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人教A版选修1-1章末质量评估(3)

章末质量评估(三)
(时间:100 分钟 满分:120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 3? 1 ? 1.曲线 y=2x2-2x 在点?1,-2?处的切线的倾斜角为( ? ? A.-135° 解析 答案 B.45° C.-45° ). D.135°

y′=x-2,所以斜率 k=1-2=-1,因此,倾斜角为 135°. D ). 1 B.(log2x)′=xln 2 D.(x2cos x)′=-2xsin x

2.下列求导运算正确的是( 3 ? 3? A.?x+x?′=1+x2 ? ? C.(3x)′=3xlog3e 解析

3 ? 3? ?x+ x?′=1- 2,所以 A 不正确;(3x)′=3xln 3,所以 C 不正确;(x2cos x ? ?

1 x)′=2xcos x+x2·(-sin x),所以 D 不正确;(log2x)′=xln 2,所以 B 正确.故 选 B. 答案 B ). B.(-1,0)及(1,+∞) D.(-∞,-1)及(1,+∞)

3.函数 y=x4-2x2+5 的单调减区间为( A.(-∞,-1)及(0,1) C.(-1,1) 解析 答案

y′=4x3-4x=4x(x2-1),令 y′<0 得 x 的范围为(-∞,-1),(0,1). A ). B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3

4.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 解析

y′=-3x2+3,令 y′=0 得,x=1 或 x=-1,

f(1)=3,f(-1)=-1. 答案 D

5.函数 f(x)=

x2 ( x-1

).

A.在(0,2)上单调递减 B.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增 C.在(0,2)上单调递增 D.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减 解析 2x(x-1)-x2 x2-2x x(x-2) f′(x)= = . 2 2= (x-1) (x-1) (x-1)2

令 f′(x)=0 得 x1=0, 2=2.∴x∈(-∞, x 0)和(2, +∞)时, f′(x)>0.x∈(0, 1)∪(1, 2)时,f′(x)<0. 答案 B ). D.0

6.函数 y=x4-4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为( A.72 解析 B.36 C.12

y′=4x3-4,令 y′=0,4x3-4=0,x=1,当 x<1 时,y′<0;当 x>1
极小值

时,y′>0 得 y =0. 答案 D

=y|x=1=0,而端点的函数值 y|x=-2=27,y|x=3=72,得 ymin

7. 已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, a 的取值范围为( 则 A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 解析 B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

).

因为 f(x)有极大值和极小值,所以导函数 f′(x)=3x2+2ax+(a+6)有两

个不等实根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,得 a<-3 或 a>6. 答案 D

8.已知 f(x)的导函数 f′(x)图象如右图所示, 那么 f(x)的图象最有可能是图中的( ).

解析

∵x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数;同理 f(x)在(-2,0)上

为增函数,(0,+∞)上为减函数. 答案 A ).

9.如果圆柱的轴截面周长为定值 4,则圆柱体积的最大值为( 8 A.27π 解析 16 B.27π 8 C.9π 16 D. 9 π

设圆柱的半径为 R,圆柱的高为 h,则 2R+h=2.∵V=πR2h=πR2(2

-2R)=2πR2-2πR3,∴V′=2πR·(2-3R)=0.令 V′=0,则 R=0(舍)或 R 2 2 2 4 2 8 =3.经检验知,R=3时,圆柱体积最大,此时 h=3,Vmax=π·9×3=27π. 答案 A

10.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 log2
010x1+log2 010x2+…+log2 010x2 009 的值为(

). B.-1 D.1

A.-log2 0102 009 C.(log2 0102 009)-1 解析 -

∵y′|x=1=n+1,∴切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x=1

1 n n = ,即 xn= . n+1 n+1 n+1

所以 log2 010x1+log2 010x2+…+log2 010x2 009= log2 010(x1·x2·…·x2 009)= 2 009? 1 ?1 2 log2 010?2·3·…·2 010?=log2 0102 010=-1. ? ? 答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.若 f(x)=x3,f′(x0)=3,则 x0 的值为________. 解析 答案 f′(x0)=3x2=3,∴x0=± 1. 0 ± 1

12.曲线 y=ln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是________,切线的方程为 ________. 解析 答案 1 1 1 1 由于 y′= x,∴k=y′|x=e= e ,故切线的方程为 y-1= e(x-e),故 y=e x. 1 e x-ey=0

13.函数 y=x3+x2-5x-5 的单调递增区间是________. 解析 答案 5 由 y′=3x2+2x-5>0 得 x<-3,或 x>1. 3? ? ?-∞,-5?,(1,+∞) ? ?

