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2011高一数学期末统考试卷

2011 年长沙县第一学期高一调研试卷 数 学

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U ? ?? 1 , 0,1,2 , 3 , 4 ? , A ? ?? 1,0, 2 ,4?,则 Cu A ? ( A. ? B. {0,2,4} C. {1,3} ( D. {?1,1,3} ) D. y ? x ?1 )

2.下列函数在其定义域内为增函数的是 A. y ? x 2 ? 2 x ? 3 B. y ? 2x

C. y ? log1 x
2

3.直线 y ? kx 与直线 y ? 2 x ? 1 垂直,则 k 等于( A. ?2 4.函数 y ?
x x

) D.
1 3

B. 2
? x 的图象是(

C. ? )

1 2

5.如右图为一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4,则 C1 该几何体的表面积为( )
A1 B1

A、6+ 3 C、24+2 3

B、24+ 3 D、32
C ) 正视图 A B 俯视图

侧视图 6.在空间,下列命题中正确的是 ( A、若两直线 a、b 与直线 m 所成的角相等,那么 a∥b; B、若两直线 a、b 与平面α 所成的角相等,那么 a∥b; C、若直线 m 与两平面α 、β 所成的角都是直角,那么α ∥β ;

D、若平面γ 与两平面α 、β 所成的二面角都是直二面角,那么α ∥β .
1

7.全面积是 6a 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( B ) B. 3? a C. 12? a D. 18? a A. 2? a

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

x
f ( x)

0 3.1

1 0.1

2 -0.9 )

3 -3

那么函数 f ( x) 一定存在零点的区间是( B A、 (0,1) B、 (1, 2) C、 (2, 3)

D、 (3, ? ?)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 28 分。 9.式子

log23 ? log32 值是____________.
x ?1 的定义域是____________. x?2


10.函数 f ( x) ?

?log x x ? 0 1 11.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ,则 f ( f ( )) = 3 x?0 ?3
12.过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有 13.已知三点A(2,2) B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上,则a= 14.已知 A(2,5,-6),点 P 在 y 轴上,PA=7,则点 P 的坐标为

个。 . .

15. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3 ,则 a ? ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 55 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. (8 分)设全集 U 为 R,已知 A={x|1<x<7},B={x|x<3 或 x>5}, 求(1)A∪B (2)(CuA) ∩ B

2

设全集为 R, A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, 求 CR ( A B) 及 ? CR A? B
解: C R ( A ? B) ? { x |

x ? 2或x ? 10}

……………6 分 ……………12 分

(C R ) ? B ? { x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10}

17. (8 分)求经过两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且 垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线 l 的方程.

18. (10 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,点 D 是 AB 的中点. 求证: (1) AC ? BC1 ; (2) AC1 // 平面 B1CD . (注:直棱柱是指侧棱与底面垂直的棱柱。 )
A1 C1 B1

C D

B

19. (9 分)已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x .
2

A

(1)用定义证明 f ? x ? 在 [1, ??) 上是减函数;(2)当 x ? ?? 5,2?时,求 f ? x ? 的最 大值和最小值.

17. (本小题满分 14 分) 2 已知函数 y ? x ?1 (1)用函数单调性证明函数 y ? (2)求函数 y ?
2 在(1,+∞)上是减函数; x ?1

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

(1)证明:设 x1、x2 是区间(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,则……………2 分
3

f(x1)-f(x2)=

2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x 2 ? x1 ) 2 2 = = . ……………6 分 x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

由 1<x1<x2 得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ……………8 分

2 是区间(1,+∞)上的减函数. ……………10 分 x ?1 2 (2)解:函数 y= 在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,……………12 分 x ?1 2 即当 x=2 时,ymax=2;当 x=6 时,ymin= . ……………14 分 5
所以函数 y=

20. (10 分)设直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 相交于点 A, B 。 (1)求 弦 AB 的垂直平分线方程;(2)求弦 AB 的长。

21. (10 分)某城市出租车,乘客上车后,行驶 3km 内收费都是 10 元,之后每 行驶 1km 收费 2 元, 超过 15km , 每行驶 1km 收费为 3 元.若乘客需要行驶 20km ,(假 设途中一路顺利,没有停车等候,不足 1km 按 1km 收费,)求: (1)付费总数 y 与行驶路程 x 收费之间的函数关系式; (2) 当出租车行驶了 15km 后,乘客是中途换乘一辆出租车还是继续乘坐这辆 出租车行驶完余下的 5km 路程,哪一种方式更便宜?

高一数学参考答案
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分。 )
题号 答案 1 2 3 4 D 5 6 C 7 8

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 3 分,共21 分。 )
4

9. 13. 2

10. 14.

11. 15.

12.

三、解答题(共六个大题,共 55 分) 16.

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 17. 解:由 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0

? x ? ?2 解得 ? ?y ? 2

∴ 点 P 的坐标是( ?2 ,2)-----------4 分 ∵ 所求直线 l 与 l3 垂直, ∴ 设直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0 -----------6 分 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? C ? 0 ,得 C ? 2 ------7 分 ∴ 所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ---------8 分

18. 证明: (1)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC ,
所以, CC1 ? AC , 又 AC ? BC , BC A1

C1

B1

CC1 ? C ,
C

O

所以, AC ? 平面 BCC1B1 , 所以, AC ? BC1 . ------------------5 分 (2)设 BC1 与 B1C 的交点为 O ,连结 OD , A B D

BCC1B1 为平行四边形,所以 O 为 B1C 中点,又 D 是 AB 的中点,
所以 OD 是三角形 ABC1 的中位线, OD // AC1 , -------------8 分 又因为 AC1 ? 平面 B1CD , OD ? 平面 B1CD ,所以 AC1 // 平面 B1CD . ----------------10 分

19.

5

2 20. 解: (1)圆方程可整理为: ? x ? 1? ? y ? 16 , 2

所以,圆心坐标为 ?1,0 ? ,半径 r ? 4 ,-------------------------3 分 易知弦 AB 的垂直平分线过圆心,且与直线 AB 垂直, 而 k AB ? ? ,? kl ? 2 ,---------------------4 分 所以,由点斜式方程可得: y ? 2 ? x ?1? , 整理得: 2 x ? y ? 2 ? 0 。------------------5 分 (2)圆心 ?1,0 ? 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 故 AB ? 2 r ? d ? 2 11 。
2 2

1 2

1? 4 12 ? 22

? 5 ,------------8 分

21. 解: (I)所求函数的关系式为
10, 0 ? x ? 3 ? ? y ? ? 10 ? 2( x ? 3),3 ? x ? 15 -----------------------6 分 ?34 ? 3( x ? 15),15 ? x ? 20 ?

(II) 当继续行驶下去时, y ? 34 ? 15 ? 49 ,-----------7 分 当换乘一辆出租车时, y ? 34 ? 14 ? 48 ,-----------8 分 因此,换乘一辆出租车便宜------------------------10 分

6


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