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高考卷;导数与定积分(共53题)


曲一线科学备考

精品题库试题
用户:苏冠文 生成时间:2013.04.29 18:56:10

1.(2012 辽宁,21,12 分)设 f(x)=ln(x+1)+ (1)求 a,b 的值;

+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切.

(2)证明:当 0<x<2 时, f(x)<

.

2.(2012 上海,13,4 分)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B 轴围成的图形的面积为 .

、C(1,0). 函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x

3.(2012 江西,11,5 分)计算定积分

(x2+sin x)dx=

. . .

4.(2012 山东,15,4 分)设 a>0. 若曲线 y= 5.(2012 山东,15,4 分)设 a>0. 若曲线 y=

与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a= 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=

6. (2012 辽宁,15,5 分)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 点 A,则点 A 的纵坐标为 . 7.(2012 广东,12,5 分)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 .

8.(2007 湖北, 20, 13 分) 已知定义在正实数集上的函数 f(x) = x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中 a>0. 设两曲线 y=f(x) , y=g(x) 有公共点, 且在该点处的切线相同. (Ⅰ) 用 a 表示 b, 并求 b 的最大值; (Ⅱ) 求证:f(x) ≥g(x) (x>0) .

9. (2007 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =

(x∈R) , 其中 a∈R.

(Ⅰ) 当 a=1 时, 求曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 当 a≠0 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 10. (2007 全国Ⅱ, 22, 12 分) 已知函数 f(x) =x3-x. (Ⅰ) 求曲线 y=f(x) 在点 M(t, f(t) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 a>0, 如果过点(a, b) 时作曲线 y=f(x) 的三条切线, 证明:-a<b<f(a) .

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11. (2008 宁夏、海南, 21, 12 分) 设函数 f(x) =ax+ (Ⅰ) 求 f(x) 的解析式;

(a, b∈Z) , 曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为 y=3.

(Ⅱ) 证明:函数 y=f(x) 的图象是一个中心对称图形, 并求其对称中心; (Ⅲ) 证明:曲线 y=f(x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值.

12. (2008 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =x+ +b(x≠0) , 其中 a, b∈R. (Ⅰ) 若曲线 y=f(x) 在点 P(2, f(2) ) 处的切线方程为 y=3x+1, 求函数 f(x) 的解析式; (Ⅱ) 讨论函数 f(x) 的单调性;

(Ⅲ) 若对于任意的 a∈

, 不等式 f(x) ≤10 在

上恒成立, 求 b 的取值范围.

13. (2009 重庆, 20, 13 分) 设函数 f(x) =ax2+bx+c(a≠0) , 曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 且在点(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ) 用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ) 当 bc 取得最小值时, 求函数 g(x) =-f(x) e-x 的单调区间.

14. (2009 湖北, 21, 14 分) 在 R 上定义运算?:p?q=- (p-c) (q-b) +4bc(b、c 为实常数) . 记 f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-2b, x∈R. 令 f(x) =f1(x) ? f2(x) .

(Ⅰ) 如果函数 f(x) 在 x=1 处有极值- , 试确定 b、c 的值; (Ⅱ) 求曲线 y=f(x) 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; (Ⅲ) 记 g(x) =|f '(x) |(-1≤x≤1) 的最大值为 M. 若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立, 试求 k 的最大值. 15.(2009 北京, 18, 13 分) 设函数 f(x) =xekx(k≠0) . (Ⅰ) 求曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若函数 f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增, 求 k 的取值范围. 16.(2009 重庆, 18, 13 分) 设函数 f(x) =ax2+bx+k(k>0) 在 x=0 处取得极值, 且曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. (Ⅰ) 求 a, b 的值;

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(Ⅱ) 若函数 g(x) =

, 讨论 g(x) 的单调性.

