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2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版):模块综合检测卷(一) Word版含解析


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模块综合检测卷(一)
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线 x- 3=0 的倾斜角是( A.45° 答案:C 2.已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且|AB|=2 6,则实数 x 的值是( ) B.-6 或 2 D.6 或-2 B.60° ) D.不存在

C.90°

A.-3 或 4 C.3 或-4 答案:D

3.一个球的内接正方体的表面积为 54,则球的表面积为( A.27π B.18π C.9π D.54π 解析:设正方体的棱长为 a,球的半径为 r, 则 6a2=54,所以 a=3. 又因为 2r= 3a, 所以 r= 3 3 3 a= , 2 2 27 =27π. 4

)

所以 S 表=4πr2=4π· 答案:A

4.在同一个平面直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正 确的是( )

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答案:C 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12 B.18 C.24 D.30 解析: 因为三个视图中直角较多, 所以可以在长方体中对几何体 进行分析还原,在长方体中计算其体积. 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形, 由正视图和左 视图可以判断该几何体是由直三棱柱 (侧棱与底面垂直的棱柱 )截取 得到的.在长方体中分析还原,如图①所示,故该几何体的直观图如 1 图②所示.在图①中,V 棱柱 ABC-A1B1C1=S△ABC·AA1= ×4×3 2 1 1 1 ×5=30,V 棱锥 P-A1B1C1= S△A1B1C1·PB1= × ×4×3×3=6. 3 3 2 故几何体 ABC-PA1C1 的体积为 30-6=24.故选 C.

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答案:C 6.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9, M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN| 的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 ) B. 17-1 D. 17

解析:先求出圆心坐标和半径,再结合对称性求解最小值,设 P(x, 0), C1(2, 3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2, -3), 那么|PC1|+|PC2| =|PC1′|+|PC2|≥|C′1C2|= (2-3)2+(-3-4)2=5 2. 而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3, 所以|PM|+|PN|=|PC1|+|PC 2|-4≥5 2-4. 答案:A 7.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M、N 两点, 若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是(
? 3 ? A.?-4,0? ? ?

) 3 3? , ? 3 3?
?

B.?-
?

?

C.[- 3, 3]

? 2 ? D.?-3,0? ?

解 析 : 法 一 : 可 联 立 方 程 组 利 用 弦 长 公 式 求 |MN| , 再 结 合 |MN|≥2 3可得答案. 法二: 利用圆的性质知, 圆心到直线的距离的平方加上弦长一半 的平方等于半径的平方,求出|MN|,再结合|MN|≥2 3可得答案.
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答案:B 8.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥ l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 解析:如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,记 l1=DD1,l2 =DC,l3=DA,若 l4=AA1,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时 l1∥l4, 可以排除选项 A 和 C. )

若 l4=DC1,也满足条件,可以排除选项 B.故选 D. 答案:D 9.如图所示,在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC 与 BD 的中 点,若 CD=2AB=4,EF⊥BA,则 EF 与 CD 所成的角为( )

A.90° C.60°

B.45° D.30°

解析:如图所示,取 BC 的中点 H,连接 EH,FH,则∠EFH 为所求,

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可证△EFH 为直角三角形, EH⊥EF,FH=2,EH=1, 从而可得∠EFH=30°. 答案:D 10.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx-y=0 的两个交点恰好关 于 y 轴对称,则 k 等于( )

A.0 B.1 C.2 D.3
? ?y=kx+1, 解析:由? 2 2 ?x +y +kx-y=0, ?

得(1+k2)· x2+2kx=0. 因为两点恰好关于 y 轴对称, 所以 x1+x2=- 所以 k=0. 答案:A 11.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂 直,垂足为(1,c),则 a+b+c 的值为( A.-4 B.20 C.0 D.24 解析:垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1⊥l2, a 2 故- · =-1, 4 5 所以 a=10.l:10x+4y-2=0.
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2k =0, 1+k2

)

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将(1,c)代入,得 c=-2; 将(1,-2)代入 l2,得 b=-12. 则 a+b+c=10+(-12)+(-2)=-4. 答案:A
? 7? 12.过点 A?0,3?与 B(7,0)的直线 l1 与过点(2,1),(3,k+1) ? ?

的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数 k 等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 解析:由题意知 l1⊥l2, 1 所以 kl1·kl2=-1,即- k=-1,k=3. 3 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答 案填在题中的横线上) 13.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相 交,则 b 的取值范围是________. 解析:b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,如图所示,当直 线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最 大值.

所以 b 的取值范围是[-2,2]. 答案:[-2,2] 14.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2-(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________.
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解析:根据“半径、弦长 AB 的一半、圆心到直线的距离”满足 勾股定理可建立关于 a 的方程,解方程求 a. |a+a-2| 圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 . a2+1
?|a+a-2|?2 ? 因为△ABC 为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2.所以? ? a2+1 ? ? ?

