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二次函数--第一课二次函数的概念(非常好用)


一次函数概念(复习)
基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式 s ? vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间 t 内所走的路程,则变量是________,常量 是_______。在圆的周长公式 C=2π r 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的 值与其对应,那么我们就把 x 称为自变量,把 y 称为因变量,y 是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 1 1 2 例题:下列(1)|y|=π x (2)y =2x-1 (3)y = (4)y = -3x (5)y =x -1 中,是函数的有( ) x 2 (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 3、自变量的取值范围(定义域) :一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (1)求下列函数自变量的取值范围(使函数式有意义) : (1) y ?

2x ? 4 ; 3

(2) y ?

x?2 ; x ?1

(3) y ? 8 ? 2 x

(2)求下列函数自变量的取值范围(使函数式有意义) : (1) y ? 1 ? 2 x ; 一次函数概念 一次函数:形如 y=kx+b (k≠0, k, b 为常数)的函数。 注意: (1)k≠0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1; (2)当 b=0 时,y=kx,y 叫 x 的正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。 一次函数当 k 0, b 0时是正比例函数。 平移 b 个单位; (2) y ?

2 ; 2x ? 3

(3) y ? 3 ? 2x ? x ? 4

一次函数 y ? kx ? b 可以看作是由正比例函数 y ? kx 平移︱ b ︱个单位得到的,当 b >0时,向 当 b <0时,向 平移︱ b ︱个单位
2

1.练习: (1)已知函数 y ? (m ? 2) xm

?3

是正比例函数,则 m 的值为 (填序号)



(2)下列函数中,是一次函数的有 ① c ? 2? r ;② y ? 2(3 ? x) ;③ m ?

100 2?n ; ④ s ? x(50 ? x) ;⑤ t ? . v 2

2.已知 y 是 x 的一次函数,且当 x ? ?2 时, y ? 7 ;当 x ? 3 时, y ? ?5 .求当 y ? 0 时,自变量 x 的值.

3.已知函数 y ? (1 ? 2k ) x ? k ? 1. (1)当 k 取何值时,这个函数是正比例函数; (2)当 k 取何值时,这个函数是一 次函数.

4.已知 y ? 100 与 x 成正比例关系,且当 x ? 10 时, y ? 600 .求 y 关于 x 的函数解析式.

课堂练习
练习: 1、判断正误: (1)一次函数是正比例函数; ( ) (2)正比例函数是一次函数; ( ) (3)x+2y=5 是一次函数; ( ) (4)2y-x=0 是正比例函数. ( ) 2、选择题 (1)下列说法不正确的是( ) A.一次函数不一定是正比例函数。B.不是一次函数就不一定是正比例函数。 C.正比例函数是特殊的一次函数。D.不是正比例函数就一定不是一次函数。 (2)下列函数中一次函数的个数为( ) ①y=2x;②y=3+4x;③y=

1 ;④y=ax(a≠0 的常数) ;⑤xy=3;⑥2x+3y-1=0; 2

A.3 个 B 4个 C 5个 D 6个 3、填空题 (1)若函数 y=(m-2)x+5 是一次函数,则 m 满足的条件是____________。 (2)当 m=__________时,函数 y=3x+2m+1 是一次函数。 (3 )关于 x 的一次函数 y=x+5m-5,若使其成为正比例函数,则 m 应取_________。 4、已知函数 y= ?m ? 1?x ? m ? 1 当 m 取什么值时,y 是 x 的一次函数?当 m 取什么值是,y 是 x 的正比例函数。
2

?

?

5、已知 y-1 与 x-2 成正比例(其中 m , n 是常数) .如果当 y ? ?15 时, x ? ?1 ;当 x ? 7 时, y ? 1 .求 y 关于 x 的函数解析式.

二次函数概念 第一课 教学目标: 1.使学生理解二次函数的概念. 2.使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法,并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围. 3.为分散后面教学的难点,可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题. 一、试一试: 2 1、正方体的棱长为 x(cm),那么它的表面积 y(cm )与 x 的关系式是_______ 2、化工厂在一月份生产某种产品 200 吨,三月份生产 y 吨,则 y 与月平均增长率 x 自变量的关系是_________ 3、有一个矩形,它的长与宽的和为 30cm,设长为 L,矩形面积为 S,则 S 与 L 的函数关系是________ 二、概念引入 2 2 2 在 y=6x 、y=200x +400x+200、s=-L +30L 这三个式子中,虽然含有一项的、二项的、三项的,但它们都是用自 变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都是二次. 2 二次函数的概念:形如 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做 x 的二次函数 注意: (1)必须 a≠0,否则就不是二次函数,而 b、c 两数可以是 0 2 (2)在 y=ax +bx+c(a≠0)中,x 的取值范围是全体实数。但当自变量表示实际意义时,自变量的取值范围就不 一定是全体实数 例,下例函数中,是二次函数的是( ) A, y ? 2 ? x
2
2 B, y ? x ?

