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第8篇 第1节 跟踪训练40 直线与方程

第八篇
第1节

平面解析几何
直线与方程

质疑探究 1:任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? 提示:每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜 率.倾斜角为 90°的直线斜率不存在. 质疑探究 2:直线的倾斜角 θ 越大,斜率 k 就越大,这种说法正确吗?
π 提示:这种说法不正确.由 k=tan θθ≠2知 π (1)当 θ∈[0,2)时,k>0,θ 越大,斜率就越大; π (2)当 θ∈[2,π)时,k<0,θ 越大,斜率也越大.

2.直线方程的五种形式
1 / 11

名称 点斜式 斜截式

已知条件 斜率 k 与点(x ,y )
0 0

方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b
2

适用范围 不含直线 x=x
0

斜率 k 与截距 b 两点(x ,y )、(x ,
1 1

不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x (x =x )和直
1 1 2

两点式

y ) (其中 x ≠x 、 y ≠y )
1 2 2 1 2

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y a+b=1 Ax+By+C=0 (A、B 不同时为 0)

线 y=y (y =y )
1 1 2

截距式 一般式

截距 a 与 b

不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 平面直角坐标系内的直线都 适用

质疑探究 3:截距是距离吗?

提示:直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横(纵)坐标,所 以截距是一个实数,可正、可负,也可为 0,而不是距离. 3.两条直线位置关系的判定

斜截式 直线 方程 相交 垂直 y=k x+b
1 2 1 2 1 2

一般式 A x+B y+C =0
1 2 1 2

y=k x+b k ≠k
1 2

A x+B y+C =0 A B -A B ≠0
1 2 2 1

k1k2=-1 斜截式

A A +B B =0
1 2 1 2

一般式 ? ?A1B2-A2B1=0

平行

k1=k2 且 b1≠b2

? ? ?B2C1-B1C2≠0 ? ?A1B2-A2B1=0 或? ? ?A1C2-A2C1≠0 ? ?A1B2-A2B1=0 ? ? ?B2C1-B1C2=0 ? ?A1B2-A2B1=0 或? ? ?A1C2-A2C1=0
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重合

k1=k2 且 b1=b2

4.两条直线的交点

设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两 ? ?A1x+B1y+C1=0, 条直线的方程联立,得方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0.
(1)若方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交,此解就是 l1、l2 交点的坐标; (2)若方程组无解,则 l1 与 l2 无公共点,此时 l1∥ l2; (3)若方程组有无数组解,则 l1 与 l2 重合. 5.几种距离 (1)两点距离 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= x2-x12+y2-y12 (2)点线距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离 |Ax0+By0+C| d= . A2+B2 (3)线线距离 |C1-C2| 两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= 2 A +B2

1.若直线过点 P(1-a,1+a),Q(3,2a),且倾斜角为 135° ,则 a 等于( 1 A.2 1 C.4 解析:由题意知直线 PQ 的斜率 k= 2a-?1+a? a-1 = =-1, 3-?1-a? 2+a 1 B.-2 1 D.-4

)

1 解得 a=-2.故选 B. 答案:B 2.点(1,1)到直线 x+2y=5 的距离为( 5 A. 5 3 5 C. 5
3 / 11

) 8 5 B. 5 2 5 D. 5

解析:直线方程化为一般式 x+2y-5=0, 所以 d= |1+2×1-5| 2 2 5 = = 5 . 故选 D. 5 12+22 )

3.若直线 x-2y+4=0 与直线 kx+y-2=0 垂直,则 k 等于( A.2 1 C.2 解析:由两直线垂直的充要条件, 得 1× k+(-2)× 1=0,解得 k=2. 故选 A. 答案:A B.-2 1 D.-2

