tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

18版高中数学第一章解三角形1.2应用举例(二)学案新人教B版必修5

。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

1.2 应用举例(二)

学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.了解解三角形在物理 中的应用.3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.

知识点一 航海中的测量问题 思考 在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何 表达位置和航向的?
梳理 方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角. 方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西 60°,即以正南方向为始边,
顺时针方向向西旋转 60°.
知识点二 解三角形在物理中的应用 思考 我们知道,如图中的向量→AB+→AD=→AC.那么物理中的哪些量可以解释 为向量?
梳理 数学在物理学中的应用非常广泛,某种角度上说,物理题实际上是数学应用题,解物 理题就是先把实际问题抽象成数学问题,解决后再还原成实际问题的答案.
知识点三 三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高,可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角, 有没有办法求三角形面积?
梳理 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则△ABC 的面积 S=12absin C=12bcsin
1

A=12acsin B. 类型一 航海中的测量问题 例 1 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32°的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1°,距离精 确到 0.01 n mile)
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后 根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题. 跟踪训练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处,乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶,已知甲船的速度是每小时 3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?
2

类型二 解三角形在物理中的应用 例 2 如图所示,对某物体施加一个大小为 10 N 的力 F,这个力被分解到 OA, OB 两个方向上,已知∠AOB=120°,力 F 与 OA 的夹角为 45°,求分力的大小.

反思与感悟 解决物理等实际问题的步骤

(1)把实际问题受力平衡用图示表示.

(2)转化为数学问题,通过正余弦定理解三角形. (3)把数学问题的解转化为实际问题的解.

跟踪训练 2 有一两岸平行的河流,水速为 1 m/s,小船的速度为 2 m/s,为使所走路程最

短,小船应朝________方向行驶.( )

A.与水速成 45° C.垂直于对岸

B.与水速成 135° D.不能确定

类型三 三角形面积公式的应用

命题角度 1 求面积 例 3 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1 cm2): (1)已知 a=14.8 cm,c=23.5 cm,B=148.5°;

3

(2)已知 B=62.7°,C=65.8°,b=3.16 cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4 cm,b=27.3 cm, c=38.7 cm.
反思与感悟 三角形面积公式 S=12absin C,S=12bcsin A,S=12acsin B 中含有三角形的边 角关系.因此求三角形的面积,与解三角形有密切的关系.首先根据已知,求出所需,然后 求出三角形的面积. 跟踪训练 3 在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,求△ABC 的面积.
4

命题角度 2 已知三角形面积 例 4 在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=π3 .若△ABC 的 面积等于 3,求 a,b.
反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵活选用三角形的面积公 式. 跟踪训练 4 如图所示,已知半圆 O 的直径为 2,点 A 为直径延长线上的一点,OA=2,点 B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC,求 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面 积最大.
5

1.一艘海轮从 A 处出发,以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40°方向直线航行,30 min 后到 达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( )

A.10 2 n mile

B.10 3 n mile

C.20 2 n mile

D.20 3 n mile

2.已知三角形面积为14,外接圆面积为 π ,则这个三角形的三边之积为(

)

A.1 B.2 C.12 D.4

3.作用于同一点的三个力 F1,F2,F3 平衡,已知|F1|=30 N,|F2|=50 N,F1 和 F2 之间的夹 角是 60°,求 F3 的大小与方向.(精确到 0.1°)

1.在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用 题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 2.解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐
6

步在其余的三角形中求出问题的解.
7

答案精析

问题导学

知识点一

思考 用方向角和方位角.

知识点二

思考 力、速度、加速度、磁场强度等.

知识点三

思考 在△ABC 中,如果已知边 AB、BC 和角 B,边 BC 上的高记为 ha,则 ha=ABsin B.从而 可求面积.

题型探究

类型一

例 1 解 在△ABC 中,

∠ABC=180°-75°+32°=137°,

根据余弦定理,

AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC

= 67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos 137°

≈113.15.

BC

AC

根据正弦定理,sin∠CAB=sin∠ABC,

sin∠CAB=BCsinA∠C ABC≈54.01s1i3n.11537°≈0.325 5,

所以∠CAB=19.0°,75°-∠CAB=56.0°.