1 x

C, y ? ( x ? 2) ? x
2

2

D, y ? x ? 2 x ? 1
3

补充:判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤; (1)先将函数进行整理,使其右边是含有自变量的代数式,左边是因变量; (2)判断右边含自变量的代数式是否为整式; (3)判断含自变量的项的最高次数是否为 2; (4)判断二次项的系数是否为零。 练习 1:下列函数中,哪些是二次函数? 2 3 2 2 -2 (1)y=3x-1 (2)y=3x (3)y=3 +2x (4)y=2x -2x+1 (5)y=x +x

(6)y=x -x(1+x)

2

2.m 取何值时,y= (m2-1)xm(m-1)

是二次函数?

3.m 取哪些值时,函数 y ? (m ? m) x ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量的二次函数?
2 2

4.已知函数是二次函数, 求 m 的值

y ? (m ? 3) x m ?7

2

5.已知二次函数 y=ax +bx+c,当 x=0 时,y=0;x=1 时,y=2;x=-1 时,y=1.求 a、b、c,并写出函数解析式.

2

知识点二

二次函数的一般形式

任 何 一 个 二 次 函 数 的 解 析 式 都 可 以 化 成 y ? ax2 ? bx ? c (a、b、c为常数, a ? o) 的 形 式 , 因 此 , 把

a ? o) 叫做二次函数的一般形式。其中 ax2、bx、c 分别是二次项、一次项和 y ? ax2 ? bx ? c (a、b、c为常数,
常数项;而 a , b, c 分别是二次项系数,一次项系数和常数项。 补充:在一般形式中,只有 a ? 0 时, y ? ax2 ? bx ? c 才是二次函数,当 a ? 0 时, y ? bx ? c ,若 b ? 0 ,则它是 一次函数,若 b ? 0 ,则它是一个常数函数。 例,把下列二次函数化成一般形式,并指出二次项系数、一次项系数、常数项: (1) y ? x 2 ? ( x ? 1) 2 (2) y ? (2 x ? 3)(x ? 1) ? 5 (3) y ? 4 x 2 ? 12x(1 ? x) (4) y ? ( x ? 1)(x ? 1)

习题 1,在下列函数关系式中,哪些是二次函数(是二次函数的在括号内打上“√” ,不是的打“x”). (l) y ? ?2 x
2 2

( (

)

(2) y ? x ? x

2

( (

) )

(3) y ? 2( x ? 1) ? 5
2

(

)

(4) y ? 3x ? 3
2

) (5) s ? a(8 ? a)

2,函数 y ? ax ? bx ? c (a,b,c 是常数)问当 a,b,c 满足什么条件时: (l)它是二次函数 ;(2)它是一次函数 3、下列函数中,是二次函数的是( ) A: y ? 68x ? 1
2

;(3)它是正比例函数

B; y ? 8 x ? 1
2

C: y ?

8 x

D: y ? ?

8 ?1 x2

4、函数 y ? (m ? n) x ? mx ? n 是二次函数的条件是( A: m、n 为常数,且 m ≠0。 C: m、n 为常数,且 n ≠0。 5、函数 y ? (m2 ? m) xm
2



B: m、n 为常数,且 m ≠ n 。 D: m、n 可以为任何数。 是二次函数,那么 m 的值是( )A:2 B:-1 或 3 C:3 D:±1

?2m?1

6、下列关系中,是二次函数关系的是( ) A:当距离 S 一定时,汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系。 B:在弹性限度时,弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系。 C:圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系。 D:正方形的周长 C 与边长 a 之间的关系。 ) 7、已知 x 为矩形的一边长,其面积为 y ,且 y ? x(4 ? x), 则自变量的取值范围是( A: x ? 0 B: 0 ? x ? 4 C:0≤ x ≤4 D: x ? 4

8、二次函数 y ? 3x ? x2 中, a ? ______, b ? ______, c ? ______。 9、已知函数 y ? (m ? m) x ? (m ?1) x ? m ? 1 。若这个函数是二次函数,求 m 的取值范围。
2 2

10.已知二次函数 y=ax +c,当 x=2 时,y=4;当 x=-1 时,y=-2。求 a、c 的值

2


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