cos?
公式作用: 任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数 (1)同名函数; 记忆方法: 公式(5) (2)符号规律:在记忆时将 α(α是任意角)看作锐角,原函数 值的符号.
用公式 一或二 用公式

可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下面的步骤进行:

任意正角的三角函数

用公式一

三或四或五

0到π/2的角的三角函数

4. 诱导公式应用:

例1.求下列三角函数的值:
(1) cos 225 ; (2) sin 练习1.求下列三角函数的值: 13 cos ?; (1) 9
11 ?. 10

(2)sin(? ? 1).

例2.求值: sin(?1071 ) cos351 ? sin(?171 ) cos(?171 ) 练习2.求下列三角函数的值: ? (1) sin( ? ) ; (2) 3

29? cos 3

.

练习3.求下列三角函数的值:
(1) cos(?420 ) ; (2)
7 (3) cos( ? ?) 6

sin(?1230 ) ;

;

(4)

7 sin( ? ?) . 6

cos(180 ? ?)sin(? ? 360 ) 例3.化简: . sin(?? ? 180 ) cos(?180 ? ?)

sin(2? ? ? ) cos(? ? ? )sin(? ? 7? ) . 练习4.化简: cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin(?? ? ? )

5. 小 结 (1)熟记五组诱导公式:

? ? 2k? (k ? Z ), ?? , ? ? ? , 2? ? ? 的三角函数值,等于? 的同
名函数值,前面加上一个把? 看成锐角时,原函数值的符号. 即:函数同名,象限定号 (2)诱导公式的应用: ①把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角的正 弦函数、余弦函数值; ②求值、化简、证明.


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