17. (2009 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ·ex(x∈R) , 其中 a∈R. (Ⅰ) 当 a=0 时, 求曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率;

(Ⅱ) 当 a≠ 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 18.(2010 福建, 20, 14 分) (Ⅰ) 已知函数 f(x) =x3-x, 其图象记为曲线 C. (i) 求函数 f(x) 的单调区间; (ii) 证明:若对于任意非零实数 x1, 曲线 C 与其在点 P1(x1, f(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, f(x2) ) , 曲线 C 与其在点 P2 处的 切线交于另一点 P3(x3, f(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值; (Ⅱ) 对于一般的三次函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) , 请给出类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题, 并予以证明. 19.(2010 陕西, 21, 14 分) 已知函数 f(x) = , g(x) =aln x, a∈R.

(Ⅰ) 若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求 a 的值和该切线方程; (Ⅱ) 设函数 h(x) =f(x) -g(x) , 当 h(x) 存在最小值时, 求其最小值 φ (a) 的解析式; (Ⅲ) 对(Ⅱ) 中的 φ (a) 和任意的 a>0, b>0, 证明:

φ'



≤φ '

.

20.(2010 重庆, 18, 13 分) 已知函数 f(x) =

+ln(x+1) , 其中实数 a≠-1.

(Ⅰ) 若 a=2, 求曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 若 f(x) 在 x=1 处取得极值, 试讨论 f(x) 的单调性.

21.(2008 山东, 14, 4 分) 设函数 f(x) =ax2+c(a≠0) , 若

f(x) dx=f(x0) , 0≤x0≤1, 则 x0 的值为

.

22.(2008 江苏, 8, 5 分) 设直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0) 的一条切线, 则实数 b 的值为 23.(2008 全国Ⅱ, 14, 5 分) 设曲线 y=eax 在点(0, 1) 处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 a=

. .

24.(2008 北京, 12, 5 分) 如图, 函数 f(x) 的图象是折线段 ABC, 其中 A, B, C 的坐标分别为(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 则 第 3 页 / 共 18 页

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f[f(0) ]=

;

=

(用数字作答) .

25.(2009 陕西, 16, 4 分) 设曲线 y=xn+1(n∈N*) 在点(1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 令 an=lg xn, 则 a1+a2+…+a99 的值为 .

26.(2009 湖北, 14, 5 分) 已知函数 f(x) =f '

cos x+sin x, 则 f

=

.

27.(2009 北京, 11, 5 分) 设 f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为 1, 则该曲线在点(-1, f(-1) ) 处的 切线的斜率为 . 28.(2009 福建, 14, 4 分) 若曲线 f(x) =ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是 .

29.(2009 江苏, 9, 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上, 且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的 切线的斜率为 2, 则点 P 的坐标为 . 30.(2010 课标全国, 13, 5 分) 设 y=f(x) 为区间[0, 1]上的连续函数, 且恒有 0≤f(x) ≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分 f(x) dx. 先产生两组(每组 N 个) 区间[0, 1]上的均匀随机数 x1, x2, …, xN 和 y1, y2, …, yN, 由此得到 N 个点(xi, yi) (i=1, 2, …,

N) . 再数出其中满足 yi≤f(xi) (i=1, 2, …, N) 的点数 N1, 那么由随机模拟方法可得积分

f(x) dx 的近似值为 .

.

31.(2010 陕西, 13, 5 分) 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x, y) , 则点 M 取自阴影部分的概率为

32.(2011 陕西, 11, 5 分) 设 f(x) =

若 f(f(1) ) =1, 则 a=

.

33.(2007 宁夏, 10, 5 分) 曲线 y=

在点(4, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

)

A. e2

B. 4e2

C. 2e2

D. e2 )

34.(2007 江西, 11, 5 分) 设函数 f(x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y=f(x) 在 x=5 处的切线的斜率为(

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A. -

B. 0

C.

D. 5

35.(2007 全国Ⅱ, 8, 5 分) 已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 , 则切点的横坐标为(

)

A. 3

B. 2

C. 1

D.

36.(2008 宁夏、海南, 10, 5 分) 由直线 x= , x=2, 曲线 y= 及 x 轴所围图形的面积为(

)

A.