14.设 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点,则常数 a-b 的 值为________. 解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+b,

?-2+4=-2a, ?a=-3, ? 3 ∴? ?? ∴a-b=-3+24=21. b ?b=-24. ?-2×4=3 ?
答案 21 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(10 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中 a∈R.已知 f(x)在 x=3 处 取得极值. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程. 解 (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.

∵f(x)在 x=3 处取得极值, ∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得 a=3. ∴f(x)=2x3-12x2+18x+8. (2)A 点在 f(x)上, 由(1)可知 f′(x)=6x2-24x+18, f′(1)=6-24+18=0,∴切线方程为 y=16. 16.(10 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,试讨论函数 f(x)的单调区间.



f′(x)=3x2+2ax+1,

Δ =(2a)2-4×3×1=4(a2-3), ①若 Δ≤0 即- 3≤a≤ 3,f′(x)≥0 恒成立, 此时 f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); ②若 Δ>0 即 a<- 3或 a> 3时, -a± a2-3 令 f′(x)=0 得 x= , 3 -a- a2-3 -a+ a2-3 f′(x)>0 得 x< 或 x> , 3 3 -a- a2-3 -a+ a2-3 f′(x)<0 得 <x< , 3 3 ∴此时 f(x)的增区间为 ? ? a+ a2-3? ?-a+ a2-3 ?-∞,- ?和? ,+∞?, 3 3 ? ? ? ? ? a+ a2-3 -a+ a2-3? ?. 减区间为?- , 3 3 ? ? x3 a2 17.(10 分)给定函数 f(x)= 3 -ax2+(a2-1)x 和 g(x)=x+ x . (1)求证:f(x)总有两个极值点; (2)若 f(x)和 g(x)有相同的极值点,求 a 的值. (1)证明 因为 f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)]· [x-(a-1)],

令 f′(x)=0,解得 x1=a+1,x2=a-1. 当 x<a-1 时,f′(x)>0; 当 a-1<x<a+1,f′(x)<0. 所以 x=a-1 为 f(x)的一个极大值点. 同理可证 x=a+1 为 f(x)的一个极小值点. 所以 f(x)总有两个极值点. (2)解 a2 (x-a)(x+a) 因为 g′(x)=1-x2 = . x2

令 g′(x)=0,则 x1=a,x2=-a. 因为 f(x)和 g(x)有相同的极值点, 且 x1=a 和 a+1,a-1 不可能相等,

1 所以当-a=a+1 时,a=-2; 1 当-a=a-1 时,a=2. 1 1 经检验,当 a=-2和 a=2时, x1=a,x2=-a 都是 g(x)的极值点. 18.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-1 与 x=2 处都取得极值. (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间; 3 (2)若对 x∈[-2,3],不等式 f(x)+2c<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,由题意得

3 ? ?a=- , ?f′(-1)=0, ?3-2a+b=0, 2 ? 即? 解得? ?f′(2)=0, ?12+4a+b=0, ?b=-6. ? 3 ∴f(x)=x3-2x2-6x+c,f′(x)=3x2-3x-6. 令 f′(x)<0,解得-1<x<2; 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>2. ∴f(x)的减区间为(-1,2), 增区间为(-∞,-1),(2,+∞). (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增; 在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增. ∴x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为 f(-1)与 f(3)中的较大者. 7 9 f(-1)=2+c,f(3)=-2+c. ∴当 x=-1 时,f(x)取得最大值. 3 3 要使 f(x)+2c<c2,只需 c2>f(-1)+2c, 7 即 2c2>7+5c,解得 c<-1 或 c>2. ?7 ? ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪?2,+∞?. ? ?

4 19.(12 分)若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值-3. (1)求函数的解析式. (2)若方程 f(x)=k 有 3 个不同的根,求实数 k 的取值范围. 解 f′(x)=3ax2-b.

?f′(2)=12a-b=0, ? 1 ? ?a= , (1)由题意得? 4 解得? 3 ?f(2)=8a-2b+4=-3, ?b=4, ? ? 1 故所求函数的解析式为 f(x)=3x3-4x+4. (2)由(1)可得 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, -2) + ? -2 0 28 3 28 , 3 (-2,2) - ? 2 0 4 -3 (2,+∞) +

因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 4 当 x=2 时,f(x)有极小值-3,

1 所以函数 f(x)=3x3-4x+4 的图象大致如图所示. 若 f(x)=k 有 3 个不同的根,则直线 y=k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点,所以 4 28 -3<k< 3 .


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