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一类高考导数压轴题的统一巧解_图文

21 0 3年 第 5期 

中学 数学 月刊 

? 4     9?



类高考导数压轴题的统一巧解 
祁德 志  ( 苏省赣 榆 高级 中学  2 2 O ) 江 2 1 0 

不 等式 恒成 立 问题是 函数 、 导数 、 等式等 知  不 识 相互 交汇 形成 的一 类 问题 , 常作 为 高 考 的压 轴  题, 对考 生 的能力 要求 非常 高 , 仅要 求考 生牢 固  不
掌 握基 础知 识 、 本技 能 , 要求 考生 具有 较强 的  基 还
立.  

另解  当 z—O , 等式 e 一07 ≥ 0 时 不   . —1 2 成 

当 > 0时 ,z   e 一眦 一1 O ≥   () z 一  二  , 求导 得 ^ ( )    z 一

≤ 
Z 

. 令  .  

分 析 问题 的能力 和 计 算 能力 . 这类 试 题 常 伴 随参 
数 讨论 , 这也 是难 点所 在 , 其解决 方法 主要 是分 类 

二 
Z 

讨 论 、 形结 合 、 离 参 变 量等 . 文 对 其 中 的一  数 分 本 类 不等 式恒 成立 问题 做 一 些研 究 和 整 理 , 给 出  并


令  ( )   一 1 + 1 显 然 当 z≥ 1时 , z 一e ( ) ,   ( )   z一1 + 1 O z 一e ( ) >   ( > 0当I (,  ) ; z∈ 0 

种统 一处 理 的方 法 .  

1 时 , ( )   x- 1 + e 一e )   I 一e ( z )     z> 0 所 以 (   ,    )

1 问 题 展 示   

在 ( ,) O 1 上单 调递 增 , 以 ( ) 所   z > ( ) , 以  O 一O 所
当  ∈ ( , 。 ) , O + 。 时 恒有 ( )> 0 即 h ( z ,   )>  0 所 以 ( 一  二  在 ( , c )上单 调递增 . ,  ) 0+ × 3  
另 外 l  ( ) l   二  一 1   i m z 一 i m i m
z— O十  

题 1 (0 0年 新 课 程 全 国 卷 文 )设 函 数    21
-( 厂 )一 x(  一 1 e )一 ∞    .
1 

() n 1 若 一÷, 求 ( ) - 的值域 ;2 若当 X≥  z ()
厶 

一  
Z  

T O — 十 

Z 

— O + 

0时 , ( ) 0 求 实数 a的取 值 范 围. ,z ≥ ,   题 2 (0 0年 新 课 程 全 国 卷 理 )设 函 数    21
_( 厂 z)一 e  一 1一 z— ac . .。 2  

l 竿 一1洛比达法则)即当 > 0 矗z >  i a r ( ,   时,()
O十 1 

1 成立 , 恒 即函数 h z 在 ( , 。 上 的下确界 为  ( ) O +。 )
1 所 以 a≤ 1 , .  

() a , - z 1 若 一0 求 厂 )的单 调 区 间 ;2 若 当 . ( () z   ≥ 0时 , ( 厂  )≥ 0 求 实数 a的取值 范 围. ,   先 看文 科题第 ( )问 , 价 变形 为 : z≥ 0 2 等 当  
时 , ( ) z e 一 1 ~a  ≥ 0 即有 当 z≥ 0时 , _ _ 一-   厂z ( ) g c ,   e ~  一 1 0恒 成立 .   ≥  
2 解 法 剖 析   

剖 析 

显 然 分 离 参 

yl   \  

J  

变 量 法 更 易 想 到 且 好 操 

|  /
’  

作 , 本 题 中 函数 没 有 最  但

小 值 , 其 下 确 界 的 方 法  求
也不 为高 中学生 所 掌握 ,   用到 了高 等数 学 的知识 ,  
/  

P O1 (,)  
一  

o  图1  

原 解  令 g z 一e 一ac , 当 I≥ 0时 , ( )   ,一1 则 2 z  
g ( )一 e     ~ a≥ 1一 a  .