B.

C. ln 2

D. 2ln 2 )

37.(2008 四川, 10, 5 分) 设 f(x) =sin(ω x+φ ) , 其中 ω >0, 则 f(x) 是偶函数的充要条件是( A. f(0) =1 B. f(0) =0 C. f '(0) =1 D. f '(0) =0

38.(2008 全国Ⅰ, 7, 5 分) 设曲线 y=

在点(3, 2) 处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直, 则 a=(

)

A. 2

B.

C. -

D. -2

39.(2008 辽宁, 6, 5 分) 设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 的取值范围为( )

, 则点 P 横坐标

A.

B. [-1, 0]

C. [0, 1]

D.

40.(2009 福建, 4, 5 分) A. π B. 2 C. π -2 D. π +2 )

41.(2009 安徽, 9, 5 分) 已知函数 f(x) 在 R 上满足 f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 则曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程是( A. y=2x-1 B. y=x C. y=3x-2 D. y=-2x+3

42.(2009 江西, 5, 5 分) 设函数 f(x) =g(x) +x2, 曲线 y=g(x) 在点(1, g(1) ) 处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处切线的斜率为( )

A. 4

B. -

C. 2

D. )

43.(2009 全国Ⅰ, 9, 5 分) 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a) 相切, 则 a 的值为( 第 5 页 / 共 18 页

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A. 1

B. 2

C. -1

D. -2

44.(2009 辽宁, 7, 5 分) 曲线 y= A. y=x-2 B. y=-3x+2

在点(1, -1) 处的切线方程为( C. y=2x-3

)

D. y=-2x+1

45.(2009 全国Ⅱ, 4, 5 分) 曲线 y= A. x-y-2=0 B. x+y-2=0

在点(1, 1) 处的切线方程为( C. x+4y-5=0

)

D. x-4y-5=0 )

46.(2010 山东, 7, 5 分) 由曲线 y=x2, y=x3 围成的封闭图形面积为(

A.

B.

C.

D.

47.(2010 湖南, 5, 5 分) A. -2ln 2 B. 2ln 2

dx 等于(

) D. ln 2

C. -ln 2

48.(2010 辽宁, 10, 5 分) 已知点 P 在曲线 y=

上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.

49.(2010 全国Ⅱ, 10, 5 分) 若曲线 y= A. 64 B. 32 C. 16

在点(a, D. 8

) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18, 则 a=(

)

50.(2010 课标全国, 3, 5 分) 曲线 y= A. y=2x+1 B. y=2x-1

在点(-1, -1) 处的切线方程为( C. y=-2x-3 D. y=-2x-2

)

51.(2011 福建, 5, 5 分) A. 1 B. e-1

(ex+2x) dx 等于( C. e

)

D. e+1

52.(2011 湖南, 6, 5 分) 由直线 x=- , x= , y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为(

)

A.

B. 1

C.

D. , 直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 第 6 页 / 共 18 页 )

53.(2011 课标, 9, 5 分) 由曲线 y=

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A.

B. 4

C.

D. 6

答案
1.(1)由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1.

由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 ,又 y'

x=0=

x=0=

+a,得 a=0. (3 分)

(2)证明:证法一:由均值不等式,当 x>0 时,2

<x+1+1=x+2,故

< +1.

记 h(x)=f(x)-

,则 h'(x)=

+

-

=

-

<

-

=

.

令 g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当 0<x<2 时,g'(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数,又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h'(x)<0. (10 分)

因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0. 于是当 0<x<2 时, f(x)< 证法二:由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ -1.

. (12 分)

由均值不等式,当 x>0 时,2

<x+1+1=x+2,故

< +1. ①

令 k(x)=ln(x+1)-x,则 k(0)=0,k'(x)= 即 ln(x+1)<x. ②

-1=

<0,故 k(x)<0,

由①②得,当 x>0 时, f(x)< x.