4. 过点 M(3, -4)且在两坐标轴上的截距之和等于 0 的直线方程为_____. 解析:设直线在 x、y 轴上的截距为 a,b,由已知 a+b=0, ①当 a=0 时,b=0,此时直线过坐标原点 O. -4-0 4 4 故 k= =-3,方程为 y=-3x,即 4x+3y=0. 3-0 ②当 a≠0 时,b=-a, x y 由截距式方程得直线方程为a+ =1,即 x-y-a=0. -a 由 M 在直线上得 3-(-4)-a=0,解得 a=7. 此时直线方程为 x-y-7=0, 故直线方程为 4x+3y=0 或 x-y-7=0. 答案:4x+3y=0 或 x-y-7=0 即时突破 1 直线 xsin α-y+1=0 的倾斜角的变化范围是(
π? ? A.?0,2? ? ? ? π π? C.?-4,4? ? ? B.(0,π) π? ?3 ? ? D.?0,4?∪?4π,π? ? ? ? ? )

解析:由 xsin α-y+1=0 得 y=xsin α+1. 设直线的倾斜角为 θ,则 tan θ=sin α, ∵-1≤sin α≤1,∴-1≤tan θ≤1.
4 / 11

又∵0≤θ<π, π 3π ∴0≤θ≤4或 4 ≤θ<π, π? ?3 ? ? ∴倾斜角 θ 的变化范围为?0,4?∪?4π,π?,
? ? ? ?

故选 D. 即时突破 2 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条
件的直线 l 的方程. (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为6.

解:(1)法一 设直线 l 的方程为 y=k(x+3)+4, 4 它在 x 轴,y 轴上的截距分别是-k-3,3k+4,
?4 ? 由已知得(3k+4)? k+3?=± 6, ? ?

2 8 解得 k=-3或 k=-3. 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 法二 由题知直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距均不为 0, x y 设直线 l 的方程为a+b=1,

?2|ab|=3, 则由题意得? -3 4 ? a +b=1,

?ab=-6, ? ? ?4a-3b=ab. ?

1

? ?ab=6, 即? ? ?4a-3b=ab



② 3

?a=- , ? ?a=3, 2 解①得? 或? ?b=2, ?
②无解.

?b=-4,

5 / 11

x y x y 所以直线方程为3+2=1 或 3+ =1, -4 -2 即 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 1 则直线 l 的方程为 y=6x+b, 它在 x 轴上的截距为-6b, 由已知得|-6b· b|=6, ∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 即时突破 3 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n
的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1 ?m2-8+n=0, ? 解:(1)由题意得? ?2m-m-1=0, ?

解得 m=1,n=7. 即 m=1,n=7 时,l1 与 l2 相交于点 P(m,-1).
2 ? ?m -16=0, (2)∵l1∥l2,∴? ? ?-m-2n≠0,

? ? ?m=4, ?m=-4, ? 解得 或? ? ? ?n≠-2 ?n≠2.

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 m· 2+8· m=0, 即 m=0 时,l1⊥l2. n 又-8=-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2, 且 l1 在 y 轴上的截距为-1.
6 / 11

P261

[课时跟踪训练(40) 直线与方程]
261页

[2015 年高三总复习]

7 / 11 [ 皮山县高级中学:艾沙江老师编制

2015 年 2 月 10 日 ]

课时跟踪训练(40)

直线与方程

一、选择题 1.已知两点 A(-3, 3),B( 3,-1),则直线 AB 的倾斜角等于( π A. 3 π C. 6 解析:斜率 k= -1- 3 3 =- , 3 3-?-3? 5 ∴θ= π. 6 2π B. 3 5 D. π 6 )

又∵θ∈[0,π), 故选 D. 答案:D

2.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 C.-2 或-1 解析:①当 a=0 时,y=2 不合题意. ②a≠0, x=0 时,y=2+a. a+ 2 y=0 时,x= , a a+2 则 =a+2,得 a=1 或 a=-2. a 故选 D. 答案:D 3.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0 ) B.-1 D.-2 或 1

)

解析:因所求直线与直线 x-2y+3=0 垂直, 故可设为 2x+y+m=0. 又因为所求直线过点(-1,3), 所以有 2×(-1)+3+m=0, 解得 m=-1. 故所求直线方程为 2x+y-1=0.故选 A. 答案:A )
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4.(2014 济南一模)已知直线 l1:(a-1)x+2y+1=0 与 l2:x+ay+3=0 平行,则 a 等于(

