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第三章 3.2一元二次不等式及其解法(2)


§ 3.2

一元二次不等式及其解法(二)

【课时目标】 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.一元二次不等式的解集: 判别式 Δ>0 x1<x2 Δ=b2-4ac ax2+bx+c>0 {x|x< x1 或 x>x2} (a>0) ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} (a>0) 2.节分是不等式的同解变形法则: f?x? (1) >0?f(x)· g(x)>0; g?x? ?f?x?· g?x?≤0 ? f?x? (2) ≤0?? ; g?x? ?g?x?≠0 ? Δ=0 b {x|x∈R 且 x≠- } 2a ? Δ<0 R ?

f?x?-ag?x? f?x? (3) ≥a? ≥0. g?x? g?x? 3.处理不等式恒成立问题的常用方法: (1)一元二次不等式恒成立的情况: ?a>0 ax2+bx+c>0 (a≠0)恒成立?? ; ?Δ<0 ?a<0 ? ax2+bx+c≤0 (a≠0)恒成立?? . ?Δ≤0 ? (2)一般地,若函数 y=f(x),x∈D 既存在最大值,也存在最小值,则: a>f(x),x∈D 恒成立?a>f(x)max; a<f(x),x∈D 恒成立?a<f(x)min.

一、选择题 x-2 1.不等式 >0 的解集是( ) x+3 A.(-3,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞) 答案 C x-2 解析 解不等式 >0 得,x>2 或 x<-3. x+3 2.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( A.{x|x>1} C.{x|x≥1 或 x=-2} 答案 C ) B.{x|x≥1} D.{x|x≤-2 或 x=1}

解析 当 x=-2 时,0≥0 成立.当 x>-2 时,原不等式变为 x-1≥0,即 x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x=-2}. x2-2x-2 3.不等式 2 <2 的解集为( ) x +x+1 A.{x|x≠-2} B.R C.? D.{x|x<-2 或 x>2} 答案 A 解析 原不等式?x2-2x-2<2x2+2x+2?x2+4x+4>0?(x+2)2>0,∴x≠-2. ∴不等式的解集为{x|x≠-2}. x+5 4.不等式 ≥2 的解是( ) ?x-1?2 1 1 A.[-3, ] B.[- ,3] 2 2 1 1 C.[ ,1)∪(1,3] D.[- ,1)∪(1,3] 2 2 答案 D 2 ? ?x+5≥2?x-1? x+5 解析 ≥2?? ?x-1?2 ?x-1≠0 ? 1 ? ?-2≤x≤3, 1 ?? ∴x∈[- ,1)∪(1,3]. 2 ? ?x≠1, 5.设集合 A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C .6 D.7 答案 C 解析 解不等式(x-1)2<3x+7,然后求交集. 由(x-1)2<3x+7, 得-1<x<6,∴集合 A 为{x|-1<x<6}, ∴A∩Z 的元素有 0,1,2,3,4,5,共 6 个元素. 6.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围 是( ) A.1<x<3 B.x<1 或 x>3 C.1<x<2 D.x<1 或 x>2 答案 B 解析 设 g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), ?g?1?=x2-3x+2>0 ? g(a)>0 恒成立且 a∈[-1,1]?? 2 ?g?-1?=x -5x+6>0 ?
? ?x<1或x>2 ?? ?x<1 或 x>3. ?x<2或x>3 ? 二、填空题 x-a 7.若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数 a=________. x+1 答案 4 x-a 解析 >0?(x+1)(x-a)>0 x+1 ?(x+1)(x-4)>0 ∴a=4. 8.若不等式-x2+2x-a≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案 a≥1 解析 ∵Δ=4-4a≤0,∴a≥1. 9.若全集 I=R,f(x)、g(x)均为 x 的二次函数,P={x|f(x)<0},Q={x|g(x)≥0},则不等

? ?f?x?<0, 式组? 的解集可用 P、Q 表示为________. ?g?x?<0 ? 答案 P∩?IQ 解析 ∵g(x)≥0 的解集为 Q, 所以 g(x)<0 的解集为?IQ, ?f?x?<0, ? 因此? 的解集为 P∩?IQ. ? ?g?x?<0 10.如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围为________. 答案 0≤a≤4 ? ?a>0 解析 a=0 时,A=?;当 a≠0 时,A=??ax2-ax+1≥0 恒成立?? ?0<a≤4, ?Δ≤0 ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 0≤a≤4. 三、解答题 11.某省每年损失耕地 20 万亩,每亩耕地价值 24 000 元,为了减小耕地损失,决定按 5 耕地价格的 t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少 t 万亩,为了既减少耕地的损 2 失又保证此项税收一年不少于 9 000 万元,t%应在什么范围内变动? 解 由题意可列不等式如下: ?20-5t?· t%≥9 000?3≤t≤5. 2 ? 24 000· ? 所以 t%应控制在 3%到 5%范围内. 2 ? ?x -x-2>0, 12.关于 x 的不等式组? 2 的整数解的集合为{-2},求实数 k 的取 ?2x +?2k+5?x+5k<0 ? 值范围. 解 由 x2-x-2>0,可得 x<-1 或 x>2. ?x2-x-2>0, ? ∵? 2 的整数解的集合为{-2}, ? ?2x +?2k+5?x+5k<0 5 方程 2x2+(2k+5)x+5k=0 的两根为-k 与- , 2 5 ①若-k<- ,则不等式组的整数解的集合就不可能为{-2}; 2 5 ②若- <-k,则应有-2<-k≤3, 2 ∴-3≤k<2. 综上,所求的 k 的取值范围为-3≤k<2. 【能力提升】 2 13.已知 x1、x2 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根,则 x2 1+x2的最 大值为( ) 50 A.18 B.19 C. D.不存在 9 答案 A 解析 由已知方程有两实数根得,Δ≥0, 即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0. 4 解得-4≤k≤- , 3 2 2 又 x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2=-(k+5)2+19, 2 ∴当 k=-4 时,x2 1+x2有最大值,最大值为 18. 2 14.已知不等式 x +px+1>2x+p. (1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立,求 x 的取值范围;

(2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立,求 p 的取值范围. 解 (1)不等式化为(x-1)p+x2-2x+1>0, 令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1, 则 f(p)的图象是一条直线.又∵|p|≤2, ?f?-2?>0, ? ∴-2≤p≤2,于是得:? ? ?f?2?>0.
? ?-2?+x2-2x+1>0, ??x-1?· 即? ??x-1?· 2+x2-2x+1>0. ?
2 ? ?x -4x+3>0, ? 即 2 ?x -1>0. ?

∴x>3 或 x<-1.

故 x 的取值范围是 x>3 或 x<-1. (2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1, ∵2≤x≤4,∴x-1>0. -x2+2x-1 ∴p> =1-x. x-1 由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立, ∴p>(1-x)max.而 2≤x≤4, ∴(1-x)max=-1,于是 p>-1. 故 p 的取值范围是 p>-1. 1. 解分式不等式时, 一定要等价变形为一边为零的形式, 再化归为一元二次不等式(组) 求解.若不等式含有等号时,分母不为零. 2.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离 后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前 提.分离参数时,经常要用到下述简单结论: (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立 ?a<f(x)min.


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