记 h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当 0<x<2 时,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9< x+(x+6)

-9

=

[3x(x+1)+(x+6)(2+

)-18(x+1)]

<

3x(x+1)+(x+6) 3+

-18(x+1)

=

(7x-18)<0. (10 分)

因此 h(x)在(0,2)内单调递减,又 h(0)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)<

. (12 分)

2.

3.

4.

5.

6.-4

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7.2x-y+1=0

8.(Ⅰ) 设 y=f(x) 与 y=g(x) (x>0) 在公共点(x0, y0) 处的切线相同.

∵f '(x) =x+2a, g'(x) =

, 由题意 f(x0) =g(x0) ,

f '(x0) =g'(x0) . 即

由 x0+2a=

得 x0=a 或 x0=-3a(舍去) .

则有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.

令 h(t) = t2-3t2ln t(t>0) , 则 h'(t) =2t(1-3ln t) . 于是

当 t(1-3ln t) >0, 即 0<t< 时, h'(t) >0;

当 t(1-3ln t) <0, 即 t> 时, h'(t) <0.

故 h(t) 在(0, - ) 为增函数, 在( , +∞) 为减函数.

于是 h(t) 在(0, +∞) 的最大值为 h( ) =

.

(Ⅱ) 证明:设 F(x) =f(x) -g(x) = x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) ,

则 F'(x) =x+2a-

=

(x>0) .

故 F(x) 在(0, a) 为减函数, 在(a, +∞) 为增函数, 于是函数 F(x) 在(0, +∞) 上的最小值是 F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0.

故当 x>0 时, 有 f(x) -g(x) ≥0, 即当 x>0 时, f(x) ≥g(x) .

9.(Ⅰ) 当 a=1 时, f(x) =

, f(2) = ,

又 f '(x) =

=

, f '(2) =-

.

所以, 曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为 第 8 页 / 共 18 页

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y- =-

(x-2) , 即 6x+25y-32=0.

(Ⅱ) f '(x) = 由于 a≠0, 以下分两种情况讨论.

.=

.

(1) 当 a>0 时, 令 f '(x) =0, 得到 x1=- , x2=a. 当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:

x f '(x) f(x) ↘

0 极小值 , (a, +∞) 内为减函数, 在区间 + ↗ 内为增函数.

a 0 极大值

(a, +∞) ↘

所以 f(x) 在区间

函数 f(x) 在 x1=- 处取得极小值 f

, 且f

=-a2.

函数 f(x) 在 x2=a 处取得极大值 f(a) , 且 f(a) =1.

(2) 当 a<0 时, 令 f '(x) =0, 得到 x1=a, x2=- . 当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:

x f '(x) f(x)

(-∞, a) + ↗

a 0 极大值 内为增函数, 在区间 ↘ 内为减函数.

0 极小值 + ↗

所以 f(x) 在区间(-∞, a) ,

函数 f(x) 在 x1=a 处取得极大值 f(a) , 且 f(a) =1.

函数 f(x) 在 x2=- 处取得极小值 f

, 且f

=-a2.

10.(Ⅰ) 求函数 f(x) 的导数: f '(x) =3x2-1.

曲线 y=f(x) , 在点 M(t, f(t) ) 处的切线方程为: y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即 y=(3t2-1) x-2t3. (Ⅱ) 证明:如果有一条切线过点(a, b) , 则存在 t, 使 b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若过点(a, b) 可作曲线 y=f(x) 的三条切线, 则方程 2t3-3at2+a+b=0. 有三个相异的实数根.

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记 g(t) =2t -3at +a+b, 则 g'(t) =6t -6at=6t(t-a) 当 t 变化时, g(t) , g'(t) 变化情况如下表: t g'(t) g(t) (-∞, 0) + ↗ 0 0 极大值 a+b (0, a) ↘ a 0 极小值 b-f(a) (a, +∞) + ↗

3

2

2

由 g(t) 的单调性, 当极大值 a+b<0 或极小值 b-f(a) >0 时, 方程 g(t) =0 最多有一个实数根;

当 a+b=0 时, 解方程 g(t) =0 得 t=0, t= , 即方程 g(t) =0 只有两个相异的实数根;

当 b-f(a) =0 时, 解方程 g(t) =0, 得 t=- , t=a, 即方程 g(t) =0, 只有两个相异的实数根.