A.-1 C.0 或-2

B.2 D.-1 或 2

解析:由 l1∥l2,得(a-1)×a-2×1=0, 即 a2-a-2=0,解得 a=-1 或 a=2. 当 a=-1 时,l1:-2x+2y+1=0,即 2x-2y-1=0, l2:x-y+3=0,显然 l1∥l2. 当 a=2 时,l1:x+2y+1=0, l2:x+2y+3=0,显然 l1∥l2, 综上,a=-1 或 2.故选 D. 答案:D 5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2) )

解析:直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1 与直线 l2 关 于点(2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2).故选 B. 答案:B 6. 经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的, 且截距之和最小, 则直线的方程为( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 x y 解析:法一 设直线方程为 + =1, a b ∵直线过点 P(1,4), 1 4 ∴ + =1, a b 即 a= b . b-4 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 )

∵a>0,b>0, ∴ b >0, b-4

即 b>4. b 4 4 ∴a+b=b+ =b+ +1=(b-4)+ +5≥9. b-4 b-4 b-4 (当且仅当 a=3,b=6 时,“=”成立), 故直线方程为 2x+y-6=0.故选 B. x y 法二 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b ∵直线过点 P(1,4),

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1 4 ∴ + =1. a b 1 4 ∴a+b=(a+b)×( + ) a b 4a b =1+ + +4 b a 4a b =5+( + ) b a ≥5+2 4a b × =9. b a

4a b (当且仅当 = ,即 b=2a,也就是 a=3,b=6 时等号成立) b a x y ∴截距之和最小时直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0.故选 B. 3 6 答案:B 二、填空题 7. 已知直线 l 经过点 P(2014,1), Q(2014, m2)(m∈R), 则直线 l 的倾斜角的取值范围是________. m2-1 解析:直线 l 的斜率 k= =1-m2. 2013-2014 因为 m∈R,所以 k∈(-∞,1], π π 所以直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, ]∪[ ,π). 4 2 π π 答案:[0, ]∪[ ,π) 4 2 8.过点(3,0)且倾斜角是直线 x-2y-1=0 的倾斜角的两倍的直线方程为______. 解析:设直线 x-2y-1=0 的倾斜角为 α, 1 则 tan α= . 2 2tan α 4 ∴所求直线的斜率 k=tan 2α= = . 1-tan2α 3 4 故直线方程为 y-0= (x-3), 3 即 4x-3y-12=0. 答案:4x-3y-12=0 9.已知 A(3,0),B(0,4),点 P(x,y)在直线 AB 上,则 x2+y2的最小值为________. x y 解析: 直线 AB 的方程为 + =1, 即 4x+3y-12=0, 而 x2+y2表示 P 点与坐标原点 O 的距离, 3 4 故其最小值为点 O 到直线 AB 的距离 d= 12 答案: 5
10 / 11

|-12| 42+32

12 = . 5

10. 过两直线 x+3y-10=0 和 y=3x 的交点, 并且与原点距离为 1 的直线方程为____________. 解析:设所求直线为(x+3y-10)+λ(3x-y)=0, 整理得(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0. 由点到直线距离公式得 解得 λ=± 3. ∴所求直线为 x=1 或 4x-3y+5=0. 答案:x=1 或 4x-3y+5=0 三、解答题 11. 已知 A(1, -4), B(3, -2)和直线 l: 4x-3y-2=0, 在坐标平面内求一点 P, 使得|PA|=|PB|, 且点 P 到直线 l 的距离等于 3. 解:由|PA|=|PB|知点 P 在线段 AB 的中垂线上, 而 kAB= -2-?-4? =1, 3-1 =1, ?1+3λ?2+?3-λ?2 |-10|

1+3 -4-2 AB 中点 M , ,即 M(2,-3). 2 2 1 故 AB 中垂线的斜率 k=- =-1, kAB 其方程为 y-(-3)=-1×(x-2),即 y=-x-1. 设 P(a,-a-1),由已知 P 到直线 l 的距离为 3, |4a-3?-a-1?-2| 故 =3,整理得|7a+1|=15, 42+?-3?2 16 解得 a=2 或 a=- . 7 16 9 所以点 P 的坐标为(2,-3)或- , . 7 7

12.(2014 合肥月考)已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a、b 的值.(1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2, a ∴直线 l1 的斜率存在.k1=k2,即 =1-a. b 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. b 2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3
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