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方程的根与函数的零点(复习课)


函数与方程
——方程的根与函数的零点

(三)函数零点的判定(零点存在性定理)填空,口答 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(a)· f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区 一条曲线,并且有__________

间_________ 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 (a, b)
f (c)=0 ,这个c _______ __也就是f(x)=0的根. 思考: 1.在上面的条件下,(a,b)内的零点是否只有1个? 至少有一个 若添加:y=f(x)在区间[a,b]上具有单调 性,则只有一个零点 y
y y a
b x O

a

o

c

b x

O a

c

b

x

思考:已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断 (4) 的曲线,判断下列结论,正确的是______ (1)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有且仅
有一个零点; (2)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)无零点;

(3) f ( x)在(a, b)内有零点,必有 f (a) ? f (b) ? 0
y

O a

b x

零点存在性定理的条件 是充分条件,但不必要

5 )若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有零点; (( 4 )

二、回归课本 感受经典
请同学们在练习本上写出解题步骤。完成后代表展示。

1、直接求函数的零点

求根定零点

例1( 1)、函数f (x)=x(x2-16)的零点为( D ) A. (0,0), (4,0) B. 0, 4 C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4 (2)、求下列函数的零点: (1)f(x)= - x2+3x (2)f(x)=lg(x2+4x-4)

0, 3 (代数法)求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0 ;

1, - 5
(3)写出零点.

二、确定零点的所在区间

异号定零位

例2、(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且 有如下对应值表:
x f(x) 1 2 3 -3.92 4 10.8 5 -42.4 136.34 15.4

函数在哪几个区间有零点?为什么?
(2,3)、(3,4)、(4,5)

f ( 2) ? f ( 3) ? 0

(2)函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的大致区间 是( B )
A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)

二、确定零点的所在区间

异号定零位

(2)函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的大致区间 是( B ) A(1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5)
解法1:估算f(x)在各整数处的取值的正负:
x 1 2 3 4 5

f ( x)

f (1) ? ln1 ? 2 ? 6 ? 0 ? 2 ? 6 ? 0 f (2) ? ln 2 ? 4 ? 6 ? ln 2 ? 2 ? 0 f (3) ? ln 3 ? 6 ? 6 ? ln 3 ? 0
f ( 2) ? f ( 3) ? 0

三、迁移应用 巩固提升
1、函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标及其零点分别



(2,0) 、2



2、二次函数f (x)= ax 2 +bx + c(a≠0),ac<0,则函数的零点有 ( B )个

A. 1
x f ( x) 1 23

B. 2
2 9 3 –7 4 11

C. 0

D. 不确定

3、已知函数f (x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: 5 6 7 –5 –12 –26

那么函数在区间(1, 6)上的零点至少有( C )个 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

4.函数 f ( x) ? log2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间( c ) ?1 1? ?1 ? ?1 1? ? , ? , A. ? ? B.? 4 2 ? C. ? 2 ,1? D.(1,2)
?8 4?
? ?

5.根据下面表格中的数据,可以判定方程 ex- x- 2= 0 的一个根所在的区间为 __________. (1,2) x ex x+ 2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

1.若二次函数f(x)=ax2+x+3有唯一零点,求a 的值。
x ? ? f x ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( 2、函数

A.

?? 2,?1?

B.

?? 1,0?

C.

?0,1?

D.

?1,2?



(写出判断过程)

变式引申

×

1.若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值. 2.若二次函数f(x)=x2+mx+3有唯一零点,则m的 值和零点分别是多少? 3.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,求a的值。

6.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________ a>1 .

解析

设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数

y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与函数 y= x+a 有两个交点,由 图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;如 图所示,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点 (0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点,所以实数 a 的取值范围是 a>1.

2 (2010· 福建 )函数

?x2+ 2x- 3, x≤ 0, ? f(x)=? ? ?- 2+ ln x, x>0

的零点个数为 A. 3 B. 2
解析

C.1

( B ) D.0

当 x≤0 时, 由 f(x)=x2+2x-3=0, 得 x1=1(舍去),

x2=-3;当 x>0 时,由 f(x)=-2+ln x=0, 得 x=e2,所以函数 f(x)的零点个数为 2.


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