综上, 如果过(a, b) 可作曲线 y=f(x) 三条切线, 即 g(t) =0 有三个相异的实数根, 则 =a,

即-a<b<f(a) .

11.(Ⅰ) f '(x)

于是

解得



因 a, b∈Z, 故 f(x) =x+

.

(Ⅱ) 证明:已知函数 y1=x, y2= 都是奇函数,

所以函数 g(x) =x+ 也是奇函数, 其图象是以原点为中心的中心对称图形. 而 f(x) =x-1+

+1.

可知, 函数 g(x) 的图象按向量 a=(1, 1) 平移, 即得到函数 f(x) 的图象, 故函数 f(x) 的图象是以点(1, 1) 为中心的中心对称图 形.

(Ⅲ) 证明:在曲线上任取一点

.

由 f '(x0) =1-

知, 过此点的切线方程为

y-

=

(x-x0) .

令 x=1 得 y=

, 切线与直线 x=1 交点为

.

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令 y=x 得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 交点为(2x0-1, 2x0-1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1, 1) . 从而所围三角形的面积为

|2x0-1-1|=

|2x0-2|=2.

所以, 所围三角形的面积为定值 2.

12.(Ⅰ) f '(x) =1- , 由导数的几何意义得 f '(2) =3, 于是 a=-8.

由切点 P(2, f(2) ) 在直线 y=3x+1 上可得-2+b=7, 解得 b=9. 所以函数 f(x) 的解析式为 f(x) =x- +9.

(Ⅱ) f '(x) =1- . 当 a≤0 时, 显然 f '(x) >0(x≠0) . 这时 f(x) 在(-∞, 0) 、(0, +∞) 内是增函数;当 a>0 时, 令 f '(x) =0, 解得 x=± 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, + ↗ ) 、( ) 0 极大值 (↘ , 0) 、(0, , 0) (0, ↘ ) 内是减函数. ) 0 极小值 ( + ↗ , +∞) .

所以 f(x) 在(-∞, -

, +∞) 内是增函数, 在(-

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在

上的最大值为 f

与 f(1) 中的较大者, 对于任意的 a∈

, 不等式 f(x) ≤10 在

上恒成立,

当且仅当



对任意的 a∈

成立. 从而得 b≤ ,

所以满足条件的 b 的取值范围是 又因为曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) ,

.

13.(Ⅰ) 因为 f(x) =ax2+bx+c, 所以 f '(x) =2ax+b.

故 f(0) =2a+3, 而 f(0) =c, 从而 c=2a+3. 又曲线 y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴, 故 f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此 b=2a.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得 bc=2a(2a+3) =4

- ,

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故当 a=- 时, bc 取得最小值- . 此时有 b=- , c= .

从而 f(x) =- x2- x+ , f '(x) =- x- .

g(x) =-f(x) e-x=

e-x,

所以 g'(x) =[f(x) -f '(x) ]e-x=- (x2-4) e-x. 令 g'(x) =0, 解得 x1=-2, x2=2. 当 x∈(-∞, -2) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在 x∈(-∞, -2) 上为减函数; 当 x∈(-2, 2) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在 x∈(-2, 2) 上为增函数; 当 x∈(2, +∞) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在 x∈(2, +∞) 上为减函数.

由此可见, 函数 g(x) 的单调递减区间为(-∞, -2) 和(2, +∞) ;单调递增区间为(-2, 2) . (x-3b) +4bc=- x3+bx2+cx+bc, ∴f '(x) =-x2+2bx+c.

