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高中数学竞赛讲义八


高中数学竞赛讲义八
──平面向量

一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0,使得 a= f

定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作 为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积, 若非零向量 a, b 的夹角为 , a, b 的数量积记作 a· 则 b=|a|· |b|cos =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b

0),

定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, 2 的一点, p 则存在唯一实数 λ, 使



λ叫P分

所成的比,若 O 为平面内任意一点,则

。由此可得若

P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则

定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形, F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向, 将 平移 |a|= 个单位得到图形 , 这一过程叫做平移。 p(x, y)是 F 上任意一点, 设 平移到

上对应的点为

,则

称为平移公式。

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2· 2-|a· 2= |b| b| -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, 又|a· b|≥0,

|a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn), 同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn), 同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

【证明】 记 后与原正 n 边形重合,所以

, 若 不变,这不可能,所以

, 则将正 n 边形绕中心 O 旋转

例 2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD, 则 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG 所以 PC,所以

充分性。 若 因为 ,则

, 延长 AG 交 BC 于 D, GP=AG, 使 连结 CP, 则 ,所以 GB CP,所以 AG 平分 BC。

同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中,P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点,求证: 2 AB +BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 因为 所以 = = 又因为 同理 , ② , 由①,②,③可得 。得证。 2.证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1: 2。 ③ · ① ,

【证明】 首先

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE 又 AH 又 EA BC,所以 AH//CE。 AB,CH AB,所以 AHCE 为平行四边形。

所以 所以 所以 所以 与 , 共线,所以 O,G,H 共线。 ,

所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 b. a·b=0 a b.

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

例 6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE CD。 【证明】 设 ,









所以

a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE CD。

4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 点 F,求证:AF=AE。

【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方 形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设 E 点的坐标为(x, y),则 y-1), 又因为 ,因为 ,所以-x-(y-1)=0. =(x,

,所以 x2+y2=2.

由①,②解得

所以

设 所以 所以

,则 ,即 F =4+

。由

和 ,

共线得

,所以 AF=AE。

三、基础训练题 1 . 以 下 命 题 中 正 确 的 是 __________. ① a=b 的 充 要 条 件 是 |a|=|b| , 且 a//b ; ② (a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充要 条件是 x=m, y=n;⑤若 在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中:① ③ ;④ 与 ,相等的有__________. ;② ; ,且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)

3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4. s, t 为非零实数, b 为单位向量, 设 a, 若|sa+tb|=|ta-sb|, a 和 b 的夹角为__________. 则 5. 已知 a, b 不共线, 条件. 6.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 于 D,若 7.已知 __________. 8. 已知 =b, a· b=|a-b|=2, 当△AOB 面积最大时, 与 b 的夹角为__________. a ,则 λ=__________. 不共线,点 C 分 所成的比为 2, ,则 ,BM 与 CN 交 =a+kb, =la+b, “kl-1=0” “M, P 共线” 则 是 N, 的__________

9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 c·b=4,则 b 的坐标为__________.



10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 与

11. Rt△BAC 中, 在 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 试问 的夹角 取何值时 的值最大?并求出这个最大值。

12. 在四边形 ABCD 中, 试判断四边形 ABCD 的形状。

, 如果 a· b=b· c=c· d=d· a,

四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2.在△ABC 中, 3.非零向量 =__________. 4.若 O 为△ABC 的内心,且 为__________. 5.设 O 点在△ABC 内部,且 为__________. 6.P 是△ABC 所在平面上一点,若 __________心. 7.已知 ,则| |的取值范 ,则 P 是△ABC 的 ,则△AOB 与△AOC 的面积比 ,则△ABC 的形状 ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. ,若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1 ,则

围是__________. 8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 值为__________. 10. 已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}, 集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________. 的最小

11.设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q,已知 ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T,

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域;(2)求

的取值范围。

12.已知两点 M(-1,0),N(1,0),有一点 P 使得 成公差小于零的等差数列。 (1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), tan . 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q 为 与 的夹角,求

满足

时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上,且

,则直线

CD 恒过一个定点,这个定点的坐标为___________. 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点, 则 =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示).

3.已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均为 1200,若|ka+b+c|>1(k ∈R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 ,则

的取值有___________个. 5.已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形,P 为⊙O 上任意一点,则 取值的集合是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA· +sinC· ,则点 O 为△ABC 的___________心. (a-b)”的___________条件. ,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ +sinB·

7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8.在△ABC 中, ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9. 已知 P 为△ABC 内一点, 且

, 交 AB 于 D, CP 求证:

10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心分别为 O1,O2,O3, 令 ,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H 为△O1O2O3 的外

心。 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); ,若 ,求 a.

六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为

射线 BY 上的两点,

为定比,M,N,T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点,

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE, 使得 AM:AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R, S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之 和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不 同的自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交 于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证:(1)OB DF,OC DE,(2)OH MN。

8.平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点 O 作 ,求证△ABC 为正三角形。 9.在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.


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