所以此船应该沿北偏东 56.0°的方向航行,需要航行 113.15 n mile.

跟踪训练 1 解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇,

则在△ABC 中, BC=at(海里),AC= 3at(海里), B=90°+30°=120°,
8

BC

AC

由sin∠CAB=sin B,得

sin∠CAB=BCsAiCn

B at×sin 120° =
3at

3 = 23=12,

∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°,

∴∠DAC=60°-30°=30°,

∴甲船应沿着北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.

类型二

例 2 解 如图,作O→F=F,→OG=F1,O→C=F2,作?OGFC,由题设知|O→F|=10,∠FOG=45°, ∠AOB=120°,

则∠FOC=∠AOB-∠FOG

=120°-45°=75°,

由?OGFC 知,∠GFO=∠FOC=75°,

在△FOG 中,

∠FGO=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理得

sinO∠GGFO=sinO∠FFGO,

OG

10

即sin 75°=sin 60°,

解得 OG=5 2???1+ 33???,

OF

FG

由正弦定理得sin∠OGF=sin∠FOG,

10

FG

即sin 60°=sin 45°,解得

FG=103

6 .

所以 OA 方向的力大小为 5 2???1+ 33???N,OB 方向的力大小为103 6N.
跟踪训练 2 B [如图,设A→B为水速,→AD为船在静水中的速度,A→C为A→B+A→D. 依题意,当A→C⊥C→D时,所走路程最短, 现需求∠BAD,只要求∠CAD 即可,

9

在 Rt△CAD 中,

|C→D|=|→AB|=1,|→AD|= 2,

∴sin∠CAD=||C→ A→DD||= 22,且∠CAD 为锐角.

∴∠CAD=45°,

∴∠BAD=45°+90°=135°.

即小船应朝与水速成 135°的方向行驶.]

类型三

命题角度 1

例 3 解 (1)应用 S=12casin B,

得 S=12×23.5×14.8×sin 148.5°

≈90.9(cm2).

b

c

(2)根据正弦定理sin B=sin C,

得 c=bssiinn BC,

S=12bcsin

A=12b2sinsiCnsiBn

A ,

A=180°-(B+C)

=180°-(62.7°+65.8°)

=51.5°,

S=12×3.162×sin

65.8°sin 51.5° sin 62.7°

≈4.0 (cm2).

(3)根据余弦定理的推论,得 cos B=c2+2ac2a-b2

38.72+41.42-27.32 = 2×38.7×41.4 ≈0.769 7,

sin B= 1-cos2B

≈ 1-0.769 72

≈0.638 4.

应用 S=12casin B,

10

得 S≈12×38.7×41.4×0.638 4 ≈511.4 (cm2). 跟踪训练 3 解 由正弦定理,

得sin 130°=sin3 C,

∴sin C= 23. ∵0°<C<180°,且 AB>AC,C>B, ∴C=60°或 120°. ①当 C=60°时,A=90°,

∴S△ABC=12× 3×1= 23; ②当 C=120°时,A=30°,

S△ABC=12×

3 3×1×sin 30°= 4 .

命题角度 2 例 4 解 由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的面积等于 3,所以12

absin C= 3,得 ab=4,

联立方程组???a2+b2-ab=4, ??ab=4,

解得?????ab= =22, . 跟踪训练 4 解 设∠AOB=α , 在△ABO 中,由余弦定理,得 AB2=12+22-2×1×2cos α =5-4cos α ,α ∈(0,π ), ∴S=S△AOB+S△ABC =12OA·OB·sin α + 43AB2

=2sin???α -π3 ???+54 3.
当 α -π3 =π2 ,α =56π ,

11

即∠AOB=56π 时,四边形的面积最大. 当堂训练 1.A 2.A 3.解 F3 应和 F1,F2 的合力 F 平衡,所以 F3 和 F 在同一直线上,并且大小相等,方 向相反. 如图,在△OF1F 中,由余弦定理,得 |F|= 302+502-2×30×50cos 120° =70(N), 再由正弦定理,得 sin∠F1OF=50sin70120°=5143, 所以∠F1OF≈38.2°, 从而∠F1OF3≈141.8°. 所以 F3 为 70 N,F3 和 F1 间的夹角为 141.8°.
12


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com