14.∵ f(x) =f1(x) ?f2(x) =- (x2-3c)

(Ⅰ) 由 f(x) 在 x=1 处有极值- , 可得

解得



若 b=1, c=-1, 则 f '(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 2≤0, 此时 f(x) 没有极值; 若 b=-1, c=3, 则 f '(x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 当 x 变化时, f(x) 、f '(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, -3) ↘ -3 0 极小值-12 (-3, 1) + ↗ 1 0 极大值(1, +∞) ↘

∴当 x=1 时, f(x) 有极大值- , 故 b=-1, c=3 即为所求. (Ⅱ) 设曲线 y=f(x) 在 x=t 处的切线的斜率为 c, ∵f '(x) =-x2+2bx+c, ∴-t2+2bt+c=c, 即 t2-2bt=0, 解得 t=0 或 t=2b. 若 t=0, 则 f(0) =bc, 得切点为(0, bc) , 切线方程为 y=cx+bc; 第 12 页 / 共 18 页

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若 t=2b, 则 f(2b) = b3+3bc, 得切点为

, 切线方程为 y=cx+bc+ b3.

①若- x3+bx2+cx+bc=cx+bc ? x3-3bx2=0, 解得 x1=x2=0, x3=3b, 则此时切线 y=cx+bc 与曲线 y=f(x) 的公共点为(0, bc) , (3b, 4bc) ;

②若- x3+bx2+cx+bc=cx+bc+ b3? x3-3bx2+4b3=0, 解得 x1=x2=2b, x3=-b,

此时切线 y=cx+bc+ b3 与曲线 y=f(x) 的公共点为

. 综合可知, 当 b=0 时, 斜率为 c 的切线与曲线 y=f(x) 有且仅有一个公共点(0, 0) ;

当 b≠0 时, 斜率为 c 的切线与曲线 y=f(x) 有两个不同的公共点, 分别为(0, bc) 和(3b, 4bc) 或 (Ⅲ) g(x) =|f '(x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. ①当|b|>1 时, 函数 y=f '(x) 的对称轴 x=b 位于区间[-1, 1]之外, ∴f '(x) 在[-1, 1]上的最值在两端点处取得. 故 M 应是 g(-1) 和 g(1) 中较大的一个. ∴2M≥g(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4, 即 M>2. ②当|b|≤1 时, 函数 y=f '(x) 的对称轴 x=b 位于区间[-1, 1]内, 此时 M=max{g(-1) , g(1) , g(b) }. 由 f '(1) -f '(-1) =4b, 有 f '(b) -f '(±1) =(b?1) 2≥0. (i) 若-1≤b≤0, f '(1) ≤f '(-1) ≤f '(b) , ∴g(-1) ≤max{g(1) , g(b) },



.

于是 M=max{|f '(1) |, |f '(b) |}≥ (|f '(1) |+|f '(b) |) ≥ |f '(1) -f '(b) |= (b-1) 2≥ . (ii) 若 0<b≤1, 则 f '(-1) ≤f '(1) ≤f '(b) , ∴g(1) ≤max{g(-1) , g(b) },

于是 M=max{|f '(-1) |, |f '(b) |}≥ (|f '(-1) |+|f '(b) |)

≥ |f '(-1) -f '(b) |= (b+1) 2> . 第 13 页 / 共 18 页

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综上, 对任意的 b、c 都有 M≥ .

而当 b=0, c= 时, g(x) =

在区间[-1, 1]上的最大值 M= ,

故 M≥k 对任意的 b、 恒成立的 k 的最大值为 . c 的切线方程为 y=x.

15.(Ⅰ) f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处

(Ⅱ) 由 f '(x) =(1+kx) ekx=0 得 x=- (k≠0) .

若 k>0, 则当 x∈

时, f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减;

当 x∈

时, f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增.

若 k<0, 则当 x∈

时, f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增;

当 x∈

时, f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减.