这 对 于 高 中 阶段 的 学 生来 

若 a 1 则 当  ∈ ( , c ) ,   ≥ 0  ≤ , O + × 时 g( 3  ) ,
—g z 为 增 函数. g 0 一O 从 而 当  ≥ 0时 , () 而 () ,  

说 是 困难 的. 是 , 但 我们 从不 等式 e 一船 一1 0   ≥  
的变 形 e  ≥ a + 1中发现 了解决 问题 的新思路 , 2 c  

g  ) 0 ( ≥ 成立 ; a 1 由 g ( :0 得 z=l  , 若 > ,   ) , na 
则 当 x∈ ( ,   ) ,  z < 0 y 0 I n 时 g( ) n , —g z 为减 函  () 数 , g 0 一0 从 而 当 z∈ ( , ) , ( ) 而 () , Oi n日 时 g z <  g O 一0 这 与 g  )≥ 0矛盾 . () , (  

此 不 等 式 的 右 端 是 关 于  的 一 次 函数 ( 常 函  或 数 ) 这 是否 与左边 函数  一e ,  的切线有 关系 呢?  
现在 我们 来研 究 函数 Y— e  的切 线 , 求得 其 在  易 点 P( , ) 的切 线为 y—z+ 1 结 合 图象 ( 图  O1 处 . 如 1 可 得不 等式 e ≥ z+1 Vz∈ R 恒成 立 ( )   ( ) 当且 

综 上得 实数 a的取值 范 围是 ( 。 1 . 一 。,]   剖析  此解 法用 到 了逐 段 筛 选法 , 实数 a 将   的 取值 分 a≤ 1 a> 1 和 两段 分别 加 以讨论 , 在说 
明 a> 1问题 不成 立 时较 困难. 由不 等式 e 一  而  

仅 当 z一0时取 等号 ) 由 e a .  ≥ : 1 Vz∈ E , r+ (   o  +。) 。 )恒成 立 , n的取值 范 围是 ( 。 1 . 得 一。 ,]   相仿地 , 以顺利 求解 理科题 第 ( )问 :当  可 2
≥ 0 , ( ≥ 0 观察 到 厂 0 一o 故 只需 考虑 函  时 厂  ) , () , 数 ,z ( )在 [ , 。 )上单 调 递增 即可 , z≥ 0 0+ 。 即  

a x一 1≥ 0恒 成 立 极 易 联 想 到用 分 离参 变 量 方 
法 , 又有 以下解法 . 故  

? 

5   O?

中学 数学月 刊  围 ;2 证 明 : 一 1 f x) 0 () (   )( ≥ .  

21 0 3年第 5期 

时 ,√ )   1 2x≥ 0 即恒有 e ≥ 2. 厂( 一e一 — a ,   a r+ 
1 由结论 e ≥ + 1 VL R 恒成 立知 2 ≤ 1  .   (  z∈ ) n ,
1  

解  ( )中 不 等 式 z   . 1 / ( )≤ z z 。+ a + .   T
1 z(n z +  ㈢ 1 
Z  

所 以 “≤ 寺.  
3 通 法 探 究   

一1 )≤   。 + 

+ 1 1  ≤   ∞ n

z+a 研究 函数 Y n 图象 的斜率 为 1的切 线 , , —I    方程 为 Y— 一 1 结合 图形 可知不 等式 i  ≤    , n


我们 观察 到 : 以通过 研究 曲线 的切 线 , 考  可 来 察 直线 与 曲线 的位 置关系. 当直线 运动 ( 平移 或旋  转 )时 , 线 与 曲线 的位 置关 系 ( 直 在一 定 范 围 内,  

1 恒成 立. 使不 等式 I z≤ .+n 成立 , 欲 n   z 恒 则须 
例 3 ( 0 2年 全 国卷 ( 修 十 选 修 Ⅱ)理 ) 21 必  

a≥ 一 1 ( )略 . .2  

曲线恒 在 直 线 的上 方 或 下方 )仍 然 保 持不 变 , 这  就构成 了一 类不等 式 恒成 立 问 题. 因此 , 如 “ 形 当 
z ∈ D 时 , 等式 f x) h +  ( f x ≤  不 ( ≥ 或 () +  )恒 成 立 ”问题 , 考 虑 通 过 研 究 函数 Y—  可

设 函数 f x) g CSz, ∈ E , ] ( 一a c+ O  z o7. [  ( ) 论 f x)的单 调性 ;2 设 f( ) 1   1讨 ( () x ≤ +

s   求 a的取值 范 围. i z, n  
解  () 1 
M( , )      

f x) ( 的切 线 , 切线 与直线 y一 +  的位置 加  将   以比较 , 而求 出参数 的取值 范 围. 系统 研究 此  从 为
类 问题 , 我们先 介绍下 面两个 结论 .  