+12=22.解得 a=4± 15. 答案:4± 15 15.如图所示,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使得平面 ADC⊥平面 ABC,在折起后形成的三棱锥 D-ABC 中,给 出下列三种说法: ①△DBC 是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥 D-ABC 的体积 是 2 . 6 其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).

解析:取 AC 的中点 E,连接 DE,BE, 则 DE⊥AC,BE⊥AC,且 DE⊥BE. 又 DE=EC=BE,所以 DC=DB=BC, 故△DBC 是等边三角形. 又 AC⊥平面 BDE, 故 AC⊥BD. 1 1 1 2 2 又 VD-ABC= S△ABC·DE= × ×1×1× = ,故③错误. 3 3 2 2 12 答案:①②
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16.已知直线 l 经过点 P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2= 25 截得的弦长为 8,则直线 l 的方程是_________________________. 解析:因为(-4+1)2+(-3+2)2=10<25, 所以点 P 在圆内.当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=-4,将 x=-4 代入圆的方程,得 y=2 或 y=-6, 此时弦长为 8.当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y+3=k(x+4), 即 kx-y+4k-3=0, 当弦长为 8 时,圆心到直线的距离为 25-42=3,则 |-k+2+4k-3| =3, k2+1

4 4 解得 k=- .则直线 l 的方程为 y+3=- (x+4), 3 3 即 4x+3y+25=0. 答案:4x+3y+25=0 或 x=-4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程及演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2 =0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程. 3 ? x =- , ? 5 ?2x-3y-3=0, ? 解:法一:由方程组? 得? 7 ?x+y+2=0, ? ? y =- . ? 5 因为直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, 所以直线 l 的斜率 k=-3.
? 7? ? ? 3?? 所以根据点斜式有 y-?-5?=-3?x-?-5??, ? ? ? ? ??

故所求直线方程为 15x+5y+16=0. 法二: 因为直线 l 过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点,
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所以设直线 l 的方程为 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. 因为直线 l 与直线 3x+y-1=0 平行, 所以 λ+2 λ-3 2λ-3 11 = ≠ ,解得 λ= . 3 1 2 -1

从而所求直线方程为 15x+5y+16=0. 18.(本小题满分 12 分)如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1=6,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 30°,求该三棱柱的 体积.

解:因为 CC1∥AA1, 所以∠BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 所成的角, 即∠BC1C=30°. 在 Rt△BC1C 中,BC=CC1·tan ∠BC1C=6× 从而 S△ABC= 3 2 BC =3 3, 4 3 =2 3, 3

因此该三棱柱的体积为 V=S△ABC·AA1=3 3×6=18 3. 19. (本小题满分 12 分)如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求证:

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(1)直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)直线 AC1⊥平面 PQMN. 证明:(1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体, 知 AD1∥BC1. 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)如图所示,连接 AC,BD,则 AC⊥BD.

由 CC1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C, 所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1?平面 ACC1, 所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点, 所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN. 20.(本小题满分 12 分)右图是某几何体的三视图,请你指出这
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个几何体的结构特征,并求出它的表面积与体积.

解: 此几何体是一个组合体, 下半部是长方体, 上半部是半圆柱, 其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致. 表面积为 S,则 S=32+96+48+4π+16π=176+20π. 1 体积为 V,则 V=8×4×6+ ×22×8π=192+16π. 2 所以几何体的表面积为(176+20π)cm2,体积为(192+16π)cm3. 21.(本小题满分 12 分)已知点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上运动, N(4,0),点 P(x,y)为线段 MN 的中点. (1)求点 P(x,y)的轨迹方程; (2)求点 P(x, y)到直线 3x+4y-86=0 的距离的最大值和最小值. 解:(1)因为点 P(x,y)是 MN 的中点, 4 , ?x =2x-4, ?x=x + 2 ? 所以? 故? ? y ?y =2y. y = , ? 2
0 0 0 0 2 2 2 将用 x,y 表示的 x0,y0 代入到 x2 0+y0=4 中得(x-2) +y =1.此

式即为所求轨迹方程. (2)由(1)知点 P 的轨迹是以 Q(2,0)为圆心,以 1 为半径的圆.点 Q 到直线 3x+4y-86=0 的距离 d=
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|6-86| =16.故点 P 到直线 3x 32+42

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+4y-86=0 的距离的最大值为 16+1=17, 最小值为 16-1=15. 22.(本小题满分 12 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.

(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切 线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解 得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在,设过 A(0,3)的圆 C 的切线 方程为 y=kx+3. 由题意,得 |3k+1| 3 =1,解得 k=0 或 k=- , 2 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 设圆心 C(a,2(a-2)), 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+(y-3)2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4.所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,
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则|2-1|≤CD≤2+1, 即 1≤ a2+(2a-3)2≤3. 整理,得-8≤5a2-12a≤0. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 12 . 5
? ?

? 12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为?0, 5 ?.

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