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, 若 k>0, 则当且仅当- ≤-1, 即 k≤1 时, 函数 f(x) 在(-1, 1) 内单调递增;

若 k<0, 则当且仅当- ≥1, 即 k≥-1 时, 函数 f(x) 在(-1, 1) 内单调递增. 综上可知, 函数 f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增时, k 的取值范围是[-1, 0) ∪(0, 1]. '(x) =2ax+b, 又 f(x) 在 x=0 处取得极值, 故 f '(0) =0, 从而 b=0. 16.(Ⅰ) 因 f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故 f

由曲线 y=f(x) 在(1, f(1) ) 处的切线与直线 x+2y+1=0 相互垂直可知该切线斜率为 2, 即 f '(1) =2, 有 2a=2, 从而 a=1.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, g(x) =

(k>0) , g'(x) =

(k>0) ,

令 g'(x) =0, 有 x2-2x+k=0(k>0) . ①当 Δ =4-4k<0, 即当 k>1 时, g'(x) >0 在 R 上恒成立, 故函数 g(x) 在 R 上为增函数.

②当 Δ =4-4k=0, 即当 k=1 时, 有 g'(x) =

>0(x≠1) , 从而当 k=1 时, g(x) 在 R 上为增函数. , x2=1+ .

③当 Δ =4-4k>0, 即当 0<k<1 时, 方程 x2-2x+k=0 有两不相等实根 x1=1当 x∈(-∞, 1当 x∈(1, 1+ ) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在(-∞, 1) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在(1) 上为增函数;

, 1+ ) 上为减函数; 第 14 页 / 共 18 页

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当 x∈(1+ , +∞) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在(1+ 故 f '(1) =3e.

, +∞) 上为增函数.

17.(Ⅰ) 当 a=0 时, f(x) =x e , f '(x) =(x2+2x) ex,

2 x

所以曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为 3e. (Ⅱ) f '(x) =[x2+(a+2) x-2a2+4a]ex.

令 f '(x) =0, 解得 x=-2a 或 x=a-2. 由 a≠ 知, -2a≠a-2. 以下分两种情况讨论.

①若 a> , 则-2a<a-2, 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表 x f '(x) f(x) (-∞, -2a) + ↗ -2a 0 极大值 (-2a, a-2) ↘ a-2 0 极小值 (a-2, +∞) + ↗

所以 f(x) 在(-∞, -2a) , (a-2, +∞) 内是增函数, 在(-2a, a-2) 内是减函数. 函数 f(x) 在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a) , 且 f(-2a) =3ae-2a. 函数 f(x) 在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2) , 且 f(a-2) =(4-3a) ea-2.

②若 a< , 则-2a>a-2. 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表 x f '(x) f(x) (-∞, a-2) + ↗ a-2 0 极大值 (a-2, -2a) ↘ -2a 0 极小值 (-2a, +∞) + ↗

所以 f(x) 在(-∞, a-2) , (-2a, +∞) 内是增函数, 在(a-2, -2a) 内是减函数. 函数 f(x) 在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2) , 且 f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函数 f(x) 在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a) , 且 f(-2a) =3ae-2a. 18.解法一:(Ⅰ) (i) 由 f(x) =x3-x 得

f '(x) =3x2-1=3

.

当 x∈



时, f '(x) >0;

当 x∈

时, f '(x) <0.

因此, f(x) 的单调递增区间为



, 单调递减区间为

.

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(ii) 曲线 C 在点 P1 处的切线方程为 y=(3 -1) (x-x1) + -x1,

即 y=(3 -1) x-2 . 由

得 x3-x=(3 -1) x-2 , 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得 x=x1 或 x=-2x1, 故 x2=-2x1.

进而有 S1=

=

=

.

用 x2 代替 x1, 重复上述计算过程, 可得 x3=-2x2 和 S2=

.

又 x2=-2x1≠0, 所以 S2=

≠0, 因此有 =

.

(Ⅱ) 记函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线 C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于- 的实数 x1, 曲线 C'与其在点 P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, g(x2) ) , 曲线 C'与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3, g(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C'所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值. 证明如下:

因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线 y=g(x) 的对称中心 x1≠0. 类似(Ⅰ) (ii) 的计算可得 S1= a , S2= a ≠0.