略 ;( )当 z ∈ 2  

[ ,] 时 , (   0T [ f z)
≤ 1 s  十 i z恒 成  n
立 , a 即 2 r+ C Sz O  
≤ 1 + sn z∞   i 
sn z — C S i  O  ≥ 
D  、 、


结论 1 设 函数 Y—f x 在 [ ,]上 的图象    ( ) n6

j  

是连续曲线, 厂( ≥ 0 则 函数在[ ,] 的 若  ) , n6 上  
图象下 凸 , 若  ( z)≤ 0 则 函数 在 [ ,]上 的 图 , 。6  
象上 凸.  

‘ (,1   O一 ) Q  
)x 1 = 一 

图 2  

结论 2 若 函数  一,  ) n 6 上 的图象    ( 在[ ,]
下 凸 , 图象恒 在 A点处 切线 Y—h +  的上方 , 则  

甜 一 1 令 函 数  ,

即 V ∈ [ ,] f x)   n 6 , ( ≥  + m恒 成立 ; 函数  若
= ==

() s —c  = ix z 一 il oz  ̄s( 一手) ∈E, n z s n , o    
7 , c 函数 h x)   一 1 函数 ( ) ] ( 一 , z 图象在 点 Q( , 0 


厂 ) n 6 上 的图象上 凸 , 图象恒 在 A点  ( 在[ ,] 则

处 切线 Y —h +m 的下 方 , Vz ∈ [ ,] f( ) 即 a6 , x 
≤ 妇 +  恒成立 . A点 为 函数 y一厂 z ( ( ( ) z∈ [ , n 

1 处 的切线 方程为 y ) —z一1 因为 函数 ( 图 ,  )   象 的 端 点 P( , )在 切 线 的 下 方 ,而 ko — 丌1 e  
二 
丌 一 U 

6 )图象 上任 意一点 ) ]  
近几年 的 全 国高 考 数 学 卷 经 常 考 查 此 类 问  题 , 用上述 结论 , 以巧 妙地解 决这类 不等式 恒  利 可

一 一 < 1 2


所 以  的取值范 围是 ( 。 , 一 。 

兀 

。1 竺  。. ]  
7  r

成立 的参数取 值范 围 问题 .  
4 方 法 应 用   

注  若 函数 厂 z ( )的定义域 为 [ , ] 如 图  0  ,
2 可知 点 M( , )在 切 线 的上 方 , 当  ∈ ,     则  

例 1 (0 6年全 国卷) 函数 f x)  +    20 设 ( 一(
1l ( )n x+ 1 , ) 若对所 有 的 z≥ 0 都有 f x ≥ a   , () , I 成立 , 实数 a的取值 范 围. 求  
解  因为 , ( = 1 l (    )= + n x+ 1 ( ≥ 0 , = )z ) 
r 上  

E, 时,  () 象都在切线Y  一1 o竿] 函数   的图 —  
的 上 方 , 时 n≤ 1 此 .  

() z 一÷


> 0 可知函数 y () o , 一厂- 在[, z  

从 以上 例 子可 以看 出 , 曲线 的切 线 为参 照  以 系来 研究一 类形 如“ . D 时 , 等式 f x ≥  当 z∈ 不 () 十m( 厂  ) 足 或 ( ≤ r+  ) 恒成立 ” 问题 , 其解题  步 骤是先 将 已知不 等式 等 价 变形 , 断 曲线 的 单  判

+c) × 上单 调递 增 且 图 象 下 凸 , 。 曲线 在 原 点 处 的  切线方 程 为 y一 0 =f ( )  —O , y一-,  0 ( )即 z 因此 

当 ≥0 ,   时 恒有 , z) z成立 . ( ≥ 要使 ,  ) a   ( ≥ x
成 立 , 有 n≤ 1 须 .  

调 性 和凸 凹性 , 然后求 切线方 程 ( 已知斜 率求切 线 
或 曲线 上某点 处切线 ) 由切 线结 合 曲线 的 凸凹性  ,

例 2 ( 0 0年全 国卷 I理)已知 函数 厂 z   21 ()


得恒 成立不 等式 , 后借 助切 线方 程 求 参数 的取  最
值 范围.  

( + 1 I   — z + 1  z )nz .

( )若 z,( ≤ z 1 1 )    +a x+ 1 求 a的取 值范  ,


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