平移至坐标原点, 因而不妨设 g(x) =ax3+hx, 且

故 =

.

解法二:(Ⅰ) 同解法一.

(Ⅱ) 记函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线 C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于- 的实数 x1, 曲线 第 16 页 / 共 18 页

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C'与其在点 P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, g(x2) ) , 曲线 C'与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3, g(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C'所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值. 证明如下: 由 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 得 g'(x) =3ax2+2bx+c, 所以曲线 C'在点(x1, g(x1) ) 处的切线方程为

y=(3a +2bx1+c) x-2a -b +d.

由 (x-x1) 2[a(x+2x1) +b]=0,



所以 x=x1 或 x=- -2x1, 即 x2=- -2x1, 故

S1=

[ax3+bx2-(3a +2bx1) x+2a +b ]dx =

,

用 x2 代替 x1, 重复上述计算过程, 可得

x3=- -2x2 和 S2=

. 又 x2=- -2x1 且 x1≠- ,

所以 S2=

=

=

≠0,

故 =

.

19.(Ⅰ) f '(x) =

, g'(x) = (x>0) ,

由已知得

解得 a= , x=e2,

∴两条曲线交点的坐标为(e2, e) . 切线的斜率为 k=f '(e2) =

,

∴切线的方程为 y-e= (x-e2) .

(Ⅱ) 由条件知 h(x) =

-aln x(x>0) , ∴h'(x) =

- =

,

(i) 当 a>0 时, 令 h'(x) =0, 解得 x=4a2, 第 17 页 / 共 18 页

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∴当 0<x<4a 时, h'(x) <0, h(x) 在(0, 4a ) 上递减; 当 x>4a2 时, h'(x) >0, h(x) 在(4a2, +∞) 上递增. ∴x=4a2 是 h(x) 在(0, +∞) 上的唯一极值点, 且是极小值点, 从而也是 h(x) 的最小值点. ∴最小值 φ (a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a) .

2

2

(ii) 当 a≤0 时, h'(x) = (a>0) .

>0, h(x) 在(0, +∞) 上递增, 无最小值. 故 h(x) 的最小值 φ (a) 的解析式为 φ (a) =2a(1-ln 2a)

(Ⅲ) 证明:由(Ⅱ) 知 φ '(a) =-2ln 2a, 对任意的 a>0, b>0,

=-

=-ln 4ab, ①

φ'

=-2ln

=-ln(a+b) 2≤-ln 4ab, ②

φ'

=-2ln

≥-2ln

=-ln 4ab, ③

故由①②③得 φ '



≤φ '

.

20.(Ⅰ) f '(x) =

+

=

+

.

当 a=2 时, f '(0) =

+

= , 而 f(0) =- , 因此曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为 y-

= (x-0) , 即 7x-4y-2=0.

(Ⅱ) 因 a≠-1, 由(Ⅰ) 知 f '(1) =

+

=

+ , 又因 f(x) 在 x=1 处取得极值, 所以 f '(1) =0,



+ =0, 解得 a=-3.

此时 f(x) =

+ln(x+1) , 其定义域为(-1, 3) ∪(3, +∞) , 且 f '(x) =

+

=

, 由 f '(x) =0 得 x1=1, x2=7. 当

-1<x<1 或 x>7 时, f '(x) >0;当 1<x<7 且 x≠3 时, f '(x) <0.

由以上讨论知, f(x) 在区间(-1, 1], [7, +∞) 上是增函数, 在区间[1, 3) , (3, 7]上是减函数. 24.2;-2 35. A 46.A 25.-2 36.D 47.D 26.1 37.D 48.D 27.-1 28.(-∞, 0) 39.A 50.A 29.(-2, 15) 40. D 51.C 30. 41.A 52.D 31. 42. A 53.C

21. 32.1

22.ln 2-1 33. D 44. D

23.2 34. B 45.B

38. D 49.A

43. B

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